Kết luận : tập R không lập thành một nhóm đối với phép tóan nhân.[r]
Trang 1Trường Đại Học Sài Gòn
Học phần : Cấu trúc Đại số
Họ và tên học viên NHÓM : 3
BÀI LÀM
I Câu hỏi
1 Ở Tiểu Học có giảng dạy 4 phét tính Phép tính cộng kí hiệu : (+) Phép tính trừ Kí
hiệu : (-) Phép tính nhân Kí hiệu : (x) và Phét tính chia Kí hiệu : (:)
Xét các qui tắc cho tương ứng từ N.N vào N sau :
Q1 : (a,b) a + b Q2 : (a,b) a – b Q3 : (a,b) ab Q4 : (a,b) a : b Muốn biết phét tính nào là phép tóan cần xét xem chúng có là một ánh xạ không
Q1 là một ánh xạ vì Q1(a,b) = a + b ∊ N
(Tổng hai số tự nhiên được xác định trong N) Q2 không là một ánh xạ Vì Q2(2,1) = 2 – 1 ∊ N
Q3 là một ánh xạ vì Q3(a,b) = ab ∊ N Q4 không là một ánh xạ Vì Q4(1,2) = 1 : 2 ∊ N
Kết luận : Trong 4 phép tính ở Tiểu Học chỉ có phép cộng và phép nhân là phép tóan
Phép trừ trong Z là một phép tóan Vì với (a,b) ∊ Z : a - b ∊ Z
Phép chia trong Q* là một phép tóan Vì với mọi (a,b) ∊ Q* : a : b ∊ Q*
2 Phép cộng thông thường không có tính phân phối đối với phép nhân thông thường trong N
Chọn a = 2 , b = 3 , c = 4 ∊ N
Xét : 2+ (3 x 4) = 2 + 12 = 14 (1)
(2 + 3) x (2 + 4) = 5 x 6 = 30 (2)
Từ (1) và (2) : 14 # 30
Suy ra 2 + (3 x 4) # (2 + 3) x (2 + 4)
Kết luận : phép cộng không có tính phân phối đối với phép nhân thông thường trong N
3 Giải các phương trình dạng : a + x = b và x a = b trong chương trình tóan tiểu học dựa
trên cấu trúc đại số
Đối với dạng a + x = b
a + x = b
a + x + (-a) = b + (-a)
(a + (-a)) + x = b + (-a) (phép cộng thông thường có tính giao hóan)
0 + x = b + ( – a) (Tập N với phép cộng thông thường, tổng hai số đối bằng 0)
x = b – a ( -a = (-a) )
Đối với dạng x a = b
Trang 2a x = b
a x a-1 = b a-1
a a-1 x = a-1 b (phép nhân thông thường có tính giao hóan)
(a a-1).x = a-1.b (phép nhân thông thường có tính kết hợp)
e x = a-1.b ( a a-1 = e)
x = a-1.b
Các dạng tóan a + x = b và a x = b để giải được phải thỏa :
+ Được xây dựng trên một tập hợp số
+ Tập hợp phải là một vị nhóm giao hóan
+ Để có hiệu b – a thì số bị trừ phải lớn hơn hoặc bằng số trừ
1
d
c
d
+ Đặt a-1 = 1/d, b = c suy ra a-1 b = c = để có thương thì d # 0
II Bài tập
Bài 1 : Trong tập R cho phép tóan nhân : a b = a + b + 3ab
a Chứng minh tập R với phép “ ” là một vị nhóm giao hóan
Xét tính kết hợp
Với mọi a,b ∊ R :
a (b c) = a ( b + c + 3bc)
= a + (b + c + 3bc) + 3a(b + c + 3bc)
= a + b + c + 3ab + 3ac + 3bc + 9abc (1)
(a b) c = (a + b + 3ab) c
= a + b + 3ab + c + 3(a + b + 3ab)c
= a + b + c + 3ab + 3ac + 3bc + 9abc (2)
(1) = (2) suy ra : a (b c) = (a b).c
Kết luận : phép tóan “ ” trong tập R là một nửa nhóm (*)
Xét phần tử trung hòa
Giả sử e là phần tử trung hòa trái của tập R
Với mọi a ∊ R : e a = a
e + a + 3ea = a
e(1 + 3a) = 0
e = 0 ∊ R (3)
Giả sử e là phần tử trung hòa phải của tập R
Với mọi a ∊ R : a e = a
a + e + 3ae = a
(1 + 3a)e = 0
e = 0 (4)
Từ (3) và (4) Suy ra : e = 0 ∊ R là phần tử trung hòa của tập R (**)
Từ (*) và (**) Kết luận : phép tóan “ ” trong R là một vị nhóm (i)
Xét tính chất giao hóan
Trang 3Với mọi a,b ∊ R :
a b = a + b + 3ab
= b + a + 3ba
= b a
Kết luận : phép tóan “ ” trong R có tính giao hóan (ii)
Từ (i) và (ii) Kết luận : phép tóan “ ” trong R là một vị nhóm giao hóan
b tập R có làm thành một nhóm đối với phép tóan nhân không ?
Xét phần tử đối xứng của a ∊ R :
Giả sử a-1 là phần tử đối xứng trái của a ∊ R :
a-1 a = e
a-1 + a + 3a-1a = 0
a-1( 1 – 3a ) = -a
−a ¿1 − 3 a
a-1 = điều kiện : 1 – 3a # 0
a # 1/3
Vậy 1/3 ∊ R không có phần tử đối xứng
Kết luận : tập R không lập thành một nhóm đối với phép tóan nhân
Bài 2 :
Cho a và b là hai phần tử của một nửa nhóm nhân X : ab = ba
a Chứng minh : (ab)2 = a2b2
Xét (ab)2 = ab.ab = ba.ba = bbaa =(bb)(aa) = b2a2 = a2b2
Vậy với a và b là hia phần tử của một nửa nhóm nhân : ab = ba thì (ab)2 = a2b2
b Chứng minh : (ab)3 = a3b3
Xét (ab)3 = ab ab.ab = ba.ba.ba = bbaaba = (bb)(aa)ba = (bb)b(aa)a = (bbb)(aaa) =
= b3a3 = a3b3 Vậy với a và b là hia phần tử của một nửa nhóm nhân : ab = ba thì (ab)3 = a3b3
/