De va DA thi thu DH 2009 lan cuoi

Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số.. Viết phương trỡnh tiếp tuyến với C, biết rằng tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. Tỡm B, C sao cho diện tớch ABC lớn nhất.. Gọi

Đề thi thử đại học 15/6/2009 Cõu I: Cho hàm số y= − x +1

2 x+1 (C) 1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số.

2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

Cõu II: 1 Giải phương trỡnh: 2√2 sin(x − π

12)cos x=1

2 Tỡm m để PT: √x −3 − 2√x − 4+√x −6√x − 4+5=m cú đỳng 2

nghiệm

Cõu III: Cho đường thẳng d: x −32 =y +2

z +1

x+ y+ z+2=0

1 Tỡm giao điểm M của d và (P)

2 Viết phương trỡnh đường thẳng  nằm trong (P) sao cho   d và

Cõu IV: 1 Tớnh I=∫

0

1

x ( x −1 )

x2− 4 dx

2 Cho a, b là cỏc số dương thỏa món ab + a + b = 3

Chứng minh: 3 a

b+1+

3 b

a+1+

ab

a+b ≤ a

2

+b2+3

Cõu V

1 Chứng minh với mọi n nguyờn dương luụn cú

nCn0− (n −1) C n1+ +(− 1) n −2 C n n −2+(− 1)n −1 C n n −1=0

2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2, 1) lấy điểm B thuộc trục Ox cú hoành độ x  0 và điểm C thuộc trục Oy cú trung độ y  0 sao cho ABC vuụng tại A Tỡm B, C sao cho diện tớch ABC lớn nhất

Cõu VI.

2 2

2

log 2x 3x 1 log x 1

2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng

AB=AC=a , AA1 = a √2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn

AA1 và BC1 Chứng minh MN là đường vuụng gúc chung của cỏc đường thẳng AA1 và BC1 Tớnh VMA 1 BC 1

3/.Cho h/ctứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đờng cao và bằng a Tính

khoảng cách giữa hai đờng thẳng SC và AB

===================Hết==================

Bài giải Cõu I:

1 Khảo sỏt (Bạn đọc tự làm)

2 Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là A(−1

2, 0)

Phương trỡnh tiếp tuyến () qua A cú dạng y=k(x+1

2)

() tiếp xỳc với (C)

/

2x 1

 



⇔

− x+1

2 x +1=k(x +1

2) (1)

−3

(2 x+ 1)2=k (2)

¿{ Thế (2) vào (1) ta cú pt hoành độ tiếp điểm là

5

x

2

1 12 Vậy phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm là:

Cõu II:

1 Giải phương trỡnh: 2√2 sin(x − π

12)cos x=1 (1)

(1) ⇔√2[sin(2 x − π

12)− sin π

12]=1

⇔sin(2 x − π

12)=sinπ

4+sin

π

π

6cos

π

12

⇔sin(2 x − π

12)=cos π

5 π

12

2 P/trình cho ⇔√( x − 4 )− 2√x − 4 +1+√(x − 4) −6√x − 4 +9=m (1)

⇔√ ( √x − 4 − 1)2+√ ( √x − 4 − 3)2=m

⇔| √x − 4 − 1|+| √x − 4 − 3|=m (1) đặt: t=√x − 4 ≥ 0

(1) ⇔|t −1|+|t −3|=m ()

Phương trình cho có đúng 2 nghiệm  phương trình () có đúng 2 nghiệm t  0

Vẽ đồ thị của hàm số f(t)=|t −1|+|t −3|, t ≥ 0

Ta có

¿

4 − 2 t neáu 0 ≤t ≤1

2 neáu 1≤ t ≤ 3

2 t − 4 neáu t ≥ 3

¿f (t )={ {

¿

y 4

2

0

1 2 3 x

Từ đồ thị ta có ycbt  2 < m  4

Cách khác

⇔|t −1|+|t −3|=m và t 0

0 t 1m 4 2t  hay1 t 3m 2  hayt 3m 2t 4







Do đó, ycbt  2 < m  4

( khi 2 < m  4 thì () có đúng 2 nghiệm t1, t2 thỏa 0 t 1  và t1 2 > 3 )

Câu III:

1 Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phương trình số của d:

¿

x=3+2 t

y =−2+t z=−1 −t

¿{ {

¿

có VTCP ⃗a=(2,1,− 1)

Thế vào phương trình (P): (3 + 2t) + (–2 + t) + (–1 – t) + 2 = 0

 t = –1 M ( 1 ;- 3 ; 0)

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) có PVT

⃗

n Q=[⃗a , ⃗ n P]=(2, −3,1)

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P) là: 2(x – 1) – 3(y + 3) + 1(z – 0) = 0  2x – 3y + z – 11 = 0 (Q)

2 Phương trình đường thẳng (d') hình chiếu của d lên mặt phẳng P là: d': 2x 3y z 11 0x y z 2 0       có VTCP a⃗d' 4;1; 5 

 Phương trình tham số của d':

x 1 4t

 



 





 Trên d' tìm điểm N sao cho MN = √42

Vì N  d'  N(4t +1, –3 + t, – 5t)

 t2   1 t 1

Q

P



N M

d d'

t = 1  N1(5, –2, –5)

Đường thẳng 1 qua N1 nằm trong (P), vuông góc d' có VTCP

1 P d '

a n ,a 

Vậy phương trình 1:

 t = –1  N2(–3, –4, 5)

Đường thẳng 2 qua N2 nằm trong (P), vuông góc d' có VTCP

⃗

a Δ

2=(⃗n P , ⃗ a d ') 3 2, 3,1  

Vậy phương trình 2:



Câu IV:

0

1

x ( x −1 )

x2− 4 dx=∫

0

1

x2− x

x2− 4dx



1 1

2 0

0



2 Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3 Suy ra:

ab 3 (a b)   , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4

bđt đã cho tương đương với

⇔ a2

+b2+3

2≥

3

4(a

2

+b2)+3

4(a+ b)+

3

a+b −1

⇔ 4(a2

+b2

)+6 ≥ 3(a2

+b2

)+3 (a+b)+12

a+b − 4

a b

Đặt x = a+b > 0  x2 (a b) 24ab 4(3 x) 

 x24x 12 0   x6 hay x 2  x 2 ( vì x > 0)

x a b 2ab  a2b2 x2 2(3 x) x  22x 6 Thế x như trên , (A) thành

x

, với x 2  x3 x24x 12 0  , với x 2

 x 2 x   2 x 6 0

, với x 2 (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho đã được chứng minh

Câu Va:

1 Với mọi n  N ta có

( x − 1) n=C n0x n − C n1x n −1+ +(−1)n − 1 C n n −1 x +(−1 ) n C n n

Lấy đạo hàm hai vế ta có

n ( x −1 ) n− 1=nCn0x n − 1 − (n− 1)C n1x n − 2+ .+(−1)n −1 C n n − 1

Cho x = 1 ta có

0=nCn0− (n −1)C n1+ +(− 1)n− 1 C n n −1

2 Ta có A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c  0

Ta có ⃗AB=(b −2, −1) ; ⃗ AC=(−2 , c −1)

⇔c −1=−2 (b −2) ⇒c=− 2b +5 ≥0 ⇒ 0≤ b ≤5

2

Ta lại có SABC=1

1

2√(b −1)2+1√4+(c − 1)2

SABC=1

2√(b −2 )2+1√4+4 (b − 2)2=(b −2 )2+1

vì 0 ≤ b ≤52 nên SABC = (b – 2)2 + 1 lớn nhất  b = 0 Khi đó c = 5 Vậy, ycbt  B(0, 0) và C(0, 5)

Câu Vb:

1 Giải phương trình:

2

2

(1)

2log2(2 x2− 3 x +1)+1

2log2( x − 1)2≥1

2

⇔−1

2log2(2 x2− 3 x +1)+1

2log2( x − 1)2≥1

2

2

2 x 1 x

2

(x 1)

2 (2x 1)



