Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc với MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB.. Chứng minh rằng tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được đường tròn.[r]
Trang 1ĐỀ SÓ 2:
Câu 1: Giải các phương trình:
a)
x - 4x + 4 3 b) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4)
Câu 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = - 0,5x2 Trên đồ thị hàm số y, lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là -1 và 2 Hãy viết phương trình đường thẳng AB
Câu 3: Cho A =
2 x - 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x - 1
x - x x + x a) Rút gọn A
b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên
Câu 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â = 900), một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C Trên cung BC lấy một điểm
M rồi hạ các đường vuông góc với MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA,
AB Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH
a Chứng minh rằng tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được đường tròn
b Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
c Chứng minh rằng tứ giác MPIQ nội tiếp được đường tròn Suy ra PQ song song với BC
d Gọi (O1) là đường tròn qua M, P, K; (O2) là đường tròn qua M, Q, H; N là giao điểm thứ hai của (O1), (O2) và D là trung điểm của BC Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng
Lời giải:
Câu 1:
a) ĐK x 4, Phương trình đã cho tương đương với:
3(x + 4) + 3(x – 4) = x2 – 16 x2 – 6x – 16 = 0 x1 = 8; x2 = - 2
Vậy PT đã cho có hai nghiệm: x = 8; x = - 2
b) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4)
2x2 + 8x – x – 4 = x2 – 4x + x – 4
x2 + 10x = 0 x1 = 0; x2 = 10 Vậy PT đã cho có hai nghiệm: x = 0; x = 10
Câu 2: Hàm số xác định với mọi x R Với x < 0 thì hàm số đồng biến
và x 0 thì hàm số nghịch biến
Bảng giá trị:
1 2
0
1 2
-2
Với x = -1 => y =
1 2
nên A(-1;
1 2
); Với x = 2 => y = -2 nên B(2; -2) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng đi qua A, B
Trang 2nên ta có:
1
- a + b 2
- 2 = 2a + b
Giải hệ trên ta được: a =
1 2
và b =- 1 Vậy PT đường thẳng AB là: y =
1
x - 1 2
Câu 3:
a) ĐK: x > o; x 1
A =
2
x 1 x + x 1 x 1 x - x 1 2 x 1
:
=
b) Ta có:
Vì x số nguyên dương thì A là số nguyên khi x 1 là ước của 2
* x 1 = 1 x = 4
* x 1 = -1 x = 0 (Kh«ng tho¶ m·n)
* x 1 = 2 x = 9
* x 1 = -2 Không có giá trị x Vậy x = 4; x = 9 thì A có giá trị nguyên
Câu 4:
a) Ta có: MI BC, MK AB MIB MKB 180 0
Do đó tứ giác BIMK nội tiếp được đường tròn
b) Do AB = AC nên ABC ACB
Gọi tia đối của tia MI là tia Mx, các tứ giác BIMK, MICH nội tiếp nên:
IMH 180 ACB 180 ABC IMK
2
-2
M N
Q P I
H K
D
A
Trang 3 0 0
KMx 180 IMK 180 IMH HMx
Vậy Mx là tia phân giác của HMK
c) Theo kết luận của câu a) ta có: MIK MBK vµ MIH MCH nên suy ra:
PIQ MIK MIH MBK MCH
Mặt khác:
S® MBI S® CM = S® MCH
2
S® MBK S® BM = S® MCB
2
Suy ra PIQ MCB MBC
Trong tam giác BMC thì
BMC180 MCBMBC ,
do đó
BMC PIQ 180 MBC MCB MBC 180
Vậy tứ giác MPIQ nội tiếp được đường tròn Từ đó suy ra: MQP MIP
Mà MIP MBK vµ MBK MCB , do đó MQP MCB nªn PQ//BC
d) Ta có
MHI MQP (v× cïng b»ng s® MQ)
2
Hai tia QP, QH nằm khác phía đối với QM nên đường tròn O2 tiếp xúc với QP tại Q
Tương tự ta cũng có đường tròn (O1) tiếp xúc với QP tại P Do đó QP là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2)
Gọi E và E/ là giao điểm của MN với PQ, MN với BC Ta có
PE = EM.EN EQ (vì PEM ~ NEP vµ EQM ~ ENQ)
Do PQ//BC
; PE = EQ nªn E B = E C hay E D
Vậy M, N, P thẳng hàng