Bài tập 5: Một khung dao động gồm một tụ điện và một cuộn dây thuần cảm được nối với một bộ pin điện trở trong r qua một khóa điện k. Ban đầu khóa k đóng. Khi dòng điện đã ổn định, người[r]
Trang 1Dạng 1: BÀI TOÁN VỀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG THU, PHÁT SÓNG ĐIỆN TỪ
CỦA MẠCH DAO ĐỘNG
Tần số góc, tần số và chu kì dao động riêng của mạch LC:
ω= 1
√LC; f =
1
2 π√LC;T =2 π√LC Cần lưu ý, C là điện dung của bộ tụ điện
+ Nếu bộ tụ gồm C1, C2, C3, mắc nối tiếp, điện dung của bộ tụ tính bởi C1= 1
C1+
1
C2+
1
C3+ , khi đó ω=√1
L(C11+
1
C2+
1
C 3+ ); f = 1
2 π √1
L(C11+
1
C2+
1
C 3+ );T =2 π
C1+
1
C2+
1
C 3+
+ Nếu bộ tụ gồm C1, C2, C3, mắc song song, điện dung của bộ tụ là C = C1 + C2 + C3 + , khi đó
√L(C1+C2+C3+ );f =
1
2 π√L(C1+C2+C3+ );T =2 π√L(C1+C2+C3+ .) Sóng điện từ mạch dao động LC phát hoặc thu được có tần số đúng bằng tần số riêng của mạch, ta có thể xác định bước sóng của chúng (vận tốc truyền sóng trong không khí có thể lấy bằng c = 3.108m/s):
λ=cT=2 πc√LC
* Phương pháp
1 Mỗi giá trị của L hặc C, cho ta một giá trị tần số, chu kì tương ứng, viết tất cả các biểu thức tần số hoặc chu kì
đó rồi gán những giá trị đề bài cho tương ứng (nếu có)
VD: Khi độ tự cảm cuộn dây là L1, điện dung tụ điện là C1 thì chu kì dao động là T1
Khi độ tự cảm cuộn dây là L2, điện dung tụ điện là C2 thì chu kì dao động là T2
Ta phải viết ra cácbiểu thức chu kì tương ứng
T1=2 π√L1C2
T2=2 π√L2C2
Sau đó xác lập mối liên hệ toán học giữa các biểu thức đó Thường là lập tỉ số; bình phương hai vế rồi cộng, trừ các biểu thức; phương pháp thế
2 Từ công thức tính bước sóng ta thấy, bước sóng biến thiên theo L và C L hay C càng lớn, bước sóng càng lớn.
Nếu điều chỉnh mạch sao cho C và L biến thiên từ Cm, Lm đến CM, LM thì bước sóng cũng biến thiên tương ứng trong dải từ λ m=2 πc√L m C m đến λ M=2 πc√L M C M
* Một số bài tập minh họa
Bài 1: Nếu điều chỉnh để điện dung của một mạch dao động tăng lên 4 lần thì chu kì dao động riêng của mạch
thay đổi như thế nào (độ tự cảm của cuộn dây không đổi)?
Hướng dẫn:
Có hai giá trị của điện dung: C và C’ = 4C, tương ứng với hai giá trị chu kì
T =2 π√LC và
T '=2 π√LC'=2 π√L 4 C=2(2 π√L C)=2 T
Vậy chu kì tăng 2 lần
Khi làm bài trắc nghiệm, không phải trình bày và tiết kiệm thời gian, ta có nhận định sau: Từ biểu thức tính chu kì ta thấy T tỉ lệ với căn bậc hai của điện dung C và độ tự cảm L Tức là, nếu C tăng (hay giảm) n lần thì T tăng (hay giảm) √n lần, nếu L tăng (hay giảm) m lần thì T tăng (hay giảm) √m lần Ngược lại với tần số f Như bài tập trên, do C tăng 4 lần, suy ra ngay chu kì tăng √4=2 lần
Bài 2; Nếu tăng điện dung của một mạch dao động lên 8 lần, đồng thời giảm độ tự cảm của cuộn dây đi 2 lần thì
tần số dao động riêng của mạch tăng hay giảm bao nhiêu lần ?
Hướng dẫn:
Trang 2f = 1
2 π√LC
f '= 1
2 π√L ' C '=
1
2 π√12L 8 C
⇒ f '
f =
1
2Hay f '=
1
2f
¿{
¿
Tần số giảm đi hai lần
Có thể suy luận: C tăng 8 lần, L giảm 2 lần suy ra tần số thay đổi √8 1
2=2 lần Tăng hai lần.
Bài 3: Một mạch dao động gồm có một cuộn cảm có độ tự cảm L = 10 -3 H và một tụ điện có điện dung điều chỉnh được trong khoảng từ 4pF đến 400pF (1pF = 10 -12 F).Mạch này có thể có những tần số riêng như thế nào?
Hướng dẫn:
Từ công thức f = 1
2 π√LC suy ra C=
1
4 π2Lf2
Theo bài ra 4 10− 12 F ≤ C ≤ 400 10 − 12 F ta được 4 10− 12 F ≤ 1
4 π2Lf2≤ 400 10 −12 F , với tần số f luôn
dương, ta suy ra: 2 ,52 105
Hz ≤ f ≤ 2, 52 106Hz Với cách suy luận như trên thì rất chặt chẽ nhưng sự biến đổi qua lại khá rắc rối, mất nhiều thời gian và hay nhầm lẫn
Như đã nói ở phần phương pháp, tần số luôn nghịch biến theo C và L, nên fmax ứng với Cmin, Lmin và fmin ứng với Cmax và Lmax
Như vậy ta có:
¿
fmin= 1
2 π√LCmax=
1
2 π√10− 3 400 10−12=2 ,52 105Hz
fmax= 1
2 π√LCmin=
1
2 π√10−3 4 10−12=2 ,52 106Hz
¿{
¿
tức là tần số biến đổi từ 2,52.105Hz đến 2,52.106Hz
Bài 4: Một cuộn dây có điện trở không đáng kể mắc với một tụ điện có điện dung 0,5F thành một mạch dao
động Hệ số tự cảm của cuộn dây phải bằng bao nhiêu để tần số riêng của mạch dao động có giá trị sau đây: a) 440Hz (âm).
b) 90Mhz (sóng vô tuyến).
Hướng dẫn:
Từ công thức f = 1
2 π√LC suy ra công thức tính độ tự cảm: L=
1
4 π2Cf2
a) Để f = 440Hz thì L= 1
4 π2Cf2= 1
4 π2 0,5 10− 6 4402=0 ,26 H
b) Để f = 90MHz = 90.106Hz thì
90 106¿2
¿
4 π2 0,5 10−6.¿
4 π2Cf2=1
¿
Bài 5: Một mạch dao động gồm cuộn dây L và tụ điện C Nếu dùng tụ C 1 thì tần số dao động riêng của mạch là 60kHz, nếu dùng tụ C 2 thì tần số dao động riêng là 80kHz Hỏi tần số dao động riêng của mạch là bao nhiêu nếu: a) Hai tụ C 1 và C 2 mắc song song.
b) Hai tụ C 1 và C 2 mắc nối tiếp.
Trang 3Hướng dẫn:
Bài toán đề cập đến mạch dao động với 3 bộ tụ khác nhau, ta lập 3 biểu thức tần số tương ứng:
+ Khi dùng C1:
f1= 1
2 π√LC1⇒
1
f12=4 π
2LC1
f12= 1
4 π2LC1
¿{
+ Khi dùng C2:
f2= 1
2 π√LC2⇒
1
f22=4 π
2LC2
f22= 1
4 π2LC2
¿{ a) Khi dùng hai tụ C1 và C2 mắc song song, điện dung của bộ tụ C = C1 + C2
2 π√L(C1+C2)⇒ 1
f2=4 π2L(C1+C2) Suy ra: 1
f2=
1
f12+
1
f22⇒ f = f1f2
√f12
+f22=60 80
√602+802=48 kHz
b) Khi dùng hai tụ C1 và C2 mắc nối tiếp, điện dung của bộ tụ đước xác định bởi C1= 1
C1+
1
C2
f = 1
2 π√1
L(C11+
1
C2)⇒f2
4 π2L(C11+
1
C2) Suy ra: f2=f12+f22⇒ f =√f12+f22=√602+802=100 kHz
Câu 6: Mạch dao động của một máy thu vô tuyến gồm cuộn cảm L = 1H và tụ điện biến đổi C, dùng để thu
sóng vô tuyến có bước sóng từ 13m đến 75m Hỏi điện dung C của tụ điện biến thiên trong khoảng nào?
Hướng dẫn:
Từ công thức tính bước sóng: λ=2 πc√LC suy ra C= λ
2
4 π2c2L
Do > 0 nên C đồng biến theo ,
3 108
¿2 10−6
¿
4 π2.¿
Cmin= λmin2
4 π2c2L=
132
¿
3 108¿2.10−6
¿
4 π2.¿
Cmax= λmax2
4 π2c2L=
752
¿
Vậy điện dung biến thiên từ 47.10-12C đến 1563.10-12C
Câu 7: Mạch dao động để chọn sóng của một máy thu thanh gồm một cuộn dây có độ tự cảm L = 11,3 H và tụ
điện có điện dung C = 1000pF.
a) Mạch điện nói trên có thể thu được sóng có bước sóng 0 bằng bao nhiêu?
b) Để thu được dải sóng từ 20m đến 50m, người ta phải ghép thêm một tụ xoay C V với tụ C nói trên Hỏi phải ghép như thế nào và giá trị của C V thuộc khoảng nào?
Trang 4c) Để thu được sóng 25m, C V phải có giá trị bao nhiêu? Các bản tụ di động phải xoay một góc bằng bao nhiêu kể từ vị trí điện dung cực đại để thu được bước sóng trên, biết các bản tụ di động có thể xoay từ 0 đến 180 0 ?
Hướng dẫn:
a) Bước sóng mạch thu được: λ0=2 πc√LC=2 π 3 108√11, 3 10 − 6 1000 10− 12=200 m
b) Nhận xét: Dải sóng cần thu có bước sóng nhỏ hơn bước sóng 0 nên điện dung của bộ tụ phải nhỏ hơn C
Do đó phải ghép CV nối tiếp với C
Khi đó: λ=2 πc√L C C V
C +C V ⇒C V= λ2C
4 π2c2LC− λ2
Với > 0, CV biến thiên nghịch biến theo
3 108
¿2.11, 3 10 −6.10− 9 − 502
¿
¿10 , 1 10 − 12 F
¿
3 108¿2.11, 3 10 −6.10− 9 − 202
¿
4 π2¿
¿
C V min= λmax2 C
4 π2c2LC− λmax2 =502 1000 10− 12
¿
Vậy 10 ,1 pF ≤ C V ≤ 66 , 7 pF
c) Để thu được sóng 1 = 25m,
3 108¿2.11, 3 10 −6.10− 9 − 252
¿
4 π2.¿
C V= λ12C
4 π2c2LC− λ12−25
2
10− 9
¿
Vì CV tỉ lệ với góc xoay nên ta có
C V max − C V 1
C V max −C V min=
Δϕ
180⇒ Δϕ=180( C V max −C V 1
C V max −C V min)=180(66 ,7 −15 , 9 66 ,7 −10 , 1)=1620
Dạng 2: CÁC GIÁ TRỊ ĐIỆN TÍCH, HIỆU ĐIỆN THẾ VÀ CƯỜNG ĐỘ DÒNG ĐIỆN
TRONG QUÁ TRÌNH DAO ĐỘNG
I Phương pháp giải:
Dạng bài toán này, ta chỉ cần chú ý đến công thức tính năng lượng điện từ của mạch:
1
2Li
2
+1
2Cu
2
=1
2Li
2
+1 2
q2
C=
1
2LI0
2
=1
2CU0
2
=1 2
Q02
C
Có hai cách cơ bản để cấp năng lượng ban đầu cho mạch dao động:
1 Cấp năng lượng điện ban đầu
Ban đầu khóa k ở chốt (1), tụ điện được tích điện (nếu thời gian đủ dài) đến hiệu điện thế bằng suất điện động E của nguồn Năng lượng điện mà tụ tích được là W=1
2CE
2
Chuyển khóa k sang chốt (2), tụ phóng điện qua cuộn dây Năng lượng điện chuyển dần thành năng lượng từ trên cuộn dây mạch dao động Như vậy hiệu điện thế cực đại trong quá trình dao động chính là hiệu điện thế ban đầu của tụ U0 = E, năng lượng điện ban đầu mà tụ tích được từ nguồn chính là năng lượng toàn phần (năng lượng điện từ) của mạch dao động W=1
2CE
2
2 Cấp năng lượng từ ban đầu
Ban đầu khóa k đóng, dòng điện qua cuộn dây không đổi và có cường độ (định luật Ôm cho toàn mạch):
I0=E
r
Trang 5Năng lượng từ trường trên cuộn dây không đổi và bằng: W=1
2LI0
2
=1
2L(E r )2
Cuộn dây không có điện trở thuần nên hiệu điện thế hai đầu cuộn dây (cũng chính là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện) bằng không Tụ chưa tích điện
Khi ngắt khóa k, năng lượng từ của cuộn dây chuyển hóa dần thành năng lượng điện trên tụ điện mạch dao động
Như vậy, với cách kích thích dao động như thế này, năng lượng toàn phần (năng lượng điện từ) đúng bằng năng lượng từ ban đầu của cuộn dây W=1
2L(E r )2 , cường độ dòng điện cực đại trong mạch dao động đúng bằng cường độ dòng điện ban đầu qua cuộn dây I0=E
r .
II Bài tập ví dụ:
Câu 8: Mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C=1 μF và cuộn dây có độ từ cảm L=1 mH Trong quá trình dao động, cường độ dòng điện qua cuộn dây có độ lớn lớn nhất là 0,05A Sau bao lâu thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện có độ lớn lớn nhất, độ lớn đó bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn
Thời gian từ lúc cường độ dòng điện đạt cực đại đến lúc hiệu điện thế đạt cực đại là 1
4T (T là chu kì dao động riêng của mạch) Vậy thời gian cần tìm là Δt=1
42 πc√LC=
1
42 π√10−6.10− 2=1 ,57 10− 4 s
Năng lượng điện cực đại bằng năng lượng từ cực đại trong quá trình dao động: 12CU02
=1
2LI0 2
Suy ra: U0=I0√C L=0 , 05.√10−2
10−6=5 V
Câu 9: Mạch dao động LC có cường độ dòng điện cực đại I 0 = 10mA, điện tích cực đại của tụ điện là
Q0=4 10−8 C
a) Tính tần số dao động trong mạch.
b) Tính hệ số tự cảm của cuộn dây, biết điện dung của tụ điện C = 800pF.
Hướng dẫn
a) Tần số dao động
Điện tích cực đại Q0 và cường độ dòng điện cực đại I0 liên hệ với nhau bằng biểu thức:
1
2LI0
2
=1 2
Q02
Q02
I02=16 10
− 12
f = 1
2 π√LC=
1
2 π√16 10− 12=40000 Hz hay f =40 kHz b) Hệ số tự cảm L: L=16 10
−12
C =0 ,02 H
Câu 10: Mạch dao động LC lí tưởng dao động với chu kì riêng T = 10 -4 s, hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ U 0
= 10V, cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây là I 0 = 0,02A Tính điện dung của tụ điện và hệ số tự cảm của cuộn dây.
Hướng dẫn
Từ công thức 1
2LI0
2
=1
2CU0
2
, suy ra: L
C=
U02
I02 =25 104
Chu kì dao động T =2 π√LC , suy ra: LC= T
2
4 π2=
10− 8
4 π2=2,5 10
−10
Với hai biểu thức thương số và tích số của L và C, ta tính được: L = 7,9.10-3H và C = 3,2.10-8F
Câu 11: Tại thời điểm cường độ dòng điện qua cuộn dây trong một mạch dao động có độ lớn là 0,1A thì hiệu
điện thế giữa hai bản tụ điện của mạch là 3V Tần số dao động riêng của mạch là 1000Hz Tính các giá trị cực đại của điện tích trên tụ điện, hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây, biết điện dung của tụ điện 10F.
Trang 6Hướng dẫn
Từ công thức 1
2Li
2
+1
2Cu
2
=1 2
Q02
C , suy ra: Q0
2
=LCi2+C2u2
Với f = 1
2 π√LC⇒ LC= 1
4 π2f2 , thay vào ta được
10 10− 6¿2 32
¿
0,12
4 π2 10002+¿
Q0=√ i2
4 π2f2+C
2u2
=√¿
Hiệu điện thế cực đại: U0=Q0
C =
3,4 10−5
10− 5 =3,4 V Cường độ dòng điện cực đại: I0=ωQ0=2 π fQ0=2 π 1000 3,4 10−5=0 ,21 A
Câu 12: Một mạch dao động LC, cuộn dây có độ tự cảm L = 2mH và tụ điện có điện dung C = 0,2 F Cường độ
dòng điện cực đại trong cuộn cảm là I 0 = 0,5A Tìm năng lượng của mạch dao động và hiệu điện thế giữa hai bản
tụ điện ở thời điểm dòng điện qua cuộn cảm có cường độ i = 0,3A Bỏ qua những mất mát năng lượng trong quá trình dao động
Hướng dẫn
Năng lượng điện từ của mạch: W=1
2LI0
2
=1
2 2 10
− 3
0,52=0 , 25 10−3 J
Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện
Áp dụng công thức tính năng lượng dao động: W=1
2Li
2
+1
2Cu
2
, suy ra
u=√2W − Li2
C =√2 0 , 25 10 − 3 − 2 10 − 3 0,32
0,2 10−6 =40 V
Câu 13: Cường độ dòng điện tức thời trong một mạch dao động LC lí tưởng là i = 0,08cos(2000t)A Cuộn dây có
độ tự cảm là L = 50mH Hãy tính điện dung của tụ điện Xác định hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện tức thời trong mạch bằng giá trị cường độ dòng điện hiệu dụng.
Hướng dẫn
Điện dung của tụ điện
Từ công thức tính tần số goc: ω= 1
√LC , suy ra C=
1
50 10−3 20002=5 10−6 F hay C = 5F.
Hiệu điện thế tức thời
Từ công thức năng lượng điện từ: 1
2Li
2
+1
2Cu
2
=1
2LI0
2
, với i=I= I0
√2 , suy ra
u=I0√2 C L =0 , 08√50 10− 3
25 10− 6=4√2V =5 , 66 V
Câu 14: Mạch dao động LC có cuộn dây thuần cảm với độ tự cảm L=1
π.10
−2
H , tụ điện có điện dung
C=1
π 10
− 6
F Bỏ qua điện trở dây nối Tích điện cho tụ điện đến giá trị cực đại Q 0 , trong mạch có dao động
điện từ riêng.
a) Tính tần số dao động của mạch.
b) Khi năng lượng điện trường ở tụ điện bằng năng lượng từ trường ở cuộn dây thì điện tích trên tụ điện bằng mấy phần trăm Q 0 ?
Hướng dẫn
Trang 7Tần số dao động: f =
1
2 π√LC=
1
2 π √10−2
π .
10−6
π
=5000 Hz
Khi năng lượng điện bằng năng lượng từ
¿
W đ=Wt
W đ+Wt=W
⇒W đ=1
2W
¿{
¿
hay 1 2
q2
C=
1
2.
1 2
Q02
C ⇒q= Q0
√2=70 %Q0
Câu 15: Cho mạch dao động lí tưởng như hình vẽ bên Tụ điện có điện dung 20F, cuộn dây có độ tự cảm 0,2H,
suất điện động của nguồn điện là 5V Ban đầu khóa k ở chốt (1), khi tụ điện đã tích đầy điện, chuyển k sang (2), trong mạch có dao động điện từ.
a) Tính cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây.
b) Tính cường độ dòng điện qua cuộn dây tại thời điểm điện tích trên tụ chỉ bằng một nửa giá trị điện tích của tụ khi khóa k còn ở (1).
c) Tính hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện khi một nửa năng lượng điện trên tụ điện đã chuyển thành năng lượng từ trong cuộn dây.
Hướng dẫn
a) Cường độ dòng điện cực đại
Khi k ở (1), tụ điện tích được năng lượng điện: W=1
2CE
2
Khi k chuyển sang (2), năng lượng này là năng lượng toàn phần của dao động trong mạch, ta có
1
2LI0
2
2⇒ I0=E√C L=5.√20 10− 6
b) Cường độ dòng điện tức thời
Từ công thức tính năng lượng điện từ: 1
2Li
2
+1 2
q2
C=
1
2LI0
2⇒ i=√I02− q
2
LC Trong đó, điện tích bằng nửa giá trị ban đầu q=1
2Q0=1
2CE , thay trở lại ta được
i=√I02−1
4
C
L E
2
=√0 , 052−1
4.
20 10−6
2=0 , 043 A hay i = 43mA
c) Hiệu điện thế tức thời
Khi một nửa năng lượng điện trường đã chuyển thành năng lượng từ trường, ta có Wđ = Wt = 1
2W , hay 1
2Cu
2
=1 2
1
2CE
√2=
5
√2=3,535V
Câu 16: Cho mạch điện như hình vẽ bên Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L=4 10 −3 H , tụ điện có điện dung C = 0,1F, nguồn điện có suất điện động E = 6mV và điện trở trong r = 2 Ω Ban đầu khóa k đóng, khi
có dòng điện chạy ổn định trong mạch, ngắt khóa k.
a) Hãy so sánh hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện với suất điện động của nguồn cung cấp ban đầu b) Tính điện tích trên tụ điện khi năng lượng từ trong cuộn dây gấp 3 lần năng lượng điện trường trong tụ điện.
Hướng dẫn
a) Hiệu điện thế cực đại
Ban đầu k đóng, dòng điện qua cuộn dây I0=E
r=
6
2=3 mA Điện trở cuộn dây bằng không nên hiệu điện thế hai đầu cuộn dây, cũng chính là hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện bằng 0, tụ chưa tích điện
Năng lượng trong mạch hoàn toàn ở dạng năng lượng từ trường trong cuộn dây:
Trang 8W =1
2LI0
2
=1
2L(E r)2=1
2 4 10
−3
0 , 0032=1,8 10−8 J
Khi ngắt k, mạch dao động với năng lượng toàn phần bằng W, ta có
1
2CU0
2
=1
2 L(E r )2⇒ U0
E =
1
r √C L=
1
2√4 10−3
10−5 =10 Vậy, hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện trong quá trình dao động lớn gấp 10 lần suất điện động của nguồn điện cung cấp
b) Điện tích tức thời: W t=3 Wđ=3
4W ⇒1
2
q2
C=
3
4.W ,suy ra q=√3
2 10
− 5
1,8 10− 8=5,2 10− 7 C
Dạng 3: PHA VÀ THỜI GIAN DAO ĐỘNG
I Phương pháp giải:
Cần phải vận dụng tính tương tự giữa điện và cơ
Tọa độ x q điện tích Vận tốc v i cường độ dòng điện Khối lượng m L độ tự cảm
Độ cứng k C1 nghịch đảo điện dung Lực F u hiệu điện thế
Khi vật qua VTCB x = 0 thì vận tốc đạt cực đại vmax, ngược lại khi ở biên, xmax = A, v = 0
Tương tự, khi q = 0 thì i = I0 và khi i = 0 thì q = Q0
Đặc biệt nên vận dụng sự tương quan giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều để giải quyết các bài toán liên quan đến thời gian chuyển động
II Bài t ập ví dụ:
Câu 17: Mạch dao động lí tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L = 0,2H và tụ điện có điện dung C = 20F Người
ta tích điện cho tụ điện đến hiệu điện thế cực đại U 0 = 4V Chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là lúc tụ điện bắt đầu phóng điện Viết biểu thức tức thời của điện tích q trên bản tụ điện mà ở thời điểm ban đầu nó tích điện dương Tính năng lượng điện trường tại thời điểm t= T
8 , T là chu kì dao động.
Hướng dẫn
Điện tích tức thời: q=Q0cos(ωt+ϕ)
Trong đó: ω= 1
1
√0,2 20 10− 6=500 rad/s
Q0=CU0=20 10−6 4=8 10−5 C
Khi t = 0: q=Q0cos ϕ=+ Q0⇒cosϕ=1 hay ϕ=0
Vậy phương trình cần tìm: q = 8.10 -5 cos500t (C)
Năng lượng điện trường: W đ=1
2
q2
C
Vào thời điểm t= T
8 , điện tích của tụ điện bằng q=Q0cos2 π
T .
T
8=
Q0
√2 , thay vào ta tính được năng lượng điện trường
W đ=1 2
(8 10√2−5)2
20 10−6 =80 10
−6 J hay W đ=80μ J
Câu 18: Trong một mạch dao động, điện tích của tụ điện biến thiên theo quy luật: q = 2,5.10 -6 cos(2.10 3 t)(C).
a) Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch.
b) Tính năng lượng điện từ và tần số dao động của mạch Tính độ tự cảm của cuộn dây, biết điện dung của
tụ điện là 0,25F.
Hướng dẫn
Trang 9Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch i=dq
dt =− 2 10
3.2,5 10−6sin(2 103πt)( A) hay có thể viết dưới
dạng
i=5 10 −3cos(2 103πt+π
2)(A ) Năng lượng điện từ: W =1
2
Q02
C =
1 2
(2,5 10−6)2
0 , 25 10 − 6=12 , 5 10
− 6 J hay W =12,5 μJ
Độ tự cảm của cuộn dây
Từ công thức tính tần số góc: ω= 1
√LC , suy ra
2 103¿2
¿
0,25 10− 6.¿
L= 1
Cω2=1
¿
Câu 19: Mạch dao động LC lí tưởng thực hiện dao động điện từ Hãy xác định khoảng thời gian, giữa hai lần
liên tiếp, năng lượng điện trường trên tụ điện bằng năng lượng từ trường trong cuộn dây.
Hướng dẫn
Khi năng lượng điện trường trên tụ bằng năng lượng từ trường trong cuộn dây, ta có W đ=Wt=1
2W hay 1
2
q2
C=
1
2(1 2
Q02
C )⇒ q=±Q0√2
2 Với hai vị trí li độ q=± Q0√2
2 trên trục Oq, tương ứng với 4 vị trí trên đường tròn, các vị trí này cách đều nhau bởi các cung π
2
Có nghĩa là, sau hai lần liên tiếp Wđ = Wt, pha dao động đã biến thiên được một lượng là π2=2 π
4 ↔
T
4 (Pha dao động biến thiên được 2 sau thời gian một chu kì T)
Tóm lại, cứ sau thời gian T4 năng lượng điện lại bằng năng lượng từ.
Câu 20: Biểu thức điện tích của tụ trong một mạch dao động có dạng q=Q0 sin(2π.10 6 t)(C) Xác định thời điểm năng lượng từ bằng năng lượng điện đầu tiên.
Hướng dẫn
Có thể viết lại biểu thức điện tích dưới dạng hàm số cosin đối với thời gian, quen thuộc như sau:
q=Q0cos(2 π 106t − π
2) và coi q như li độ của một vật dao động điều hòa.
Ban đầu, pha dao động bằng − π
2 , vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương Wđ = Wt lần đầu tiên khi
q=Q0√2
2 , vectơ quay chỉ vị trí cung −
π
4 , tức là nó đã quét được một góc
π
4=
2 π
8 tương ứng với thời gian T
8 .
Vậy thời điểm bài toán cần xác định là t = T8 = 8 ω 2 π= π
2 π 106=5 10−7 s
Câu 21: Trong mạch dao động (h.vẽ) bộ tụ điện gồm 2 tụ C 1 giống nhau được cấp năng lượng W 0 = 10 -6 J từ nguồn điện một chiều có suất điện động E = 4V Chuyển K từ (1) sang (2) Cứ sau những khoảng thời gian như nhau: T 1 = 10 -6 s thì năng lượng điện trường trong tụ điện và năng lượng từ trường trong cuộn cảm bằng nhau a) Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây.
b) Đóng K 1 vào lúc cường độ dòng điện cuộn dây đạt cực đại Tính lại hiệu điện thế cực đại trên cuộn dây.
Hướng dẫn
Trang 10Theo suy luận như câu 19, T1=T
4 ⇒T =4 T1=4 10− 6 s
W0=1
2CE
2⇒C= 2 W0
E2 =
2 10−6
42 =0 ,125 10
−6 F
Do C1 nt C2 và C1 = C2 nên C1 = C2 = 2C = 0,25.10-6F
T =2 π√LC⇒ L= T2
4 π2C=
16 10− 12
4 π2 0 ,125 10 −6=3 , 24 10−6 H
a) Từ công thức năng lượng: 1
2LI0
2=W0⇒ I0=√2 W0
L =√ 2 10−6
3 ,24 10 − 6=0 ,785 A
b) Khi đóng k1, năng lượng trên các tụ điện bằng không, tụ C1 bị loại khỏi hệ dao động nhưng năng lượng không
bị C1 mang theo, tức là năng lượng điện từ không đổi và bằng W0
1
2C2U02=W0⇒U0=√2 W0
C2 =√ 2 10−6
0 , 25 10 − 6=2, 83 V
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài tập 1: Mạch chọn sóng của một máy thu thanh gồm cuộn dây có độ tự cảm L = 2.10-6H, tụ điện có điện dung
C=2 10 − 10 F , điện trở thuần R = 0 Xác định tổng năng lượng điện từ trong mạch, biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện bằng 120mV Để máy thu thanh chỉ có thể thu được các sóng điện từ có bước sóng từ 57m (coi bằng 18m) đến 753m (coi bằng 240m), người ta thay tụ điện trong mạch trên bằng một tụ điện có điện dung biến thiên Hỏi tụ điện này phải có điện dung trong khoảng nào? Cho c = 3.108m/s
ĐS: 1,44.10-12J; 0,45 10-9 F đến 80.10-9F
Bài tập 2: Trong mạch dao động của một máy thu vô tuyến, độ tự cảm của cuộn dây có thể biến thiên từ 0,5H
đến 10H Muốn máy thu bắt được dải sóng từ 40m đến 250m thì tụ điện phải có điện dung biến thiên trong khoảng giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Bỏ qua điện trở thuần của mạch dao động Vận tốc truyền sóng điện từ trong chân không là c = 3.108m/s
ĐS: 9,006.10-10F đến 17,59.10-10F
Bài tập 3: Một mạch dao động điện từ lí tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung
C=0 , 02 μF Khi dao động trong mạch ổn định, giá trị cực đại của hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện và cường
độ dòng điện cực đại trong mạch lần lượt là U0 = 1V và I0 = 200mA Hãy tính tần số dao động và xác định hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện trong mạch có giá trị bằng 100mA
ĐS: 1,59.106Hz; 0,866V
Bài tập 4: Một tụ điện đã được tích điện dưới một hiệu điện thế U0 được nối với hai cực của một cuộn dây Gọi
T0 là chu kì, f0 là tần số, W0 là năng lượng điện từ, I0 là cường độ dòng điện cực đại trong mạch Nếu tụ điện được tích điện dưới hiệu điện thế 2U0 rồi nối vào hai cực cuộn dây đó thì các giá trị của các đại lượng nêu trên thay đổi như thế nào?
Bài tập 5: Một khung dao động gồm một tụ điện và một cuộn dây thuần cảm được nối với một bộ pin điện trở
trong r qua một khóa điện k Ban đầu khóa k đóng Khi dòng điện đã ổn định, người ta mở khóa và trong khung
có dao động điện với chu kì T Biết rằng hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện lớn gấp n lần suất điện động của bộ pin, hãy tính theo T và n điện dung C của tụ điện và độ tự cảm L của cuộn dây
ĐS: C= T
2 π nr ; L=
Tnr
2 π
Bài tập 6: Dao động điện từ trong một mạch dao động có đường biểu diễn sự phụ thuộc cường độ dòng điện qua
cuộn dây theo thời gian như hình vẽ Hãy viết biểu thức điện tích tức thời trên tụ điện
ĐS: q=120 cos(253 π 10
4t+ π
6)(μC)
Bài tập 7: Cho mạch điện như hình vẽ bên, E = 4V, r = 4 Ω , hai tụ điện C giống nhau, cuộn dây có độ tự cảm
L = 10-4H Ban đầu các tụ điện chưa tích điện, đóng cả hai khóa k1 và k2 Khi dòng điện trong mạch đã ổn định, ngắt khóa k1 để có dao động điện từ, mà hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu cuộn dây đúng bằng suất điện động E của nguồn Bỏ qua điện trở thuần của cuộn dây, dây nối và các khóa k1, k2
a) Xác định điện dung C của mỗi tụ điện và cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây
b) Khi năng lượng trong cuộn dây bằng năng lượng trên bộ tụ điện, ngắt k2 Xác định hiệu điện thế cực đại giữa hai đầu cuộn dây sau đó