Cơ học lý thuyế

Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các lực đặt lên vật đó.. Ch ứng minh: Giả sử vật rắn ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực cùng nằ

NGUYỄN THÚC AN - NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU - KHỔNG DOÃN ĐIỀN

GIÁO TRÌNH

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG

THÔNG TIN TÁC GIẢ

A Tác giả của giáo trình: Lý thuyết dao động

1 GS.TS Nguyễn Thúc An

- Năm sinh: 25/02/1939

- Nguyên quán: Xã Tảo Dương văn, huyện Ứng hòa, Hà nội

- Trú quán: Phòng 101 nhà 9 tập thể trường Đại học Thủy

- Nguyên quán: Xã Yên Nam huyện Duy Tiên tỉnh Hà nam

- Trú quán: 515 Nguyễn Tam Trinh quận Hai Bà trưng, Hà

2 Trường học: Đại học Thủy lợi

3 Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết

4 Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp

5 Số lần xuất bản: 01

6 Nhà xuất bản: NXB Xây dựng

LỜI NÓI ĐẦU

Trong hơn 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết dùng để giảng dạy và học tập

ở Trường Đại học Thuỷ lợi được biên soạn nhiều lần Chất lượng bản in ở từng thời kỳ

có khác nhau, nhưng nội dung vẫn đảm bảo cho giảng dạy và học tập, đáp ứng yêu cầu của đào tạo và chương trình khung của Hội đồng Ngành Cơ học của Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp trước đây, nay là Bộ Giáo dục và Đào tạo

Lần in năm 1977, chương trình có tới hơn 20 chương, nhiều năm liền sinh viên ở Trường Đại học Thuỷ lợi được học theo chương trình đầy đủ đó Qua nhiều lần cải cách, chương trình bị rút bớt và gần đây theo chương trình khung của Hội đồng Ngành Xây dựng, không còn dạy các nội dung: Chuyển động của vật rắn có một điểm cố

định, chuyển động của vật rắn tự do, Hợp chuyển động của vật rắn, động lực học vật rắn, lý thuyết va chạm, … và rút gọn cách trình bày phần Tĩnh học

Để thuận tiện cho sinh viên có nguyện vọng học đầy đủ và nâng cao, đồng thời

đáp ứng yêu cầu của tình hình mới, chúng tôi biên soạn lại giáo trình Cơ học lý thuyết, trong đó có các chương hiện không có trong chương trình khung (như Chương V phần thứ 2 và Phần phụ lục), vì theo chúng tôi, có như vậy chương trình mới đầy đủ Cách sắp xếp các phần cũng không đáp ứng được cho tất cả các ngành, chúng tôi chia theo chương trình học của ngành học đầy đủ nhất

Phân công trách nhiệm viết các phần như sau:

- PGS TS Khổng Doãn Điền viết các Chương: I, II, III phần thứ nhất; Phần mở đầu, Chương I, II, III, IV phần thứ hai và cùng GS Nguyễn Thúc An viết

Ch ương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học

- PGS TS Nguyễn Đình Chiều viết Chương V phần thứ hai; Chương I, II phần

th ứ ba và Chương I, III phần phụ lục

- GS TS Nguyễn Thúc An viết Chương I và cùng PGS Khổng Doãn Điền viết

Ch ương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học; Chương II phần phụ lục

Tập thể tác giả chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Đông Anh và GS TS Nguyễn Văn Phó về những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình biên soạn giáo trình này

Chúng tôi rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp và người học Cảm ơn Th.S Nguyễn Ngọc Huyên vì sự đóng góp công sức vào hình thức thể hiện giáo trình này

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 4 năm 2007

Các tác giả

MỞ ĐẦU

Cơ học lý thuyết là một trong những môn học cơ sở của Khoa học kỹ thuật hiện

đại, nó là Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát về sự chuyển động và sự cân bằng chuyển động của các vật thể

Trong Cơ học lý thuyết, ta hiểu chuyển động là sự thay đổi vị trí của các vật thể trong không gian theo thời gian, còn vật thể được biểu diễn dưới dạng mô hình là chất

điểm và cơ hệ

Cơ học lý thuyết được xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức là dựa vào một số

khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của Niutơn, bằng suy diễn toán học lôgíc mà suy ra các kết quả Người ta gọi đó là Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nó nghiên cứu chuyển

động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng của những vật thể vĩ mô, tức là vật thể

có kích thước lớn hơn kích thước của một nguyên tử rất nhiều

Trên cơ sở những bài toán được nghiên cứu, Cơ học lý thuyết được chia ra làm ba phần: Tĩnh học, Động học và Động lực học

Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các lực đặt lên vật đó

Phần động học khảo sát chuyển động của chất điểm hay vật rắn về phương diện hình học mà không xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động

Phần động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động của chất điểm và cơ hệ dưới tác dụng của lực

Cơ học lý thuyết có vai trò và ý nghĩa rất lớn Nó không chỉ là cơ sở khoa học của nhiều lĩnh vực Khoa học kỹ thuật hiện đại, mà những quy luật và phương pháp nghiên cứu của cơ học lý thuyết cho phép ta tìm hiểu và giải thích các hiện tượng tự nhiên của thế giới xung quanh ta Đối với các Trường Đại học kỹ thuật nói chung và Trường Đại học Thuỷ lợi nói riêng, Cơ học lý thuyết là môn học rất quan trọng nó là cơ sở cho nhiều môn học khác, như Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Thuỷ lực, Bê tông cốt thép, Thuỷ năng, Thi công,

Để học tốt môn học, cần phải nắm được cơ sở của giải tích toán học, hình học giải tích, Đại số cao cấp, phương pháp vi phân Ngoài ra, những kiến thức về hình học và

đại số sơ cấp, về lượng giác thì phải nắm thật vững

Lịch sử phát triển của Cơ học lý thuyết gắn liền với với sự phát triển của sản xuất,

đó là cả một quá trình rất lâu dài

Từ xa xưa, để xây dựng những công trình vĩ đại như Kim tự tháp Ai cập, người ta

đã dùng những kinh nghiệm tích lũy về cơ học để chuyên chở hay đưa vật nặng lên

cao bằng những công cụ đơn giản như: Xe trượt, con lăn đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng, Sự chuyển tiếp từ những hiểu biết đơn thuần do kinh nghiệm dẫn đến việc thiết lập những quy luật chung về cơ học đòi hỏi một thời gian dài tích luỹ dần những tài liệu thực tế phong phú do kết quả quan sát, do kinh nghiệm hoạt động sản xuất của con người

Nhà thuỷ tổ Cơ học lý thuyết (phần tĩnh học) là Ácximét (287-212 TCN), đã giải quyết được nhiều vấn đề cơ học như: Xét điều kiện cân bằng của đòn, xây dựng lý thuyết về trọng tâm, sức đẩy của nước lên vật đặt trong nước và nhiều phát minh trong

Côpécních (1473-1543) đã lập ra lý thuyết “mặt trời là trung tâm”, lật đổ lý thuyết

“trái đất là trung tâm” đóng góp cho lịch sử phát triển cho lịch sử cơ học

Kêple (1571-1630) tìm ra ba định luật nổi tiếng về sự chuyển động của các vì sao Galilê (1564-1642) đã đưa ra khái niệm về vận tốc, gia tốc và giải quyết chính xác vấn đề chuyển động của viên đạn, đã đặt nền móng cho phần động lực học

Nhà Toán học và Cơ học nổi tiếng người Anh là Ixac Niutơn (1643-1727) đã có công lớn trong việc xây dựng hoàn chỉnh cơ sở của Cơ học cổ điển; trong đó, ông đã lập ra những định luật cơ bản và xuất phát từ những định luật này ông đã trình bày phần động lực học một cách có hệ thống Ngoài ra ông còn tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn và là người đầu tiên lập ra môn Cơ học các vì sao

Sau đó nhà toán học Ơle (1707-1783) đã dùng giải tích để nghiên cứu cơ học một cách triệt để hơn, phương pháp nghiên cứu cơ học bằng giải tích được phát triển hơn nhờ các công trình nghiên cứu của Lagrăng (1736-1813)

Nhà khoa học người Pháp Đalămbe (1717-1813) dựa trên nguyên lý di chuyển ảo của Bécnulli, đã đưa ra nguyên lý nổi tiếng mang tên ông

Ngoài ra, các nhà khoa học Pháp như Laplas, Poátxông và các nhà khoa học Đức như Gaoxơ, Écxơ đã đóng góp nhiều công trình giá trị cho sự phát triển của cơ học giải tích

Vào giữa thế kỷ 19 do sự phát triển nhanh chóng của khoa học và kỹ thuật, để đáp

ứng yêu cầu thực dụng, môn Cơ học kết cấu ra đời

Vào thế kỷ 20, do công nghiệp và ngành hàng không phát triển nên các môn Đàn hồi, thuỷ khí động lực đã có những bước phát triển mạnh Nhà khoa học người Nga Jucốpski (1847-1921) là người đầu tiên có những giả thiết táo bạo về ngành du hành

vũ trụ và được coi là thuỷ tổ của ngành hàng không Nga

Do những thành tựu sáng lạn của ngành Vật lý vào nửa thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20 Môn Cơ học tương đối của nhà khoa học thiên tài người Đức là Anhxtanh ra đời, đã làm đảo lộn những quy luật của Cơ học cổ điển, phủ định khái niệm không gian và thời gian tuyệt đối, khối lượng không đổi, và mở ra cho Cơ học một bước tiến nhảy vọt Nhưng vẫn phải nhấn mạnh rằng: Cơ học cổ điển vẫn không mất ý nghĩa vật lý của nó Các tính toán trong kỹ thuật, trong thiên văn học vẫn căn cứ vào các định luật của cơ học cổ điển Tính toán cho biết rằng: Khi vật chất chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng (300.000 Km/s) thì những kết quả đạt được trong cơ học cổ

điển sẽ khác so với những kết quả đạt được trong cơ học tương đối

2 Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực đặt lên vật rắn

CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

-LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC -LIÊN KẾT 1.1 Các khái niệm cơ bản

Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản là: Lực, vật rắn tuyết đối và trạng thái cân bằng của vật rắn

1.1.1 Lực

Khái quát hóa những kinh nghiệm và thực nghiệm về sự tác dụng giữa các vật thể, người ta xây dựng được khái niệm lực

L ực là đại lượng đặc trưng cho sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể

Tác dụng của lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:

• Điểm đặt lực: Là phần tử vật chất thuộc vật chịu tác dụng, tại đó tác dụng cơ học

mà ta nói đến được truyền sang vật ấy

• Phương, chiều tác dụng của lực

• Cường độ tác dụng của lực (còn gọi là môđun

của lực)

Đơn vị lực thường dùng là niutơn, và được ký hiệu

là N

Từ ba yếu tố đặc trưng cho lực ta thấy lực là một đại

lượng véctơ, được ký hiệu Fuur, hoặc Puur, hoặc Ruur

Véct ơ lực như trên là một véctơ buộc

Đường thẳng chứa véctơ lực gọi là giá của lực hay đường tác dụng của lực

F ur B A

Hình 1-1

1.1.2 Vật rắn tuyệt đối

V ật rắn tuyệt đối là vật thể mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật không

thay đổi đối với mọi tác dụng cơ học

Thường trong thực tế, dưới tác dụng cơ học, vật rắn sẽ biến dạng, nhưng ta vẫn gọi

là vật rắn tuyệt đối vì hai lý do sau:

− Biến dạng xảy ra ở vật rắn là bé, không ảnh hưởng đến kết quả tính toán trong

kỹ thuật, sai số cho phép

− Quan niệm như vậy bài toán sẽ đơn giản hơn Từ đây về sau, ta gọi vật rắn tuyệt

đối là vật rắn, nếu như không nói gì thêm

1.1.3 Trạng thái cân bằng của vật rắn

V ật rắn ở trạng thái cân bằng là vật rắn đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng

và đều so với một hệ quy chiếu nào đó

Trong tĩnh học, vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật rắn đứng yên so với hệ quy

chiếu gắn liền với trái đất

Chuyển động tịnh tiến thẳng và đều của vật rắn là chuyển động mà mọi điểm thuộc

vật đều chuyển động thẳng với vận tốc không đổi

1.1.4 Một số định nghĩa khác

a Hệ lực. Hệ lực là tập hợp các lực cùng tác dụng lên một vật rắn

Giả sử vật rắn chịu tác dụng bởi các lực: F1

uur, F2

uur, , F n

uur, ta ký hiệu hệ lực tác dụng lên vật rắn là: (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

b Hệ lực tương đương. Hai hệ lực được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có

cùng tác d ụng cơ học như nhau đối với một vật rắn.

c Hợp lực của hệ lực. Hợp lực của hệ lực là một lực duy nhất tương đương với

h ệ lực ấy Gọi Rur là hợp lực của hệ lực (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

d Hệ lực cân bằng. Hệ lực cân bằng là hệ lực tác dụng lên vật rắn mà không làm thay đổi trạng thái chuyển động mà vật có được khi chưa tác dụng hệ lực ấy Giả sử hệ lực (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

tác dụng lên vật rắn đứng yên, vật rắn vẫn ở trạng thái đứng yên, thì ta ta nói rằng hệ lực (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

cân bằng và ký hiệu là: (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

0

Hệ lực cân bằng còn được gọi là hệ lực tương đương với không

e Hệ quy chiếu. Trong Cơ học lý thuyết để khảo sát chuyển động của vật thể, ta phải

so sánh vị trí của nó với vị trí của vật thể khác mà ta coi nó đứng yên Vật dùng để so sánh đó gọi là vật quy chiếu, và hệ toạ độ gắn với vật quy chiếu gọi là hệ quy chiếu Thường trong thực tế, người ta chọn hệ tọa độ đề các vuông góc gắn liền với trái đất làm hệ quy chiếu

1.2 Hệ tiên đề tĩnh học

Tiên đề là mệnh đề cơ bản phát biểu công nhận tính chất của khái niệm cơ bản, là

điều hiển nhiên nhất có thực tiễn kiểm nghiệm mà rút ra được

Dưới đây ta sẽ lần lượt trình bày 5 tiên đề, còn lại tiên đề 6 sẽ được nêu ra ở cuối chương này Đó là hệ tiên đề tĩnh học, làm cơ sở xây dựng lý luận cho cả phần tĩnh học

Tiên đề 1. (Tiên đề về hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để cho hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng giá, cùng c ường độ và ngược chiều nhau

Ta có thể viết (F F1, 2)

uur uur

0

Tiên đề 1 nêu lên một hệ lực cân bằng chuẩn, đơn giản nhất

Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng)

Hình 1-2

1

Fur Fuur2

Tác d ụng của hệ lực lên vật rắn không thay đổi,

n ếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ lực cân bằng.

uur uur uur ur uur uur

Từ tiên đề 2, ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1 (Định lý trượt lực)

Tác d ụng của một lực đặt lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá

c ủa nó

Ch ứng minh: Giả sử lực Fuur tác dụng lên vật rắn tại điểm A Gọi B là một điểm

nằm trên giá của lực Fuur thuộc vật rắn, ta thêm vào tại B một hệ hai lực cân bằng (F1

uur,

2

F

uur

) 0 Sao cho cùng phương với lực Fuur và trị số F1 = F2 = F (hình 1-3)

Theo tiên đề 2 ta có Fuur (F F F, ,1 2)

uur uur uur

T ừ đó ta suy ra được rằng véctơ biểu diễn lực tác dụng lên vật rắn là một véctơ

tr ượt

Hệ quả 2

N ếu một hệ lực đặt lên vật rắn mà cân bằng thì một lực bất kỳ lấy theo chiều ngược

l ại sẽ là hợp lực của hệ lực còn lại

Nếu (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

0 thì −F1

uur (F F2, , ,3 F n)

uur uur uur

Ch ứng minh: Giả sử hệ lực (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

0 Tác dụng lên vật rắn lực −F1

uur Theo tiên đề 2 ta tác dụng thêm một hệ lực cân bằng

đã cho thì:

−F1

uur (−F F F1, , , ,1 2 F n)

uur uur uur uur

uur uur uur uur

F ur

Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực)

H ệ hai lực cùng đặt trên vật rắn tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung ấy

Véct ơ biểu diễn hợp lực là véctơ đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai

véct ơ biểu diễn hai lực đã cho (hình 1-4)

Theo định nghĩa hợp lực của hệ lực ta có: Rur (F F1, 2)

Có th ể phân tích một lực đã cho thành hai lực theo quy tắc hình bình hành lực.

Ch ứng minh: Giả sử lực Fuur tác dụng lên vật rắn, ta thêm vào đó hệ hai lực cân

bằng (F F1, 2)

uur uur

0 Theo tiên đề 2 ta có: Fuur (F F F, ,1 2)

uur uur uur

(a) Theo tiên đề 3 ta có: (F F, 1)

D ưới tác dụng của một lực khác không thì vật rắn không ở trạng thái cân bằng

Ch ứng minh: Giả sử vật rắn chịu tác dụng bởi lực Fuurkhác không Theo hệ quả 1

ta có thể phân tích lực Fuur ra hai lực thành phần theo hai phương khác nhau:

N ếu ba lực cùng nằm trong một mặt phẳng, không song song mà cân bằng thì giá

c ủa chúng cắt nhau tại một điểm.

Hình 1-4

A

1

F ur

2

F uur R ur

Hình 1-5

A

1

F ur

2

Fuur

3

F uur

Fur

Ch ứng minh: Giả sử vật rắn ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ ba lực cùng nằm trong một mặt phẳng không song song (F F F1, ,2 3)

uur uur uur

Gọi A là giao điểm hai giá của hai lực F1

uur

, F2

uur Ta dời hai lực F1

uur, F2

uur dọc theo giá của chúng về A Theo tiên đề 3

giá, mà Fuur đặt tại A do đó giá của lực F3

uur

cũng phải đi qua A, suy ra rằng: Giá của

ba lực cắt nhau tại một điểm

Chú ý:

- Mệnh đề đảo của hệ quả này sẽ không đúng

- Hệ quả này được sử dụng nhiều trong khi giải quyết bài tập

Hệ quả 4 (Hợp lực của hệ lực đồng quy)

H ệ lực đồng quy có hợp lực đặt tại điểm đồng quy của nó Véctơ biểu diễn hợp lực

b ằng tổng hình học các véctơ biểu diễn các lực đã cho của hệ.

Ch ứng minh: Giả sử cho hệ lực đồng quy (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

ur uur

R2

ur đặt tại O và

1

F ur

2

F uur

2

F uur

3

F uur

Tiếp tục hợp lần lượt với F4

uur, F5

uur một cách tương tự như trên, cuối cùng ta sẽ có: (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

hệ lực đồng quy đã cho, cũng đặt tại O và:

đó là điều cần phải chứng minh

Kết luận: Hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn bao giờ cũng có thể thu gọn

về một lực duy nhất đặt tại điểm đồng quy của hệ

Xác định véctơ biểu diễn hợp lực Rur:

- Phương pháp hình học

Giả sử cho hệ lực đồng quy (F F1, , ,2 F n)

uur uur uur

tác dụng lên vật rắn trong đó những véctơ biểu diễn các

lực của hệ lực là các véctơ đã biết

véctơ của hình học giải tích Trước hết, ta chọn một

điểm cố định O1 nào đó, rồi lần lượt dựng các véctơ O A1 =F1

1-Đa giác O1ABC MN được gọi là đa giác lực của hệ lực đã cho

Vậy để xác định véctơ Rur, trước hết ta dùng đa giác lực của hệ lực Véctơ khép kín

đa giác lực của hệ lực chính là véc tơ biểu diễn hợp lực Rur cần tìm Nói chung, đa giác lực là một đa giác gềnh trong không gian

M N

Để xác định véc tơ hợp lực Rur bằng phương pháp giải tích, trước hết ta chọn hệ trục

đề các vuông góc O1xyz Sau đó, chiếu (1-1) lần lượt lên các trục toạ độ, ta được:

k n

(1-2) ta xác định được phương, chiều và trị số của Rur:

Trị số: R= (ΣX k)2+ Σ( Y k)2 + Σ( Z k)2 (1-3) Phương chiều: cos ,( ) R x; cos ,( ) R y; cos ,( ) R z

r

r r

là các véctơ đơn vị trên các trục tọa độ

Ở trên ta nêu lên được hai bài toán thu gọn hệ lực đồng quy về một lực duy nhất là

hợp lực Rur và các phương pháp để xác định véctơ Rur biểu diễn hợp lực đó Sau đây ta

sẽ xét đặc điểm của hệ lực đã cho khi véctơ hợp lực Rur của hệ triệt tiêu

Điều kiện cân bằng của hệ lực đồng quy:

- Điều kiện cân bằng tổng quát

Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là véctơ hợp lực của hệ lực triệt tiêu

L ực tác dụng và phản lực tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng giá, cùng cường

độ và ngược chiều nhau

uur cùng giá

Chú ý rằng lực tác dụng và lực phản tác dụng đặt vào hai vật khác nhau, cho nên hệ hai lực này không tạo thành hệ lực cân bằng

Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn)

Khi v ật biến dạng đã cân bằng thì hóa rắn lại nó vẫn cân bằng

Chú ý:

- Tiên đề này cho phép ta coi vật biến dạng là vật rắn cân bằng, suy ra điều kiện cân bằng của vật rắn là điều kiện cần (nhưng không đủ) của vật biến dạng cân bằng

- Tiên đề này là cơ sở để giải quyết một phần những bài toán cân bằng của vật biến dạng

Hình 1-9

1

Fur

Hình 1-10

1

1.3.1 Một số định nghĩa

a Vật rắn tự do

Vật không bị cản trở chuyển động, có thể chuyển động theo mọi phương gọi là vật rắn

tự do Trong thực tế không tồn tại vật rắn tự do

b Vật rắn không tự do

Vật bị cản trở chuyển động gọi là vật rắn không tự do, hay là vật chịu liên kết

c Liên kết

Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật

Trong tĩnh học, ta chỉ khảo sát loại liên kết được thực hiện bằng sự tiếp xúc hình học giữa vật khảo sát và vật thể khác, mà ta gọi là liên kết hình học Đồng thời ta cũng coi mặt tiếp xúc giữa các vật thể là nhẵn lý tưởng (bỏ qua ma sát)

d Vật khảo sát và vật gây liên kết

Trong mỗi bài toán cụ thể, bao giờ ta cũng xét sự cân bằng của một vật thể nhất

định, vật đó được gọi là vật khảo sát Còn các vật thể khác có liên kết với vật khảo sát thì gọi là vật gây liên kết

e Lực liên kết và phản lực liên kết

Những đặc trưng tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau ở chỗ tiếp xúc hình học được gọi là những lực liên kết

Lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết được gọi là áp lực

Lực do vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát được gọi là phản lực liên kết

1.3.2 Cách tìm phản lực liên kết

Để tìm phản lực liên kết trong từng liên kết cụ thể, người ta đưa vào những đặc tính sau đây của phản lực liên kết:

− Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật khảo sát, ở chỗ tiếp xúc hình học của

nó với vật gây lên liên kết

− Phản lực liên kết bao giờ cũng cùng phương, ngược chiều với phương, chiều bị cản trở chuyển động bởi chính liên kết đó

− Nếu theo một phương nào đó, chuyển động của vật khảo sát không bị cản trở thì theo phương đó không có thành phần của phản lực liên kết Phản lực liên kết vuông góc với phương dịch chuyển tự do của vật khảo sát

Những điều này luôn luôn đúng với liên kết những vật rắn và bỏ qua ma sát Tuỳ từng điều kiên cụ thể mà ta vận dụng để xác định phản lực liên kết, chủ yếu là phương

và chiều của chúng

1.3.3 Các loại liên kết cơ bản thường gặp

a Loại I: Liên kết tựa

Bao gồm các liên kết tựa điểm nhọn, liên kết tựa đường, liên kết tựa mặt và liên kết tựa con lăn

1 Liên kết tựa điểm nhọn (hình 1-11): Phản lực liên kết hướng theo pháp tuyến của mặt tiếp xúc của vật khảo sát với điểm nhọn ( )N C

uur

2 Liên kết tựa đường (hình 1-12): Phản lực liên kết vuông góc với đường tựa ở chỗ tiếp xúc với vật khảo sát (N B,N C)

b Loại II: Liên kêt dây mền (hình 1-15a, b)

Phản lực liên kết hướng dọc dây ,T T A,T B

ur ur ur

c Loại III: Liên kết bản lề

Liên kết bản lề bao gồm các loại

liên kết bản lề tựa, liên kết bản lề cối

tại một điểm trên trục bản lề Hình vẽ

(hình 1-16) mô tả kết cấu và mô hình của bản lề trụ

− Liên kết bản lề cối (hình 1-17): Còn có tên gọi là liên kết ổ chắn, nó khác với liên kết bản lề trụ ở chỗ: dọc theo trục ổ, vật bị cản trở chuyển động theo một phía, trên hình 1-

17 là phía dưới, nên chắc chắn phản lực Nuur có thành phần Xuur hướng lên phía trên Hai

thành phần còn lại của phản lực Nuur giống như ở bản lền trụ ( Xuur, và Yur)

− Bản lề cầu (hình 1-18): Một đầu của vật khảo sát có dạng hình cầu được lồng vào trong ổ cố định có dạng hình cầu tâm O Vật khảo sát có thể chuyển động quay xung quanh tâm O Phản lực của ổ đỡ tác dụng lên vật khảo sát đi qua tâm O nhưng chưa xác định hướng Khi tính toán ta thường phân tích phản lực này ra ba thành phần

X

uur

, Yur, Zur vuông góc với nhau

d Loại IV: Liên kết thanh không trọng lượng

Giả thiết rằng thanh không có trọng lượng và trên thanh không có lực nào tác dụng, ngoài các lực liên kết ở hai đầu của nó Những liên kết ở hai đầu thanh thường được thực hiện nhờ bản lề cầu

hay tựa Theo tiên đề 1, vì

thanh cân bằng nên lực

liên kết ở hai đầu thanh sẽ

cùng giá, đó là đường

thẳng đi qua hai đầu của

thanh Người ta quy ước

thanh chịu kéo nếu các lực

y Y

z

X x

N

X

Y

X Y

tác dụng như hình (1-19a) và thanh chịu nén nếu lực tác dụng như hình (1-19b)

1.3.4 Tiên đề giải phóng liên kết

Các tiên đề 1, 2, 3 và 5 chỉ phát biểu cho vật rắn tự do, còn tiên đề này đặt cơ sở cho việc giải quyết những bài toán về vật rắn không tự do và được gọi là Nguyên lý giải phóng liên kết:

V ật rắn không tự do cân bằng có thể coi là vật rắn tự do cân bằng nếu thay các liên k ết bằng các phản lực liên kết tương ứng

Ví dụ 2. Một dầm được giữ ở trạng thái cân bằng nhờ sợi dây OK buộc dầm vào tường và lực trên tường và nền (hình 1-20a)

Vật khảo sát là dầm AB cân bằng Áp dụng tiên đề giải phóng liên kết ta có thể coi dầm là vật tự do cân bằng, bằng cách bỏ đi các liên kết: Dây OK, nền và tường, đồng

thời thay bằng các phản lực liên kết tương ứng: Tur, N K

uur, N D

uur Trên hình (1-20b) ta có dầm AB cân bằng, đó là vật tự do cân bằng với điều kiện cân bằng là:

C K D B

K D

A

Hình 1-21

bằng tích trị số của lực Fur và cánh tay đòn d (d là khoảng cách

từ tâm O đến giá của lực Fur)

− Mômen của lực đối với một tâm bằng không khi đường tác dụng của lực ấy đi qua tâm đó, vì khi ấy cánh tay đòn d = 0 (hình 1-23)

1.4.2.c Xác định mômen của lực đối với một tâm bằng giải tích

Chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O trùng với tâm lấy mômen Gọi (x, y, z) là tọa độ

điểm đặt A của lực Fuur, gọi X, Y, Z là chiếu của lực Fuur lên các trục tọa độ, thì theo (1-9)

Hình 1-23

F

F O

A B

Hình 1-22

Có một lực Fuur và một trục z Qua điểm O trên trục z

ta dựng mặt phẳng π ⊥ z Gọi F′uur là hình chiếu của Fuur

trong đó h là khoảng cách từ O tới giá của Fuur Lấy dấu

(+) nếu nhìn từ mút của trục z xuống mặt phẳng π thấy

F

uur

có xu hướng làm cho vật quay ngược chiều kim

đồng hồ, và lấy dấu (−) trong trường hợp ngược lại

1.4.2.b Tính chất

− Mômen của lực đối với trục không đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá của nó, vì

khi trượt lực Fur dọc theo giá của nó, thì không làm thay dổi giá trị (trị số) của F′ur cũng

như chiều của F′ur và không làm thay đổi giá trị của khoảng cách h

− Mômen của lực Fuur đối với trục z bằng 0 khi lực Fuur song song với trục z hoặc

giá của lực Fuur cắt trục z Vì nếu lực Fuur song song với trục z thì F ′=0 hoặc nếu giá

Ví dụ 3. Tìm mômen của lực Fuur đối với các

uuruuruur

1.4.2.c Liên hệ mômen của lực đối với một tâm và mômen của lực đối với một trục đi qua tâm đó

Sự liên hệ này được biểu thị bằng định lý sau đây, được gọi là định lý liên hệ mômen

a Định lý

Chi ếu véctơ mômen của một lực đối với một tâm lên trục đi qua tâm đó bằng mômen

c ủa lực đối với trục đó

Chứng minh: Có lực Fuur biểu diễn bằng véctơ ABuuur và một tâm O bất kỳ Qua tâm

ur uur

vuông góc với mặt phẳng AOB và có trị số bằng: m O( )F =2.S OAB

uur

Mặt khác theo hình vẽ (hình 1-26), ta có:

m Oz( )F =F d′ =2.S OA B′ ′

uur

(a) Gọi γ là góc giữa m O( )F

ur uur

và trục z, gọi α là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng OAB và OA′B′

thì ta có quan hệ: γ = α hoặc γ = π − α Hay nói

cách khác ta có: cosγ = ±cosα

z

y

F ur

x

α

a b

z

F ur

Do sự liên hệ diện tích giữa hai tam giác: OAB và OA′B′ qua phép chiếu ta có:

SOAB.cosα = ±SOA′B′

b Công thức tính mômen của lực đối với các trục tọa độ

Theo định lý trên, với O là gốc tọa độ thì các trục x, y, z đều đi qua O, nên ta có:

Ox Oy Oz

1.5.1 Hệ lực song song

a Định nghĩa

H ệ lực song song là hệ lực mà giá của các lực thành phần song song với nhau

Trong thực tế, ta thường gặp nhiều thí dụ về hệ lực song song như một chiếc dầm

có trọng lượng là P đặt trên hai gối tựa A và B Trên dầm có đặt hai tải trọng P1 và P2

Hệ lực (P P P N, , ,1 2 A,N B)

ur ur uur uur uur

là hệ lực song song đặt lên dầm (hình 1-28)

Dưới đây ta giới hạn chỉ xét hợp lực của hai lực song song trong hai trường hợp

b Hợp lực của hai lực song song cùng chiều

Giả sử vật rắn chịu tác dụng của hai lực song song sùng chiều F1

uur

và F2

uur đặt tại A và

uur dọc theo giá của chúng về điểm O là giao điểm của hai giá của

C

Hình 1-29

Theo tiên đề 2 và tiên đề 3 ta có:

(F F1, 2)

uur uur

(F Fuur uur1′, 2′) RurVậy Rur là hợp lực của hệ lực (F F1, 2)

uur Để xác định

điểm đặt của hợp lực, ta trượt lực Rur dọc theo giá của nó về điểm C nằm trên đoạn thẳng AB

Xét hai cặp tam giác đồng dạng OAH và OAC, OKB và OCB ta có:

CO = HO = F (b) Chia đẳng thức (a) cho đẳng thức (b) ta có:

2 1

CA F

CB = F (c) Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức ta có:

2 1

CA CB AB

F = F = R (1-13) Vậy hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực song song cùng chiều với hai lực đó, có trị số bằng tổng trị số của hai lực và có điểm đặt là điểm chia trong đoạn thẳng nối hai điểm của hai lực thành những đoạn tỷ lệ nghịch với trị số của hai lực

c Hợp hai lực song song ngược chiều

Giả sử vật rắn chịu tác dụng của hai lực song song

ngược chiều F1

uur, F1

uur với giả thiết F1 > F2 Trường hợp

F1 = F2 ta sẽ nghiên cứu ở phần sau

Ta phân tích F1

uur

ra hai thành phần Rur, F ′2

uur sao cho F ′2

uur

đặt tại B là điểm đặt của F2

uur

và F2′ = F2 Vậy (F F1, 2)

C

Hình 1-30

1.5.2 Ngẫu lực

a Định nghĩa

H ệ hai lực song song, khác giá, trái chiều có trị số bằng nhau gọi là ngẫu lực (hình 31)

1-Khoảng cách giữa hai giá của hai lực được gọi là cánh

tay đòn, ký hiệu là d Thường người ta trượt lực của ngẫu

lực dọc theo giá của nó sao cho đoạn AB là cánh tay đòn

Ta có thể chứng minh được rằng ngẫu lực không phải là

hệ lực cân bằng và ngẫu lực không có hợp lực

Thật vậy, theo quy tắc hợp hai lực song song ngược

chiều ta có: R=F1−F2 =0 Nhưng F1

uur, F1

uur không cùng giá nên theo tiên đề 1 hệ lực (F F1, 2)

uur uur ur

0 Nhưng điều đó không tồn tại vì F1+F2+ −( )R ≠0

b Các yếu tố đặc trưng cho ngẫu lực

Ngẫu lực được đặc trưng bởi ba yếu tố sau:

F1

F2

B A

d

Hình 1-31

− Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu (hình 33)

1-Ngẫu lực làm cho vật rắn quay xung quanh trục vuông góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực

− Chiều quay của ngẫu lực là chiều có xu hướng quay của vật rắn dưới tác dụng của ngẫu lực

− Cường độ tác dụng của ngẫu lực được biểu thị bằng tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòn, gọi là trị số mômen của ngẫu lực, ký hiệu là m hoặc m F F( 1, 2)

uur uur:

m = F1.d Theo hình vẽ ta có: F1.d về hình thức, bằng hai lần diện tích tam giác ABC (hình 1-33)

Do đó: m = F1.d = 2.SABC

Đơn vị tính mômen ngẫu là Nm

c Sự tương đương của các ngẫu lực

Định lý 1

Hai ng ẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng,

có cùng chi ều quay và trị số mômen bằng nhau

thì t ương đương với nhau.

không song song

Giả sử đường tác dụng của các lực cắt nhau

tại A, B, C, D Ta trượt các lực F1

uur, F′1

uur

về A và

C, sau đó phân tích chúng ra hai thành phần

theo phương AC và phương của lực F

uur, F ′

H A

3

F′r

4

F′ r

Hình 1-34

uur uur lập nên một hệ ngẫu lực cùng giá và cùng chiều quay với ngẫu lực (F F′2, 2)

uur uur

Vậy: (F F′1, 1)

uur uur (a)

Ta gọi m1, m2 và m3 là trị số mômen của ba ngẫu (F F′1, 1)

uur uur, (F F ′2, 2)

uur uur

và (F F ′3, 3)

uur uur

Từ hình vẽ ta có: m1 = 2.SAHC; m2 = 2.SAKC (ở đây ta ký hiệu S là diện tích)

Mà SAHC = SAKC vì hai tam giác có cùng đáy AC và chiều cao bằng nhau (HK // AC)

Nói cách khác, có thể trượt lực F3

uur trùng lên lực F2

uur

và lực F′3

uur trùng lên lực F′2

uur Vậy: (F F ′3, 3)

uur uur

(F F ′2, 2)

uur uur

(b)

So sánh (a) và (b) ta có: (F F ′1, 1)

uur uur (F F ′2, 2)

uur uur

Từ định lý trên ta có thể rút ra các hệ quả sau đây:

Hệ quả 1

Tác d ụng của một ngẫu lực lên vật rắn không phụ thuộc vào vị trí của ngẫu lực trong m ặt phẳng của nó.

Hệ quả 2

Các ng ẫu lực đã cho có thể đưa về cùng một cánh tay đòn hay có thể làm cho

nh ững lực của chúng có trị số mômen và chiều quay của các ngẫu lực không đổi.

Định lý 1 xét sự tương đương của hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng Đính

lý 2 dưới đây xét sự tương đương của hai ngẫu lực trong không gian

Định lý 2

M ột ngẫu lực có thể dời trong không

gian t ới một mặt phẳng bất kỳ song song với

m ặt phẳng tác dụng của ngẫu lực mà không

làm thay đổi tác dụng của nó lên vật rắn.

Ch ứng minh:

Giả sử ngẫu lực đã cho là:(F F′, )

uur uur

nằm trong mặt phẳng R Muốn chứng minh định

lý trên, ta phải chứng tỏ rằng có một ngẫu

uur uur

Pur đặt tại O, mà P = 2.F

Do đó: (F F F F F Fuur uur uur uur uur uur, , , , ,′ 1 2′ 1′ 2) (F F P Puur uur ur uur1, , ,1′ ′) (b)

P F

F2F′ 2

F1

O A

πD

Hình 1-35

Nhìn trên hình vẽ và kết quả thu được ta có: F = −P′

Kết hợp (a), (b) và (c) ta có: (F F′, )

uur uur (F F′1, 1)

Tác d ụng của một ngẫu lực lên vật rắn không phụ thuộc vào vị trí mặt phẳng tác

d ụng của nó, mà chỉ phụ thuộc vào phương pháp tuyến của mặt phẳng tác dụng, chiều quay và tr ị số mômen ngẫu lực.

Định lý 3

T ổng mômen các lực của ngẫu đối với một tâm bất kỳ

không ph ụ thuộc vào vị trí của tâm đó, và bằng mômen của

ur uur ur uur r uur r uur r uur r uur

uur uuur uur ur uur uur

Véctơ mômen ngẫu lực

Từ hai định lý trên và các hệ quả của chúng, ta thấy rằng tác dụng của một ngẫu lực lên vật rắn được xác định bởi ba yếu tố: Trị số mômen ngẫu lực, chiều quay của

ngẫu lực và phương pháp tuyến của mặt phẳng tác dụng Ta có thể biểu thị tác dụng

của ngẫu lực bằng một véctơ mômen ngẫu lực, ký hiệu là mur hay m F F ′( , )

ur uur uur

Véctơ mômen ngẫu lực được xác định bởi ba yếu tố sau đây:

− Có phương là phương pháp tuyến của mặt phẳng tác dụng

− Có chiều sao cho người quan sát đứng dọc theo véctơ mômen, nhìn từ mút véctơ mômen xuống mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực, thấy ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (hình 1-37)

− Trị số bằng trị số mômen ngẫu lực: m = F.d = 2.SABC

Từ định nghĩa trên ta có thể biểu diễn mômen ngẫu lực như sau:

a. Sau khi biểu diễn ngẫu lực bằng véctơ mômen ngẫu lực, ta có thể phát biểu định

lý tương đương ngẫu lực dưới dạng tổng quát hơn

Hai ng ẫu lực có véctơ mômen bằng nhau thì tương đương với nhau

b. Ta thấy rằng véctơ mômen ngẫu lực có thể đặt bất kỳ trong không gian, do đó nó

là véctơ tự do Véctơ tự do là véctơ vẫn giữ được tính chất vật lý của nó khi thay đổi

điểm đặt đến một điểm bất kỳ trong không gian

Vậy véctơ mômen ngẫu lực là véctơ tự do, khác với véc tơ lực là véctơ trượt

Chứng minh: Giả sử có hai ngẫu lực

ngẫu đó có chung cánh tay đòn là AB nằm trên

giao tuyến của hai mặt phẳng mà không mất

tổng quát, vì theo định lý tương đương ngẫu và

các hệ quả, ta có thể đưa hai ngẫu trên hai mặt

phẳng về vị trí như thế được

b Ta chứng minh rằng: Hợp hai ngẫu lực

nói ở trên là một ngẫu lực:

Ta có: (F F1, 2)

uur uur

Rur và F1+F2 =R

uur uur ur

(uur uurF F1′, 2′) R′uur và F1′+F2′=R′

uur uur uur

Hai véctơ Rur và R′uur đặt tại A và B là hai lực song song ngược chiều có cùng trị số nên hệ (R R′, )

ur uur

là một ngẫu lực

Vậy: (uur uur uur uurF F F F1, , ,1′ 2 2′) (R R′, )

uur uur

Hay là hợp hai ngẫu lực đã cho được một ngẫu lực tổng hợp

c Ta còn chứng minh: m F Fuur uur uur1( 1, 1′)+muur uur uur2(F F2, 2′)=M R Ruur ur uur( , ′)

uur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur

uuur ur uur uur uur

Nhận xét:

− Từ định lý trên, có thể hợp nhiều ngẫu lực trong những mặt phẳng không song song, bằng cách cộng từng cặp lần lượt, rồi cuối cùng được một ngẫu lực tổng hợp có véctơ mômen bằng tổng hình học các véctơ mômen của các ngẫu lực đã cho Và ta có

định lý tổng quát sau: Hệ ngẫu lực tương đương với một ngẫu lực tổng hợp, có véctơ mômen bằng tổng hình học véctơ mômen của những ngẫu lực thành phần:

A

P2

P1

Hình 1-38

− Trường hợp ngẫu lực thành phần nằm trên những mặt phẳng song song với nhau thì theo định lý tương đương ngẫu, ta đưa các ngẫu đó về cùng một mặt phẳng, các ngẫu lực thành phần có véctơ mômen có cùng phương là phương vuông góc với mặt phẳng chứa các ngẫu lực Phép cộng các véctơ mômen ngẫu chỉ là phép cộng tác các véctơ cùng phương

Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực

− Điều kiện đủ: Mômen của ngẫu lực tổng hợp triệt tiêu thì hệ ngẫu lực cân bằng Giả sử hệ ngẫu lực không cân bằng thì hệ ngẫu lực đó sẽ tương đương với một ngẫu lực có M ≠ 0 Điều đó trái với giả thiết là mômen ngẫu lực tổng hợp triệt tiêu Vậy hệ ngẫu lực cân bằng

Chú ý rằng, khi hệ ngẫu lực cân bằng thì đa giác mômen ngẫu lực tự khép kín

Ví dụ 4. Trên ba đĩa tròn A, B, C có bán kính lần

lượt là 15cm, 10cm và 5cm, đặt các ngẫu lực có các

lực tương ứng là 10N, 20N và P Các trục OA, OB và

OC cùng nằm trong một mặt phẳng với góc AOB =

900 Xác định trí số của lực Pur và góc BOC = α để cho

cơ cấu trên cân bằng

Gọi m2

uur

là véctơ mômen biểu diễn ngẫu lực nằm trên đĩa A có trị số mômen:

m2 = 2rA.10 = 300 (N.cm) Gọi m3

α = − = − = −

Suy ra: α = arccos(−0,80) = 143010′

CHƯƠNG II: HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

2.1 Bài toán thu gọn hệ lực

2.1.1 Định lý dời lực song song

a Định lý

Tác d ụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, khi ta dời lực ấy song song với chính

nó đến một vị trí bất kỳ thuộc vật và thêm vào đó ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen

c ủa lực đặt tại điểm cũ đối với điểm mới dời đến.

Ch ứng minh:

Giả sử lực Fuur đặt lên vật rắn tại điểm A thuộc vật Gọi B là một điểm bất kỳ thuộc

vật không nằm trên giá của lực Fuur Ta thêm vào tại B một hệ hai lực cân bằng

(uur uuurF′, F′′) 0 sao cho Fuur′ = uurF

Theo tiên đề 2 ta có: Fuur (uur uur uuurF, F′, F′′)

Vì Fuur và F′′uuur tạo thành ngẫu lực, ta có: Fuur F ′uur, ngẫu ( F, F ′′ )

− Một vật được treo ở điểm A thì cân bằng,

nhưng nếu buộc dây treo ở điểm B thì vật sẽ

quay Muốn vật ở trạng thái cân bằng, ta phải

F F'

tác dụng lên vật một ngẫu lực phụ như hình vẽ (hình 2-2)

− Một người gánh hai vật nặng như nhau Nếu vai người đặt ở giữa đòn gánh thì

đòn nằm ngang (cân bằng) Nếu dịch vai về một phía (gánh kênh) thì phải dùng tay vít

đầu đòn gánh, tức là tác dụng một lực Fuur để nó hợp với một lực tác dụng do vai người lên đòn tạo thành ngẫu lực phụ nói trên (hình 2-3)

2.1.2 Bài toán thu gọn hệ lực

a Thu gọn hệ lực về một tâm

− Giả sử cho hệ lực không gian (F1, F2, , F n)

uur uur uur

bất kỳ tác dụng lên vật rắn có kích thước đủ lớn đặt tại các điểm

A1, A2, ., An Lấy một điểm O bất kỳ thuộc vật Dời lần

lượt các lực F1, F2, , F n

uur uur uur

về tâm O, theo định lý dời lực song song ta có:

uur uur uur

với ( ,m Fuur uur uurn F n′′ =) muurO( )uurF n

Như vậy sau khi dời tất cả các lực thuộc hệ về tâm O, ta được một hệ lực đồng quy tại O là (F1′, F2′, , F n′)

uur uur uur

và một ngẫu (F1, F1′′) (, F2, F2′′) (, , F n, F n′′)

uur uur uur uur uur uur

, ngẫu này có mômen lần lượt là: m O( )F1

Ak

Fk

F'k

O F"k

Hình 2-4

A

F

B F′′

uur

F′

ur F ur

m F , F′′

uur ur uur

Hình 2-3

uuur với:

Kết luận: Khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm, ta được một lực biểu diễn bằng véctơ chính R O

uur

và một ngẫu có mômen bằng mômen chính M O

uur của hệ lực đó:

(F1, F2, , F n)

uur uur uur

(R O, M O)

uur uuur

b Biểu thức giải tích của véctơ chính và mômen chính

Biểu thức giải tích của véctơ chính R O

uur:

Để có biểu thức giải tích của M O

uur, ta chiếu lần lượt (2-2) lên các trục toạ độ Ox,

Oy, Oz thu được:

cos( , ) Ox; cos( , ) Oy; cos( , ) Oz

uur, m Oz( )F k

đối với ba trục tọa độ

2.1.3 Biến đổi tâm thu gọn

a Định lý biến thiên mômen chính

Khi tâm thu g ọn thay đổi, mômen chính sẽ thay đổi một lượng bằng mômen của véct ơ chính đặt tại tâm cũ lấy đối với tâm mới:

1

n k O

b Các đại lượng bất biến

− Bất biến thứ nhất: Khi thay đổi tâm thu gọn, véctơ chính R O

uur của hệ lực là một

đại lượng không đổi, đó là bất biến thứ nhất của hệ lực không gian:

uur uur uur

nên chiếu đẳng thức (*) lên phương của R O

uur (hoặc R O1

uur)

Do đó ta có: M O1cosϕ1=M Ocosϕ=const (**) Mặt khác ta có: R O1 =R O nên nhân hai vế của đẳng thức (**) với RO và R O1 ta có:

2.1.4 Các trường hợp xảy ra khi thu gọn hệ lực

Giả sử thu gọn hệ lực về tâm O, ta được một véctơ chính R O

uur đặt ở C với

điều kiện R O = R′O = −R′′O

uur uur uur

(hình 2-7)