b Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình... Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.. * Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình.
Trang 1Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A= 5− 3− 29 12 5− b) 84 3 24 4
2
B
x x
= + +
Bài 2: Cho phương trình 2
2( 1) 2 4 0.
x − m− x+ m− =
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =x +x
Bài 3: Chứng minh rằng:
a) ( )2
2
x y
+ ≥ b) ( )4
8
x y
+ ≥ c) ( 4 4) 1
xy
+ + ≥ với x y, > 0;x y+ = 1
Bài 4: Giải các phương trình:
a) x+ + 3 4 x− + 1 x+ − 8 6 x− = 1 5
b) (4x+ 1 12) ( x− 1 3) ( x+ 2) (x+ = 1) 4
c)
2
2
10
d) x+ + 2 3 2x− + 5 x− − 2 2x− = 5 2 2
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 0
xy y x
y x y x
Bài 6:
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
5 7
x P
=
− +
b) Tìm giá trị trị nhỏ nhất của biểu thức: Q= 1 4 + x+ 4x2 + 4x2 − 12x+ 9
Bài 7:
a) Chứng tỏ rằng: 3 70 − 4901 + 3 70 + 4901 5 =
b) Tìm các số nguyên x và y thoả mãn: 3x2 + 7y2 = 2002
c) Tìm trên đường thẳng y x= + 1 các điểm có toạ độ thoả mãn 2
y − y x+ x=
Bài 8:
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
b) Tìm m để hai phương trình sau có đúng một nghiệm chung
x − m− x+ = và 2x2 + + − =x m 5 0
Bài 9:
a) Cho hai số dương x và y thoả mãn: x y+ = 10
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( 4 ) ( 4 )
A= x + y +
c) Chứng tỏ rằng: 75 2 3 2 3 2920
Bài 10:
Trang 2a) Giải hệ phương trình:
0
0
x y y z z x
b) Cho phương trình: x2 − 2(m+ 1)x m+ − = 4 0
*) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
*) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x x M
+
=
Bài 11:
a) Giải phương trình: 2 ( 2 )
5x + 10x+ = − 1 7 x + 2x
b) Giải hệ phương trình:
2
5
x xy x y
x y
c) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
1
x yz+ + y zx+ + z xy+ ≥ + xy+ yz+ xz
Bài 12:
a) Cho phương trình: 2
1 0
x −mx m+ − = có hai nghiệm x1 và x2
*) Tìm giá trị của biểu thức:
3x 3x 3
M
x x x x
=
+
*) Tìm m để 2 2
x +x =
b) Giải hệ phương trìmh:
x xy y
x xy y
c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n+ n+ < 1 4n+ 2
Bài 13:
a) Chứng minh rằng: n= 2( 3 1 2 + ) − 3 là số hữu tỉ
b) Rút gọn biểu thức: M = x+ 2 x− + 1 x− 2 x− 1 với x≥ 1
c) Cho a b+ = 10 Chứng minh: ( 4 ) ( 4 )
x + y + ≤
Bài 14:
a) Cho phương trình: (2m− 1)x2 − 2mx+ = 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x1 và x2 thoả mãn: 2 2
x −x =
b) Giải các phương trình và hệ phương trình:
7 − +x x− = 5 x − 12x+ 38 *)
8 7
x y x y
x y xy
+ + + =
1 1
c) Cho x≥ 1;y≥ 1 Chứng minh rằng: 1 2 1 2 2
1 x + 1 y ≥ 1 xy
Bài 15:
Trang 3a) Rút gọn biểu thức: 2 2 1
+ + − + với 0≤ ≤x 1
b) Giải phương trình: 3 x+ + 1 3 x− = 1 3 5x
c) Giải phương trình: x x( − + 2) x x( − = 5) x x( + 3)
d) Giải phương trình: 2 3 x2 − 5 3 x= 3
e) Giải phương trình: 3 2 1
3
x − − =x x
Bài 16:
a) Cho
2
2 1 1 2 1 1
x=
−
Tính giá trị của biểu thức: ( 4 3 2 )2009
2 1
A= x − − +x x x−
b) Rút gọn biểu thức: 2 3 6 8 4
c) Cho x2 − 2y2 =xy y; ≠ 0;x y+ ≠ 0 Tính giá trị của biêủ thức: Q x y
x y
−
= +
d) Tìm hai số tự nhiên a và b biết a b a
b
− =
Bài 17:
a) Cho hai số dương có tổng bằng 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 1
a b
= +
b) Cho hệ phương trình: 2 2
3 3 0
x y
− − =
+ − − − =
có hai nghiệm (x y1 ; 1) và (x y2 ; 2) Tính giá trị của biểu thức: M= ( ) (2 )2
M = x −x + y −y
c) Giải phương trình: ( x+ − 5 x+ 2 1) ( + x2 + 7x+ 10)= 3
d) Giải hệ phương trình:
x x y
y xy
Bài 18:
a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: 2 2 2
2y x x y+ + + = 1 x + 2y +xy
b) Cho các số thực x,y,z thoả mãn: x y z xy yz xz+ + + + + = 6 Chứng minh rằng:
3
x +y + ≥z
c) Tìm m để phương trình: x4 + 2mx2 + = 4 0 có bốn nghiệm phân biệt x x x x1 , , , 2 3 4thoả mãn: 4 4 4 4
x + + +x x x =
d) Giải hệ phương trình:
4 0
x xy y x y
x y x y
+ + + − =
= + +
−
=
− + +
4 10 6
4 6 10
y x
y x
Trang 4Bài 19:
a) Cho biểu thức: 2 2 2( 1)
x
P
−
*) Rút gọn P *) Tìm giá trị nhỏ nhất của P b) Giải phương trình và hệ phương trình:
2x− + 3 5 2 − x = 3x − 12x+ 14 *) 1 4
7
x y
+ =
c) Xác định m để phương trình 2 2
2x + 2mx m+ − = 2 0có hai nghiệm Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 2x x1 2 + + −x1 x2 4
Bài 20:
a) Cho biểu thức: 1 3 . 3 2 9
P
*) Rút gọn biểu thức P *) Tìm x để P=1
b) Giải hệ phương trình:
6 1 14
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =
+ − = −
+ + =
3 3
1 21
x y
x y
+ = −
+ = −
c) Tìm k để phương trình: kx2 −(12 5 − k x) − 4 1( +k) = 0có tổng bình phương các nghiệm bằng 13
Bài 21:
a) Chứng minh phương trình ( 2 2) 2 ( 3 3) 4 4
a −b x + a −b x a+ − =b luôn có nghiệm với
mọi a và b
b) Giải hệ phương trình:
5
x y xy
7 21
x y xy
x y x y
c) Cho a b+ ≥ 2 Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có
x + ax b+ = x + bx a+ =
Bài 22: Cho phương trình: 2
x − mx− m− =
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn: 2 2
x +x =
Bài 23:
a) Giải các hệ phương trình:
11 30
x y xy
x y xy
2 2
2 3 2 6
x y xy
x y
+ + = +
64
1 1 1
4
xy
x y
= −
− =
b) Giải các phương trình: *) ( ) (2 ) ( )
6x+ 7 3x+ 4 x+ = 1 6 *) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
4 x+ 5 x+ 6 x+ 10 x+ 12 = 3x
Bài 24:
a) Giải phương trình: x− 4x− = 3 2
Trang 5b) Tìm m để phương trình: x2 −(m+ 1)x+ 2m= 0có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5