de thi dai hoc hay co loi giai

Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản. a) Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có A ;.[r]

ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3− 3 x2

+2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Biện luận số nghiệm của phương trình x2−2 x − 2= m

|x − 1| theo tham số m.

Câu II (2 điểm)

a) Giải phương trình 3 4 sin22x2cos x2 1 2  sin x

b) Giải phương trình

2

Câu III ( 2 điểm)

a) Tính tích phân

3 2 3

x sin x

cos x







b) Cho hàm số f (x)=e x − sin x + x

2

2 − 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và chứng

minh rằng f (x)=0 có đúng hai nghiệm

Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −12 =y

1=

z +2

− 3 và mặt

phẳng (P):2 x+ y+z −1=0

a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0)

tới (Q) bằng 2

√3 .

B PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH

Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản

a) Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có A ; 0 5 Các đường phân giác và trung

tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là d : x y1   1 0,d : x2  2y0. Viết

phương trình ba cạnh của tam giác ABC.

b) Có triển bao nhiêu số hữu tỉ trong khai  23360.

Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao

a) Giải phương trình 3 4x+1

3 9

x+2

=6 4x −1

4 9

x+1

b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2009

Câu I 2 điểm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 3x22.

 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.

 Sự biến thiên: y' 3x2 6x. Ta có

0 0

2

x y'

x







0,25

 Bảng biến thiên:

y'  0  0 

y 2



  2

0,25

b) Biện luận số nghiệm của phương trình x2−2 x − 2= m

|x − 1| theo tham số m.

 Ta có

1

m

x



Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của yx2 2x 2 x1, C' 

và đường thẳng y m,x 1.

0,25

 Vì

 

1

f x khi x

f x khi x





bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x 1 qua Ox.

0,25

 Dựa vào đồ thị ta có:

+ m 2: Phương trình vô nghiệm;

+ m2: Phương trình có 2 nghiệm kép;

+ 2m0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

+ m0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0,25

0,25 Câu II 2 điểm

a) Giải phương trình 3 4 sin22x2cos x2 1 2  sin x

 Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2 sin x1  2sin x10 0,75

 Do đó nghiệm của phương trình là

0,25

b)

Giải phương trình

2

 Điều kiện:

 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho

0,25

 Với x 1 Đặt t log x2 và biến đổi phương trình về dạng

0

1 t 4t1 2 t1

0,5

 Giải ra ta được

Vậy pt có 3 nghiệm x =1;

1 4

2

0,25

Câu III

a)

Tính tích phân

3 2 3

x sin x

cos x







 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có

3

3







với

3

3

dx J

cosx







0,25

 Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó

2

3 3

2



0,5

 Vậy



0,25

b)

Cho hàm số f (x)=e x − sin x + x

2

2 − 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của f (x) và

chứng minh rằng f (x)=0 có đúng hai nghiệm

 Ta có f ( x ) e  x  x cos x. Do đó f ' x   0 e x x cos x. 0,25

 Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số yx cosx là hàm nghịch biến

vì y' 1 sin x 0, x Mặt khác x=0 là nghiệm của phương trình

x

e x cos x nên nó là nghiệm duy nhất

0,25

 Lập bảng biến thiên của hàm số yf x 

(học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình f (x)=0 có đúng hai nghiệm

 Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x0.

0,5

Câu IV

a)

Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết

phương trình của đường thẳng Δ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm

trong (P)

 Tìm giao điểm của d và (P) ta được

2

A ; ;  

0,25

 Ta có u d 2 1 3; ; ,n P 2 1 1; ;   u u ;n d p 1 2 0; ; 

 Vậy phương trình đường thẳng Δ là

b)

Viết (Q) chứa d sao cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0) tới (Q) bằng

2

√3 .

 Chuyển d về dạng tổng quát

d :

y z





  



0,25

 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng

 2 1 3 2 0 2 2 0

m x y n y z   ,m n 

0,25



 

2

3

Câu VIa

a)

Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có A ; 0 5 Các đường phân giác và

trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là

d : x y   ,d : x y Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.

 Ta có B d 1d2  B2 1;  AB : x y3   5 0. 0,25

 Gọi A' đối xứng với A qua d1 H2 3; , A' ;  4 1 0,25

 Tìm được C28 9;  AC : x 7y35 0 . 0,25 b)

Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển  23360.

 Ta có  3 60 60 602 3

60 0

k k k k





 Để là số hữu tỷ thì

60  2 2

6 3

k k











 Mặt khác 0 k 60 nên có 11

số như vậy

0,5

Câu Vb

a) Giải phương trình 3 4x+1

3 9

x+2

=6 4x −1

4 9

x+1

 Biến đổi phương trình đã cho về dạng

4

x

x log

0,5

b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là

tam giác đều Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính

diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp

 Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25

 Kẻ B' D' // BD. Ta có

2

AD' C' B'