[r]
Trang 1đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8 Năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Bài 2 Cho x, y, z là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
Bài 3 Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:
x4
a +
y4
b =
x2
+y2
a+b và x
2
+y2 =1
Chứng minh: x2006
a1003 + y2006
b1003 = 2
(a+b )1003
Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dơng Chứng minh bất đẳng thức:
a+b
bc+a2 + b+c
ac+b2 + c +a
ab+c2 ≤1
a+
1
b+
1
c
Bài 5 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 1
2 AB
Đ-ờng thẳng MC cắt NA tại E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC tại F
a) Chứng minh AF = AM
b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM
Hớng dẫn chấm ôlim pic
Môn toán lớp 8
năm học 2005-2006
Bài 1 (4 điểm)
Phân tích thành nhân tử: x 4 - 6x 2 - 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3)
(2đ)
chia f(x) cho (x + 2)(x - 3)
Vì x2 + x + 1 = x2 + 21
2 x +
1
4+
3
4 > 0)
(1đ)
Trang 2Bài 2 (4 điểm)
Cho x, y, z là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + x = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
x+ y+ z¿4
¿ [(x + y +z )2]2 [3(x + y + z)2]2
x2+y2+z2¿2
9 ¿ 27(x4+y4+z4) (2đ)
=> 16 ≤27 (x4+y4+z4) => x4+y4+z4≥16
27 (1đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của x4
+y4
+z4 là16 27
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2
3 (1đ)
Bài 3 (4 điểm)
Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:
x4
a +
y4
b =
x2
+y2
a+b và x
2
+y2=1
Chứng minh: x2006
a1003 + y2006
b1003 = 2
(a+b )1003
Từ giả thiết =>
x2+y2¿2
¿
¿
x4
y4
<=> (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 (1đ)
<=> b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = 0 <=> (bx2 - ay2)2 = 0 (1đ)
<=> bx2 - ay2 = 0 <=> x2
a =
y2
b =
x2
+y2
a+b =
1
a+b (1đ)
<=>
a+b¿1003
¿
x2006
a1003 =y2006
b1003 = 1
¿
<=>
a+b¿1003
¿
x2006
a1003 +y2006
b1003 = 2
¿
(Điều phải cm)
(1đ)
Bài 4 (4 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
a+b
bc+a2 + b+c
ac+b2 + c +a
ab+c2 ≤1
a+
1
b+
1
c
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
a+b
bc+a2 −1
a+
b+c
ac +b2 −1
b+
c+a
ab+c2 −1
c (0.5đ)
Trang 3= a2+ab − bc − a2
a (bc+a2) +
b2+bc −ac −b2
b(ac+b2) +
c2+ac −ab − c2
c (ab+c2) (0.5đ)
= b(a − c)
a(bc+a2)+
c (b −a)
b (ac+b2)+
a(c − b)
c (ab+c2) (0.5đ)
Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a ≥ b ≥ c , khi đó b(a - c) 0, c(b - a)
0, a(c - b) 0
(0.5đ)
a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => b(a − c)
a(bc+a2
)≤ b(a −c ) b(ac +b2
)
(0.5đ)
=>A - B b(a− c)
b(ac+b2
)+
c (b − a) b(ac+b2
)+
a(c −b)
c (ab+c2
b(ac+b2
ac − ab
c (ab+ c2
) (0.5đ)
= a(b − c)
b(ac +b2
)− a(b −c )
c (ab+c2
) (0.5đ)
Mà 1
b(ac+b2
c (ab+c2
) nên A - B 0 (ĐPCM) (0.5đ)
Bài 5 (4 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M sao
cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng
thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN = 1
2 AB
Đ-ờng thẳng MC cắt NA tại E, đĐ-ờng thẳng BE cắt đĐ-ờng thẳng AC tại F
c) Chứng minh AF = AM.
d) Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM
a) Đờng thẳng EC cắt đờng thẳng BN tại K (2đ)
Ta có: AC AB (gt), KB AB (gt) =>FC//KB
AF
AE EN AC
AE EN }
⇒AF
AC
AB 2
NK ⇒ AF=AB
2
2 NK(1)
AC
AM
1
1
2⇒AB
2
= 1
2
⇒ 2 AB
1
2⇒4 AB=2 KN+AB ⇒KN=3
Từ (1) và (2) => AF=AB
2
3 AB=
AB
3 ⇒ AF=AM (ĐPCM) b)Từ chứng minh trên suy ra: Δ AFB = Δ AMC => ABF = ACM
A F K
N
E
C B
M
Trang 4mµ ABF + AFB = 1v => ACM + AFB = 1v => FEC = 1v =>EH =
FC
AC
AC
2 AC
3 =BM⇒ EH=BM (§PCM) (2®)