TAI LIEU THAM KHAO TOAN 9

Chøng minh hay t×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh gåm hai ph¬ng tr×nh cña hai hµm sè cã nghiÖm kÐp hay ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cã nghiÖm kÐp.. X..[r]

Biến đổi đồng nhất

A Kiến thức cần nhớ

I Tìm ĐKXĐ: Tìm các gía trị của biến thoả mãn đồng thời các ĐK:

- Các biểu thức dới dấu căn bậc chẵn không âm

- Các biểu thức dới dấu mẫu khác 0

III Rút gọn biểu thức: (Tuỳ theo đặc điểm mỗi biểu thức mà thực hiện)

- Sử dụng các phép biến đổi đa thừa số ra ngoài dấu căn, khử mẫu của biểuthức lấy căn, trục căn thức ở mẫu, đa các căn thức về các căn thức đồng dạng (nếu

V Chứng minh gía trị của biểu thức không phụ thuộc vào gía trị của biến:

Rút gọn biểu thức, kết quả không chứa biến

VI Chứng minh đẳng thức:

- Biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản

- Biến đổi cả vế về cùng một biểu thức

Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A

đ-ợc gọi là biểu thức lấy can hay biểu thức dới dấu căn

8 Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)

có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm

* Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm

+ Với hai biểu thức A và B không âm ta có =

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()2 = A2 = A

b =

a b

b Qui tắc khai ph ơng một th ơng

Muốn khai phơng một thơng , trong đó số a khong âm và số b dơng, ta có thểkhai phơng lần lợt số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai

c Qui tắc chia hai căn thức bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thểchia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó

d Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có

A

B =

A B

12 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

a Đ a thừa số ra ngoài dấu căn Với a  0; b  0 ta có : = a

* Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có = A

Nếu A  0 và B  0 thì = A

Nếu A < 0; B  0 thì = - A

b Đ a thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu A  0 và B  0 thì A =

NÕu A < 0; B  0 th× - A =

c Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n

Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B  0 vµ B  0 th×

A

B =

ABB

d Trôc c¨n thøc ë mÉu

+ Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0 ta cã

A A B

=BB

B Bài tập

Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếubài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khácnhận xét, bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm

b) Chứng minh với n  Z thì A chia hết cho 120

3 Cho a - b = 5 Tính M = b(b + 3) + a(a - 3) - 2ab

N =

4a b 3b a3a 5 2b 5

5 a) Cách 1: Biến đổi vế trái.

Cách 2: Biến đổi vế phải

b) Cách 1: Trục các căn thức ở các mẫu của các biểu thức dới dấu căn

Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức dới căn với 2 rồi sử dụng qui tắc khai phơng một thơng ĐS: B = 4

e) E = - 2 + - 1 = + - 3.

g) G = + 2 + - 2 = 4;

h) H = 1

10 Nhân cả tử và mẫu mỗi phân thức với ta có A = B ( = )

11 Nhân từ phải qua trái ta có A = 1.

12 Trục căn thức ở mẫu của mỗi phân thức ta đợc A = - 2007  2

13 Đặt x = a ta có A =

(a 1)(a 2)(a 3) 12(a 1)(a 2)(a 3) 2

Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình thì ta hiểu rằng cần tìm gía trị của

x để gía trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau x là ẩn, gía trị tìm đ ợc của x

là nghiệm của phơng trình, mỗi biểu thức A(x); B(x) là một vế của phơng trình

2 Tập nghiệm của phơng trình:

Là tập tất cả các nghiệm của phơng trình

3 Giải phơng trình: Là tìm tập hợp nghiệm của phơng trình đó.

4 Số nghiệm của phơng trình: Một phơng trình có thể có một, nhiều hay vô số

nghiệm, phơng trình cũng có thể không có nghiệm nào (phơng trình vô nghiệm)

II Ph ơng trình ax + b = 0

1 Phơng trình bậc nhất một ẩn số.

a Định nghĩa: Phơng trình bậc nhất một ẩn số là phơng trình có dạng ax + b = 0.Trong đó x là ẩn, a và b là các số đã biết, a khác 0

b Số nghiệm của ph ơng trình bậc nhất một ẩn số : Một phơng trình bậc nhất một ẩn

số bậc nhất một ẩn số luôn có một nghiệm duy nhất x = -

III Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn.

1 Định nghĩa:

Phơng trình bậc nhất hai ẩn là phơng trình có dạng ax + by = c trong đó x và y là

ẩn, a và b là các số đã cho, a và b không đồng thời bằng 0

2 Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

- Nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn là cặp gía trị (x; y) thoả mãn phơngtrình

- Phơng trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiêm, khi biểu diễn tập nghiệmcủa phơng trình bậc nhất một ẩn trên mặt phẳng toạ độ ta đợc một đờng thẳng gọi là

- Đối với phơng trình bậc hai đầy đủ:

Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm là 1; - Nhẩm theo hệ thức Vi ét: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cóhai nghiệm x1; x2 thì

x1 + x2 = - ; x1 x2 = Nếu b = 2b' thì sử dụng công thức nghiệm thu gọn: ' = b'2 - ac

x1; 2 =

2 4 2

Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể)

VI Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.

Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩnvới khoảng đang xét)

(Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu)

Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

Cách 3: Biến đổi tơng đơng

Cách 4: Đặt ẩn phụ

Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT

IX Ph ơng trình nghiệm nguyên.

Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trịnguyên, 1 vế là 1 hằng số

+ Lập phơng trình.

- Chọn ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn

(Có thể chọn bất kì 1 số liệu cha biết nào làm ẩn cũng đợc, chú ý chọn thích hợp đểphơng trình lập đợc đơn giản, thờng ta dựa vào điều đòi hỏi của bài toán để chọnẩn)

- Biểu diễn các số liệu cha biết qua ẩn

(Chú ý về quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán)

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lợng để lập phơng trình

Nếu ac < 0 thì phơng trình có hai nghiệm

Phơng trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' < 0 hoặc  < 0

Phơng trình có nhiệm kép khi và chỉ khi ' = 0 hoặc  = 0

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ' = 0 hoặc  = 0

XII Dạng toán về dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0.

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi S < 0

- Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm kép dơng khi và chỉ khi ' = 0 hoặc  = 0 và - > 0, có 1 nghiệm kép âm khi và chỉ khi ' = 0

hoặc  = 0 và - < 0

XIII.Tính gía trị của biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai.

Cách 1: + Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Biểu diễn biểu thức chứa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét.Cách 2: Giải phơng trình, tìm x1; x2 rồi tính

XIV.Chứng minh biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Biểu diễn biểu thức chứa x1; x2 qua x1+ x2; x1 x2 rồi sử dụng hệ thức Vi ét,tính gía trị của biểu thức theo tham số

+ Chứng minh biểu thức chứa x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình bậc haithoả mãn điều kiện cho trớc

XV.Tìm gía trị của tham số để biểu thức chứa x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn một điều kiện cho tr ớc

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Sử dụng hệ thức Vi ét và điều kiện cho trớc để tìm gía trị của tham số

XVI Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào tham số.

+ Chỉ ra điều kiện để phơng trình có nghiệm

+ Sö dông hÖ thøc Vi Ðt biÓu diÔn x1+ x2; x1 x2 qua tham sè.

a) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m 

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m >

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi m =

Ph¬ng tr×nh cã hai nhiÖm ph©n biÖt khi m <

b) Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi m + m2  0  - 1 m  0

Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi m + m2 > 0  m < - 1 hoÆc m > 0

Ph¬ng tr×nh cã hai nhiÖm ph©n biÖt khi m + m2< 0  - 1 < m < 0.

Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = - 1

c)  = m2 + 960 > 0 với mọi m nên với mọi m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

d) Phơng trình vô nghiệm khi m = 0 hoặc m  0 và  < 0  m  R

e) Phơng trình có nghiệm khi m 

Phơng trình vô nghiệm khi m <

Phơng trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m =

Phơng trình có hai nhiệm phân biệt khi m >

B i toán à 4: Không tính , chứng minh mỗi phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt

a) (1 - )x2 - 2x + = 0

b) x2 - 2( + )x + - = 0

c) (1 - )x2 - 2(1 + )x + 1 + = 0

H ớng dẫn:

b) x2 + ax + a - 1 = 0 có 1 nghiệm kép khi và chỉ khi phơng trình

x2 + ax + a - 1 = 0 có  = 0 và 1 không phải là nghiệm của nó hoặc  > 0 và 1 lànghiệm của nó  a = 0 hoặc a = 2

B i toán 6 à : Tìm m để phơng trình (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 1) = m2 - 1 có nghiệm

H ớng dẫn:

B i to¸n 1 à c: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh:

- NÕu m  0 th×  = 3m2 + 2m + 1 > 0 víi mäi m

Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

x1; 2 =

m 1m

Hai ph¬ng tr×nh x2 + 3x + 2 = 0 vµ x2 - 3x + m = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi

vµ chØ khi x = - 1 hoÆc x = - 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2)

b) Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất

H ớng dẫn:

a) - Nếu m = 0,5 thì (1) có nghiệm x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)

- Nếu m  0,5 thì (1) là phơng trình bậc 2 có a + b + c = 0 với mọi m

 phơng trình có 2 nghiệm là 1 và

Ta thấy x = 1 thuộc khoảng (-1; 0)

Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi -1 < < 1  m < 0Tóm lại, Phơng trình có các nghiệm thuộc khoảng (-1; 0) khi và chỉ khi m < 0

1

1 12m 1

1 12m 1

H ớng dẫn:

Với 1 < x < 4 thì (1)  x - 1 + 3 (x - 4) = 7  x = 2

(thoả mãn điều kiện 1 < x < 4)

Vậy, gía trị của x thoả mãn 1 < x < 4 đồng thời là nghiệm của phơng trình

(1)  x 3 (1 x 3 )0

Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {2; 3; 4}

B i to¸n 16 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x 1 x2 (1)

H íng dÉn:

Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = 

B i to¸n 18 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x2 + 2 x - 1 = 0 (1)

H íng dÉn:

§Æt x = y

B i to¸n 19 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh 2(x2 + ) +3(x + ) - 16 = 0 (1)

H íng dÉn:

Đặt x2 = t đợc t2 - mt + 3m - 8 = 0 (2)

 = m2 - 12m + 32; P = 3m - 8; S = m

- Nếu m < thì > 0; P < 0  (2) có hai nghiệm trái dấu  (2) có 2 nghiệm

- Nếu m = thì > 0; P = 0; S > 0  (2) có 1 nghiệm là 0; 1 nghiệm dơng (2) có 3 nghiệm

- Nếu <m < 4 thì > 0; P > 0; S > 0  (2) có hai nghiệm dơng

 (2) có 4 nghiệm

- Nếu m = 4 thì = 0; S > 0  (2) có 1 nghiệm dơng  (2) có 2 nghiệm

- Nếu 4 <m < 8 thì < 0 (2) vô nghiệm  (2) vô nghiệm

- Nếu m = 8 thì = 0; S > 0  (2) có 1 nghiệm dơng  (2) có 2 nghiệm

- Nếu 8 < m thì > 0; P > 0; S > 0  (2) có hai nghiệm dơng

a) Với m = - 1 ta có phơng trình (x + 1)4 + 2(x + 1)2 -3 = 0

Đặt (x + 1)2 = t đợc t2 + 2t - 3 = 0 (2)  t = - 3 (loại); t = 1

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {0; - 2}

b) Đặt (x + 1)2 = t đợc t2 + (m - 1)t - m2 + m - 1 = 0 (3)

Vì (3) là phơng trình bậc 2 có ac < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m

 phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi gía trị của m

B i toán 25 à : Giải phơng trình 2x3 - x2 +3x + 6 = 0 (1)

H ớng dẫn:

(1)  (x + 1)( 2x2 - 3x + 6) = 0

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}

B i toán 26 à : Giải phơng trình 2x3 - 8x2 +11x - 5 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1}

B i toán 27 à : Giải `hơng trình

x4 - (2m + 1)x3 + (m2 + m - 1)x2 + (2m + 1)x - m(m + 1) = 0 (1)

H ớng dẫn:

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = { 1; m; m + 1}

B i toán 28 à : Giải phơng trình 2(x2 - 2x)2 = 3x2 - 6x + 9 (1)

H ớng dẫn:

Đặt t = x2 - 2x

B i toán 29 à : Giải phơng trình (x2 + x + 1)2 - 3x2 - 3x - 1 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Đặt x2 + x + 1 = t  (1)  x = - 1; 0;

1 52

 

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 0;

1 52

 

}

B i toán 30 à : Giải phơng trình x(x + 1)( x +5)( x + 4) = 12 (1)

H ớng dẫn:

(1)  (x2 + 5x)( x2 + 5x + 4) - 12 = 0

Đặt t = x2 + 5x + 2 ta có t =  4

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 2; - 3;

5 332

 

} Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {- 1; 3}

 

}

B i toán 32 à : Giải phơng trình 4x4 + 12x3 - 47x2 + 12x + 4 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Chia cả hai vế cho x2  0 và đặt x +

Chia cả hai vế cho x2  0 và đặt x +



B i toán 34 à (Thi vào 10 chuyên toán tin Vinh vòng 1- 2001):

Giải phơng trình x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Chia hai vế cho x2  0 rồi đặt x +

1

x = y  2 ta có y = - 1 (loại); y = 3

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {

3 52



}

B i toán 35 à : Giải phơng trình 2x4 - 13x3 - 24x2 - 13x + 2 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Chia cả hai vế cho x2  0 và đặt x +

Cách 1: Chia cả hai vế cho x2  0 và đặt x +

(1)  (x2 + 2x + 4)(y2 - 2y + 3)  6 với mọi x; y

Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi x = - 1; y = 1

- z2 + 4z + 2  6 với mọi z Dấu ''=" xảy ra khi và chỉ khi z = 2

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = {(- 1; 1; 2)}

B i toán 38 à : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x2 - y2 + 2y = 1994 (1)

H ớng dẫn:

b) √x2−3 x+2=x − 1

H íng dÉn:

) + 6 = 0 (1)

H íng dÉn:

§KX§: x > 0 (1)  (

1xx



)2 - 4 (

1xx

C¸ch 1: (1)   x  1 2  y 1 1  2  z 2  12

= 0Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {(1; 2; 3)}

C¸ch 1: (1)             

x 2 1 y 1995 1 z 1996 1

= 0Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {(3; - 1994; 1997)}

C¸ch 2:

B i to¸n 48 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh x2  4x4 + x = 8 (1)

H íng dÉn:

(1)  x 2 + x = 8

Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {5}

B i to¸n 49 à (Thi vµo 10 chuyªn tin Lam S¬n 2003- 2004):

(1)  x  1  x  2 =1

Ph¬ng tr×nh (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ S = {x\ -1  x  4}

B i to¸n 51 à : Gi¶i ph¬ng tr×nh x2 x 1  x 2 x 1 = 4 (1)

H íng dÉn:

 = 3 (1)

H íng dÉn:

Ta cã + = +  5 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = - 1

4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2  5 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = - 1

3 = 4 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 3

6x - x2 - 5 = 4 - (x - 3)2  4 víi mäi x, dÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 3

Phơng trình (1) có tập hợp nghiệm là S = 

B i toán 61 à (Thi vào 10 chuyên toán tin, ĐHSP Hà Nội 2002):

* Chứng minh số x0 = 2 2 3  6 3 2 3 là nghiệm của phơng trình

x4 - 16x2 + 32 = 0

H ớng dẫn:

Tính x0 rồi thay vào phơng trình

B i toán 62 à : Chứng minh chỉ có một cặp số duy nhất (x; y) thoả mãn phơng trình

x2 - 4x + y - 6+ 13 = 0 (1)

H ớng dẫn:

Cách 1: (1)  (x - 2)2 + (- 3)2 = 0  (x; y) = (2; 9)

Cách 2: Xem (1) nh phơng trình bậc 2 đối với x (y là tham số),để phơng trình cónghiệm thì '  0  - (- 3)2  0  y = 9 Khi đó x = 2

B i toán 63 à (Thi vào 10 chuyên toán Vinh vòng 1- 1998):

Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian nhất định.Sau khi đi đợc 1 giờ, ô tô phải dừng lại 10 phút Vì vậy, để đi đến B đúng giờ thì ôtô phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính vận tốc dự định của ô tô

H ớng dẫn:

về B, một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc là 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay

và gặp bè nứa tại điểm C cách A 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

H ớng dẫn:

Thời gian bè nứa trôi từ A đến C là 8 : 4 = 2 (h)

Gọi cạnh của các hình vuông đó là x (cm) ĐK: x < 5

M = (x1+ x2) - 2 x1 x2 = 2(m + 1) - 2 (m - 4) = 10

B i to¸n 2 à : Cho x1; x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0

TÝnh theo a; b; c gÝa trÞ cña c¸c biÓu thøc

a) Ph¬ng tr×nh x2 - 3x + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm cïng dÊu khi vµ chØ khi

> 0; P > 0.

a) Ph¬ng tr×nh x2 - 3x + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu khi vµ chØ khi P < 0

 a < 1

B i toán 6 à : Tìm a để phơng trình (a - 1)x2 +2ax + a + 1 = 0 có 2 nghiệm cùng âm.

H ớng dẫn:

a) Phơng trình (a - 1)x2 +2ax + a + 1 = 0 có 2 nghiệm cùng âm khi và chỉ khi

a) Phơng trình k2x2 - (k + 1)x - 5 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

> 0; P > 0; k  0 Không tồn tại gía trị của k thoả mãn bài toán

a) Phơng trình k2x2 - (k + 1)x - 5 = 0 có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

P < 0  k  0

B i toán 8a à (Thi vào 10 chuyên Nga- Pháp Lam Sơn 2004- 2005):

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 (1)

Tìm m để + + x1+ x2 = 1

H ớng dẫn:

Phơng trình (1) có hai nghiệm khác 0 khi và chỉ khi   0 và ac  0

Kết hợp với điều kiện ta đợc m = 1 là giá trị cần tìm.

B i toán 9 à : Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình

x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 (1) Tìm m để x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2

H ớng dẫn:

Phơng trình (1) có hai nghiệm x1; x2 nên

x1+ x2 = 2(m + 2)x1 x2 = m + 1

Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi   0 a 2 (1)

2

4a 12a 13

    > 0 với mọi a nên phơng trình luôn có hai nghiệm x1; x2

Khi đó x1 + x2 = (x1+ x2 ) 2 - 2 x1 x2 = (2a - 1)2 + 2 (4a + 3) = 4a2 + 4a + 7

= (2a + 1)2 + 6  6 với mọi a

B i toán 12 à : Cho phơng trình (m2 + m + 1)x2 - (m2 + 2m + 2)x - 1 = 0

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên

Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất của S = x1+ x2

H ớng dẫn:

hay miền gía trị của y là -  y  1  S  2

gía trị nhỏ nhất của S là ; gía trị lớn nhất của S là 2

B i toán 13 à : Giả sử x1; x2 là nghiệm của phơng trình x2 + 2mx + 4 = 0

Xác định m để x1 + x2  32

H ớng dẫn:

Phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi ' 0  m  2 (1)

a) Với m = 1 ta có phơng trình (x + 1)4 = 1  x + 1 =  1  x = 0; x = - 2

b) Đặt (x + 1)2 = y (y  0) ta đợc phơng trình y2 - (m - 1)y - m2 + m - 1 = 0 (2) Vì (2) là phơng trình bậc hai có ac < 0 nên (2) có hai nghiệm trái dấu Chỉ cónghiệm dơng cho ta hai gía trị đối nhau của x Từ đó, phơng trình (1) luôn có hainghiệm phân biệt

c) x1  x2 2  (x + x )1 2 2  2 x x1 2  4