Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Điểm H thuộc dây cung AB sao cho HB = 2HA, đường thẳng đi qua H và vuông góc với OH cắt đư[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
-Câu 1 (2 điểm)
1) Giải phương trình: x3 x 1 x 1
2) Giải hệ phương trình:
| 4 | | 3 | 5
Câu 2 (1 điểm) Tính tổng sau:
S
n n
Câu 3 (4 điểm). Cho đường tròn (O; R) tâm O, bán kính R Từ điểm M nằm ngoài đường tròn
kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Điểm H thuộc dây cung AB sao cho HB = 2HA, đường thẳng đi qua H và vuông góc với OH cắt đường thẳng MA tại C và cắt đường thẳng MB tại D
1) Chứng minh rằng:
a OHAC và OHDB là các tứ giác nội tiếp
b H là trung điểm CD
c MC.MD = MA2 - AC2
2) Tính diện tích tam giác OCD, biết OM = 2R
Câu 4 (2 điểm).Giải các phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
1) x2 y22x4y 8 0
2) x2 3 5y
Câu 5 (1 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c Chứng minh rằng:
2
b c c a a b
-Hết -Ghi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Hớng dẫn chấm môn toán CHUYấN
1.1
3
2
2 2
x x
1.2
| 4 | | 3 | 5
| 4 | | 3 | 5
| 4 | | 3 | 6
( 4)( 3) 0
| 4 | 2
| 3 | 3
( 4)( 3) 0
x y
| 4 | 3
| 3 | 2 ( 4)( 3) 0
x y
0.5
(1)
4 2
x y
3 3
x y
2 0
x y
hoặc
6 6
x y
(2)
4 3
x y
3 2
x y
1 1
x y
hoặc
7 5
x y
2
S
n n
Ta cú:
0.5
Cho n = 2, 3, 4,…, 2008 ta được:
1 2
1 2
1 2 2008.2009 2008 2009
Cộng cỏc đẳng thức trờn với nhau ta được:
0.5
Trang 3(Hỡnh
D
C
A
B
H
0.5
3.a
Vỡ OA MA, OB MB (tính chất tiếp tuyến ), OH CD (gt) nờn:
OAC OHC suy ra tứ giác OHAC nội tiếp đờng tròn đờng kính
OC OBD OHD 1800 suy ra tứ giác OHDB nội tiếp đờng tròn đờng
kính OD
0.5
3.b
Ta có: OCH OAH (góc nội tiếp cùng chắn cung OH của đờng tròn đờng
kính OC)
ODH OBH ( góc nội tiếp cùng chắn cung OH của đờng tròn đờng kính OD)
OAH OBH (vì OAB cân đỉnh O)
0.5
Suy ra OCH ODH OCD cân đỉnh O H là trung điểm CD 0.5
3.c
Ta có: MC = MA + AC , MD = MB - BD , MA = MB
Xét hai tam giác vuông OAC và OBD có: OA = OB và
AOCAHC BHD BOD nên OAC = OBD AC = BD do đó MD =
MA - AC
0.5
Suy ra : MC.MD = (MA + AC)(MA - AC) = MA2 - AC2
(Cú thể chứng minh AC = BD như sau:
3.2 Gọi I là trung điểm OM thì OI = R nên I (O,R) OAI đều 0.5
Trang 4Gọi K = OM AB thì K là trung điểm AB
Vì
nên H là trọng tâm OAI đều
3 3
R OH
Vì IOA600 OBH OAH 300 ODH 300 DOH 600
3
R
2
R
4.1
0.5
1 1
3 5
x y
x y
1 5
3 1
x y
x y
x y
x y
x y
x y
2
0
x
y
hoặc
2 4
x y
hoặc
4 4
x y
hoặc
4 0
x y
0.5
4.2
Đặt x = 5t + r với t , r 0;1; 2;3; 4 Ta cú: x2 3 25t210tr r 23
Với mọi r0;1; 2;3;4 , r 2 3 khụng chia hết cho 5 Do đú với mọi x ,
2 3
x khụng chia hết cho 5
0.5
Vậy: Phương trỡnh x2 3 5y khụng cú nghiệm nguyờn 0.5
5
Vỡ a < b + c nờn a + b + c < 2(b + c), suy ra
2
b c a b c Tương tự:
2
c a a b c ,
2
Cộng theo từng vế ta được:
2
Ghi chỳ: Thớ sinh làm bài khụng giống đỏp ỏn (nếu đỳng) vẫn được điểm tối đa theo quy định.