Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn

Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn” nhằm bước đầu làm quen với việc làm bài tập vật lý chất rắn để cụ thể hơn những vấn đề trong lý thuyết, rèn kĩ

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học sư phạm Hà nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật Lý lý thuyết, đặc biệt là cô giáo – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Sinh viên

Nguyễn Thị Huế

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn

và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc

Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Huế

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 2

LỜI CAM ĐOAN 4

MỤC LỤC 4

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 8

1.1 Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp 8

1.1.1 Khái niệm mạng tinh thể 8

1.1.2 Ô cơ sở 9

1.2 Chỉ số Miller 11

1.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian 13

1.3.1 Đối xứng tịnh tiến 13

1.3.2 Phép đối xứng quanh một trục 14

1.3.3 Phép phản xạ gương 14

1.3.4 Phép đối xứng nghịch đảo 15

1.4 Các hệ tinh thể 16

1.4.1 Hệ tam tà 16

1.4.2 Hệ đơn tà 17

1.4.3 Hệ thoi 17

1.4.4 Hệ tứ giác 18

1.4.5 Hệ tam giác (hệ lăng trụ thoi) 18

1.4.6 Hệ lục giác 19

1.4.7 Hệ lập phương 19

1.5 Một số cấu trúc tinh thể đơn giản 20

1.5.1 Mô hình đơn giản và cũng tương đối phù hợp với cấu trúc thực của tinh thể là cấu trúc xếp chặt các quả cầu 20

1.5.2 Cấu trúc Natri Clorua 22 1.5.3 Cấu trúc Xêsi Clorua (CsCl) 24 1.5.4 Cấu trúc kim cương 25 1.5.5 Cấu trúc kẽm Sunfua lập phương (sphalerite) và vuazit (wurtzite) 25 1.6 Mạng đảo - Vùng Brillouin 27 1.6.1 Mạng đảo 27 1.6.2 Vùng Brillouin 28 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT

RẮN 29 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

 Lý do chọn đề tài

Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử, …Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt những công trình

về siêu dẫn nhiệt độ cao làm cho vị trí ngành vật lý chất rắn càng thêm nổi bật Những phát minh này được ứng dụng từ việc nghiên cứu các tính chất nhiệt, điện từ, siêu dẫn của vật rắn

Tuy hiện nay ở nước ta có khá nhiều tài liệu về vật lý chất rắn nhưng tài liệu về bài tập vật lý chất rắn chưa nhiều và việc làm bài tập của môn này chưa được coi trọng Muốn hiểu được lý thuyết một cách chặt chẽ thì một việc làm rất cần thiết đối với sinh viên các trường đại học nói chung và sinh

viên sư phạm nói riêng là giải bài tập Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn” nhằm bước đầu làm quen với việc làm

bài tập vật lý chất rắn để cụ thể hơn những vấn đề trong lý thuyết, rèn kĩ năng tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau

 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết về cấu trúc tinh thể của vật rắn để giải được bài tập

về cấu trúc tinh thể của vật rắn

 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Trình bày lý thuyết cấu trúc tinh thể của vật rắn

 Xét các bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn

 Phương pháp nghiên cứu

 Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo

 Thống kê, lập luận, diễn giải

 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Cấu trúc tinh thể của vật rắn

Chương này trình bày một số vấn đề về lý thuyết mạng tinh thể, bao gồm: 1.1 Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp

Chương 2: Một số bài toán về cấu trúc tinh thể của vật rắn

Chương này trình bày một số bài tập về cấu trúc tinh thể của vật rắn

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN

1.1 Các mạng tinh thể đơn giản và phức tạp

1.1.1 Khái niệm mạng tinh thể

Đa số vật rắn kết tinh đều có cấu trúc tinh thể nghĩa là chúng là một tập hợp của một số nguyên tử được xếp theo trật tự nhất định trong không gian Tinh thể lý tưởng là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn Tinh thể lý tưởng phải hoàn toàn đồng nhất Nghĩa là ở mọi nơi nó đều chứa những những nguyên tử như nhau và phân bố như nhau Tinh thể lý tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn Khi đó vị trí của một hạt bất kỳ của mạng được xác định nhờ vectơ

n là những số nguyên tùy ý có thể dương, âm hoặc bằng không

Chọn một điểm của không gian làm gốc tọa độ thì tập hợp các giá trị khác nhau của các điểm có bán kính an

được xác định theo (1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 sẽ tạo thành mạng không gian gọi là mạng Bravais,

và các điểm đó được gọi là nút của mạng không gian hay gọi là nút mạng

Có hai loại mạng tinh thể:

Mạng tinh thể đơn giản được tạo thành bằng cách đặt các nguyên tử cùng loại trên các nút mạng của mạng Bravais (Hình 1.1a)

Mạng tinh thể phức tạp được cấu tạo từ một số loại mạng Bravais đơn giản bằng cách đặt lệch mạng Bravais này tương đối với mạng Bravais kia một khoảng nào đó trong không gian (Hình 1.1b)

nhất của mạng có cấu trúc và tính chất đại diện cho toàn bộ tinh thể Tinh thể gồm những ô cơ sở giống hệt nhau sắp xếp một cách tuần hoàn trong không gian Do đó không thể chọn ô cơ sở một cách bất kì mà phải đúng nguyên tắc sau:

+ Tính đối xứng của tinh thể là đối xứng của ô cơ sở

+ Số cạnh bằng nhau và số góc bằng nhau của ô cơ sở là lớn nhất

+ Nếu có các góc vuông giữa các cạnh thì số góc đó phải nhiều nhất + Có thể tích nhỏ nhất hoặc các cạnh bên lớn nhất

Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở và do đó sự lựa chọn ô cơ sở không phải là duy nhất (Hình 1.2)

Đối với mạng Bravais ta có thể xây dựng ô cơ sở có tất cả các tính chất đối xứng sau: ta chọn một nút mạng Bravais làm gốc và nối nó với các nút khác gần nhất bằng các đoạn thẳng rồi vẽ các mặt phẳng trung trực của cả đoạn thẳng Các mặt đó tạo thành một hình đa diện gọi là ô cơ sở Wigner-Seitz (Hình 1.3)

Đối với mạng tinh thể đơn giản (mạng Bravais) mỗi ô cơ sở Seitz chỉ chứa một nguyên tử Đối với mạng tinh thể phức tạp mỗi ô cơ sở

Wigner-Wigner-Seitz chứa một nguyên tử ở tâm ô này và có thể có s nguyên tử khác

có vị trí đối với gốc của ô được xác định bằng s vectơ ri

(i=1,2,….,s) Vị trí s của nguyên tử thứ i ở ô cơ sở nđược xác định bằng vectơ an ri

Sau đây là các ví dụ về ô Wigner-Seitz đối với mạng lập phương

Đối với mạng lập phương đơn giản ô Wigner-Seitz là một hình lập phương (Hình 1.4a)

Đối với mạng lập phương thể tâm, mỗi nút có 14 nút lân cận và ô Wigner-Seitz là hình đa diện 14 mặt: 8 mặt lục giác và 6 mặt hình vuông (Hình 1.4b)

Đối với mạng lập phương diện tâm, mỗi nút có 12 nút lân cận và ô lân cận và ô Wigner-Seitz là một hình đa diện 12 mặt (Hình 1.4c)

Hình 1.4a Hình 1.4b Hình 1.4c

Mặt phẳng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phẳng mạng Mặt phẳng chứa ba nút mạng gọi là mặt phẳng mạng

Một mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz ở các đoạn tương ứng n a1 1,

2 2

n a , n a Lấy nghịch đảo các số 3 3 n , 1 n , 2 n ta được, 3 1 / n , 1 1 n , 2 1 n Quy 3

đồng mẫu số, giả sử mẫu số chung nhỏ nhất là M, ta tìm được ba số nguyên nhỏ nhất hM n1, k M n2 , l M n3 sao cho h k l: : 1 n1:1 n2:1n3

Ba số nguyên nhỏ nhất h , k , l được gọi là chỉ số Miller của mặt nói trên và được ký hiệu là ( h k l )

c ab

Thí dụ: Mặt (ABC) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm 3a , 1

+ Nếu mặt phẳng song song với trục tọa độ nào thì coi như nó cắt trục

đó tại ∞, chỉ số Miller ứng với trục đó bằng không

+ Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số

Miller tương ứng có dấu âm và ký hiệu bằng dấu “-” ở trên chỉ số đó

+ Các mặt phẳng mạng tương đương với nhau về tính chất đối xứng tạo

thành một họ mặt phẳng mạng và được ký hiệu { h k l }

+ Trong mạng lục giác ngoài các trục x, y, z người ta dùng thêm một

trục tọa độ u, nằm trong mặt phẳng chứa trục x, y (Hình 1.6) Ba trục x, y, u

từng đôi một hợp với nhau một góc 1200, trục z vuông góc với mặt chứa x, y,

u Gốc của các trục tọa độ đặt ở tâm O của đáy lục giác Chỉ số Miller của mặt

phẳng mạng được xác định theo phương pháp chung và được ký hiệu là (h k

i l ) Các chỉ số h , k và i không độc lập với nhau mà liên hệ với nhau bằng

biểu thức

i  h k

Phương tinh thể là đường thẳng đi qua các nút trong mạng tinh thể cách

nhau những khoảng cách theo quy luật xác định

Họ các phương tương đương nhau về tính chất đối xứng được ký hiệu

bằng chỉ số đặt trong dấu ngoặc nhọn < h k l >

1.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian

Đặc điểm cơ bản của mạng không gian chính là tính chất đối xứng của

nó Điều này được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi hay nói cách khác: mạng lại trùng với chính nó khi ta thực hiện một số phép

Phép quay bậc n là phép quay một góc 2 / n quanh một trục nào đó

Trục đó gọi là trục quay bậc n và ký hiệu là n (theo ký hiệu quốc tế)

Quay góc 2π quay góc π

Hình 1.8

Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc 1, 2, 3, 4 và 6 ứng với các

phép quay các góc 2 ,  , 2 3,  2và  3 Không tồn tại các mạng có trục

quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn

1.3.3 Phép phản xạ gương

Phép phản xạ gương qua một mặt phẳng nào đó, thí dụ qua mặt phẳng

xOy là phép biến đổi điểm M(x, y, z) thành điểm M’(x, y, -z) Mặt phản xạ

gương được ký hiệu là m hoặc C3 (Hình 1.9)

Phép nghịch đảo đối với một điểm nào đó, chẳng hạn đối với gốc tọa

độ O, là phép biến đổi điểm M(x, y, z) thành điểm M’(-x,- y, -z) Điểm O đƣợc gọi là tâm nghịch đảo Phép nghịch đảo đƣợc ký hiệu là l hoặc Ci (Hình

Các phép biến đổi đối xứng vừa nói ở trên, gồm các phép quay, phản xạ

và nghịch đảo có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian Tuy nhiên trên thực tế, mỗi mạng không gian chỉ đối xứng với một trong số các phép biến đổi đó

1.4 Các hệ tinh thể

Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, người ta chia chúng ra thành 7 hệ tương ứng với 7 ô sơ cấp khác nhau Đó là các hệ: tam tà, đơn tà, thoi, tam giác, tứ giác, lục giác và lập phương Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa ba vectơ cơ sở a1

, a2, a3

   

Có hai loại mạng: mạng đơn tà (đơn giản) và mạng đơn tà tâm đáy Hệ

có một trục quay bậc 2(song song với a2) và mặt phản xạ vuông góc với trục này a1a2 a3,   900,  900

có một trục quay bậc 4, bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4, năm mặt phản xạ vuông góc với các trục quay

1.4.5 Hệ tam giác (hệ lăng trụ thoi)

Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục quay bậc 2 cắt nhau dưới góc 600 và

giác, có nút mạng ở hai tâm đáy

Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau dưới góc 300, sáu mặt phản xạ chứa trục quay bậc 6 và một trục bậc 2, một mặt phản xạ vuông góc với trục quay bậc 6

sáu trục quay bậc 2 đi qua điểm giữa các cạnh đối diện, sáu mặt phản xạ qua các cạnh đối diện, ba mặt phản xạ chứa trục quay bậc 4 và song song với các mặt bên

1.5 Một số cấu trúc tinh thể đơn giản

1.5.1 Mô hình đơn giản và cũng tương đối phù hợp với cấu trúc thực của tinh thể là cấu trúc xếp chặt các quả cầu

Các loại nguyên tử có tính đối xứng cầu như nguyên tử khí trơ hay các nguyên tử mà sự liên kết giữa chúng không có phương hướng rõ rệt như liên kết kim loại, thường có cấu trúc như các quả cầu xếp chặt sao cho phần thể

Cấu trúc lục giác có mạng không gian là mạng lục giác, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại vị trí 0 0 0, 2/3 1/3 1/2 (Hình 1.20c)

(a)

a

a c

(b) (c)

Hình 1.20: (a) Cấu trúc lập phương xếp chặt;

(b) Cấu trúc lục giác xếp chặt

(c) Ô cơ sở của cấu trúc lục giác xếp chặt

Mỗi ô cơ sở có hai nguyên tử nằm ở các vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2 Mỗi nguyên tử đƣợc bao quanh bởi 12 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất, do đó số phối vị bằng 12 Ô cơ sở của mạng lục giác xếp chặt có trị số c/a có giá trị bằng (8/3)1/2=1,633 Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt đƣợc dẫn ra trong bảng 1.1

Bảng 1.1 Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt

1.5.2 Cấu trúc Natri Clorua

Cấu trúc Natri Clorua, NaCl đƣợc trình bày trên hình 1.21

Hình 1.21: Cấu trúc Natri Clorua

Mạng không gian Bravais là mạng lập phương tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cl nằm tại vị trí (0 0 0), nguyên tử Na nằm tại vị trí (1/2 1/2 1/2) Trong một ô cơ sở có bốn nguyên tử Cl và bốn nguyên tử Na nằm ở các vị trí sau:

Cl: 0 0 0; 1/2 1/2 0; 1/2 0 1/2; 0 1/2 1/2

Na: 1/2 1/2 1/2; 0 0 1/2; 0 1/2 0; 1/2 0 0

Mỗi nguyên tử có sáu nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do

đó số phối vị là 6 Một số tinh thể có cấu trúc NaCl được dẫn ra trong bảng 1.2 trong đó a là hằng số mạng

Bảng 1.2 Các tinh thể có cấu trúc NaCl

AgBr PbS KCl KBr

5,77 5,92 6,29 6,59 Na

Cl

1.5.3 Cấu trúc Xêsi Clorua (CsCl)

Cấu trúc Xêsi Clorua được chỉ ra trên hình 1.22

Hình 1.22: Cấu trúc Xêsi Clorua

Mạng không gian là mạng lập phương, gốc mạng gồm hai nguyên tử: nguyên tử Cs nằm tại vị trí (0 0 0), nguyên tử Cl nằm tại vị trí (1/2 1/2 1/2)

Trong một ô cơ sở có một nguyên tử Cs và một nguyên tử Cl nằm ở vị trí như trên Mỗi nguyên tử có 8 nguyên tử khác loại ở vị trí lân cận gần nhất,

vì thế số phối vị bằng 8 Các tinh thể có cấu trúc tương tự cấu trúc CsCl được dẫn ra trong bảng 1.3

LiHg

NH4Cl TlBr CsCl

3,29 3,87 3,79 4,11

Cs Cl

1.5.4 Cấu trúc kim cương

Mạng không gian của cấu trúc kim cương là mạng lập phương tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí 0 0 0; 1/4 1/4 1/4 (Hình 1.23a)

Mỗi ô cơ sở có 8 nguyên tử nằm tại các vị trí sau:

0 0 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0

1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 1/4 3/4

Mỗi nguyên tử có bốn nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất và 12 nguyên

tử ở vị trí lân cận thứ hai Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm bốn trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học như Cacbon( C), Silic (Si), Giecman (Ge) và Thiếc (Sn) có cấu trúc kim cương với các hằng số mạng tương ứng là: 3,56; 5,43; 5,65 và 6,46Å

1/2

1/4 0

3/4 1/2 1/4 3/4

0

Hình 1.23: (a) Cấu trúc kim cương

(b) Tọa độ của các nguyên tử trong ô cơ sở

1.5.5 Cấu trúc kẽm Sunfua lập phương (sphalerite) và vuazit (wurtzite)

Cấu trúc kẽm sunfua lập phương, ZnS, gần giống cấu trúc kim cương mạng không gian là mạng lập phương tâm mặt Gốc mạng gồm hai nguyên tử khác loại: nguyên tử Zn nằm tại vị trí 0 0 0; nguyên tử S nằm tại vị trí 1/4 1/4 1/4 (hình 1.24a)

Zn: 0 0 0; 0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0

S: 1/4 1/4 1/4; 3/4 3/4 1/4; 1/4 3/4 3/4; 3/4 3/4

Bảng 1.4 Các tinh thể có cấu trúc ZnS lập phương

ZnSe GaAs AlAs CdS InSb

5.65 5.65 5.66 5.82 6.46

ZnS và nhiều hợp chất A2B6 khác có thể kết tinh theo kiểu vuazit (hình 1.24b) Mạng không gian của cấu trúc loại này là mạng lục giác

Trong một ô cơ sở có 2 nguyên tử Zn và 2 nguyên tƣ S nằm ở các vị trí sau: