Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết phần 2

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ với ỉ, k là các véc tơ đơn vị dọc theo các trục... Khi chọn hệ tọa độ như hình vẽ ờ đầu bài với các vectơ đơn vị dọc theo các trục là ĩ, J, k... Trong khi giả

4 ế 1 ) Áp lực của người th ợ lên đáy giếng là: 64 kG - 48 kG = 16 kG,

2 ) Người th ợ có th ể giữ được tối đa là 64 kG.

5 Cái nối đầu m áy phải chịu m ột lực (lực kéo của đầu m áy) là:

Cái nối ở to a giáp chót chịu m ột lực là: T 5 = 2.240 = 480 kG, v v

l ễ2 Các lưc có dường tác dung giao nhau tai m ôt diềm

Ti =

p

r , = cos a cos Qsin Q = P t g a

) f

X

100mX2 - y 2 = 8 0 2 - 202ẻ

cos ß = — — « 0,925; /3 « 22°20'.

M 21,6

Do sức căng trong hai phần của dây AC B bằng

nhau, ta ký hiệu là r 2) sức căng của dây kéo CAD là

khi Q < 2P \ khi (p = 7T thì sư cân

bằng có thể đạt được với p tùy ý.

<Pi

V 2 JVâ

4 5 Tại vị trí cân bằng, chọn hệ trục tọa độ A x y (hình vẽ)

Y a — — 8 0 kG.(chứng tỏ HA quay xuống dư ớ i),

X ịị = —30 kG (chứng t ỏ X B phải theo chiều Ax)

£ M A = 0:

[ P + p ) í cos a — ( p + p)£ sin a ■ ụ

tg a > p + 2p

2 ị i { P + p)

P i s in ( a - ớ + 90°) = p 2 sin(ớ - 90°),

p 2 + P\ cos a

tgớ = - —

-F\ sin a

Vì ta m giác A C 1 C 2 cân -> đường cao A H _L C 1 C 2 là đ ư ờ n g phân giác, cho

nên chiếu sức căng Tt và lực P l lên đường AH ta có:

Q sin tp =

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ với ỉ, k là

các véc tơ đơn vị dọc theo các trục Ta có dạng véc t ơ của các lực

5 9 Khi chọn hệ tọa độ như hình vẽ ờ đầu bài với các vectơ đơn vị dọc theo các trục là ĩ, J, k Ta đễ dàng thấy hợp lực = 0 Mô men tổng

cos a = — cos ß — cos 7 = - \ / 3

Vậy hệ lực này rút về một ngẫu có môm en bằng 2 0 \ /3 kG.cm và hợp với các trục

tọa độ các góc a , ß , 7 giá trị COS a = — cos ß — COS 7 = ■

32.2 Cần bằng của hê lưc bất kỳ

45

P 50 - zk.100 - s • 1 2 5 — = 0,

75

zk= —lOkG.

Ghi chú Trong khi giải bài toán bằng phương pháp giải tích, ta c ứ chọn hướng

của lực tù y ý nào đó, chiếu lên các trục, thiết lập phương trình cân bằng lực,

mô men Nếu kết quả (+ ) chiều đã chọn là đúng, nếu kết quả ( —) chiều thự c tế ngược với chiều đã chọn.

Gọi i£ là trọng tâm của hình bị cắt E ( x e , yg)

Hình vuông bị cắt vẫn còn trục đối xứng nên

Vậy tốc đồ là m ột đường tròn bán kính V o , tâm bị chuyển dịch th eo hư ớng

X\ một đoạn VQ. P h ư ơ ng trình của tốc đồ trong tọa độ cực có dạng

p = 2vo cos 9.

Vận tốc của điểm vẽ nên tốc đồ:

với cotg(<p — a) =

dr sin <p + rdip COS (f>

1 + c o tg a ■ cotg<p

c o tg a — cotgip dr

Do vay: — = —c o tg a • dtp,

r

r — c • e - cots a Xác định hằng số <p = 0, r = r0 suy ra c = r0 ;

8 3 Vận tốc có giá trị 207rcm/s và hướng ngược lại chiều tính 5 ; VJT =

w = w n = 207T2 c m / s 2

8 4 Đ ư ờ n g tròn bán kính 1 0 cm, vận tốc V — 47rcm /s, hướng theo tiếp tuyến

với chiều chuyển từ trục O x sang trục O y qua góc 90°, gia tốc w = 1,67T2 c m /s 2

là parabôn, trục 0 £ , Or} vẽ trên bản và có hướng như sau: trục 0 £ nằm ngang

theo hướng chuyển động của bản, trục Ori hướng từ trên xuống dưới.

u>r [sin u t cos <p — cos u t sin <p\ = — Ệ.

Thay tg <p cho sin<£>, cos ip:

Vận tốc tu y ệt đối: f — 2t ỉ — t j , |f| = \ / 4 t 2 + t 2 = V5£ d m /s

Gia tốc tu y ệt đối r = 2 Ĩ —j , |r| = b = \/A + 1 = \ / 5 d m / s 2.

1 0 9 w = 7 5 m / s 2.

■y/a2 + r2 + 2ar cos <£>

£rw,

ỵ / ( a 2 + r 2 + 2ar cos cưí)3

9 a (r2 — a2)(a + rcoscưí) — r2(acostư í + r ì 2

OA = 2r cos V? + 2 (í cos xị> — 2r cos V?)

Đ ịnh lý cosin đối với tam giác BOC:

a2 _ £ + 4r cos V? — 4 £r cos V? cos ijj./>2

4 r cos <p + l — a cos Ip = -7 - ,

Xg — £sincưí, XB = í u c o s u t ,

1 ,

y s = - g t — i COSCƯÍ, ỹj3 = gt + £cưsinu;í, 2

1 2 7

7T 7T

V ị = — -6 0 = 48

^1 min — VƠ1 <£> — 7T.

a + r

6.3 X e n t r ô i t c ố d in h v à x e n t r ô i t d ô n g

1 3 2 Xentrôit cố định là đường tròn bán kính 2r với tâm tại điểm o , xentrôit

đông là đường tròn bán kính r với tâm tại điểm A của tay quay

1 3 3 Xentrôit cố định: đường tròn bán kính r với tâm tại điểm o

Xentrôit động: đường tròn bán kính 2 r với tâm tai điểm A.

1 3 4 Xentrôit cố định: đường tròn tâm c bán kính r

Xentrôit động: đường tròn tâm o , bán kính

V a = 0, VB = 88,84 c m / s , V c = 1 2 5 ,6 6 c m /s

1 3 5 1) y c = a ^ , £ + a 2

2) Vận tốc của tâm đĩa hướng theo chiều vận tốc của thanh lớn hơn, giá trị

Vo bằng nử a hiệu số hai vận tốc đã cho.

Ư1 + V2

3) u =

2 a

-Vì hệ tư ơ ng đối cùng quay một góc <£>! đối

với hệ tuyệt đối, nên bánh xe xích chỉ thực hiện một chuyển động tròn Do đó:

cưa = 87TS- 1 hướng theo o c ,

Ea — 27,687T2S_1 hư ớng song song với trụ c z.

P h ầ n III D ôn g lư c h o c

m w = F = T + p , chiếu lên O y ta được 1 T

m ỷ — T — p suy ra mi) = T — p hay T = mi) + p

T ừ (2) có r 2 <f> = const = /¿Ư0 s i n a = c suy ra

N , p đều vuông góc với A B ễ

Chiếu lên tam diện tự nhiên (f , n, 6)

8 2 B a d ịn h lý c ơ bản: B iế n th iê n d ộ n g l ư ợ n g , b iế n t h iê n m ô m e n d ộ n g

v/2í-1 9 v/2í-1 F max = 18,7 dyn; Fmin = 1,2 dyn.

Chỉ dẫn: s ử dụng phương trình elip trong tọa độ cụx

trong đó X tính từ đầu lò xo chưa bị dãn xuống phía dưới.

1 9 3 M chịu tác dụng của trường lực có th ế nên

năng lượng được bảo toàn ^ = const.

1 9 8 m w = N -\- p (1)

Năng lưcmg 3 — T + V — const (2)

Chiếu (1) lên tam diện t ự nhiên

; qũy đạo là đường xoắn lôga có phương trình: r = ecip, c là hằng

số xác định t ừ điều kiện ban đầu

+ T ừ M i đến C: Chất điểm chỉ chịu tác dụng cùa trọng lực, nó rơi t ự do với

vận tốc ban đầu Vị Với hệ tọa độ như hình vẽ dễ dàng xác định được quy luât

chuyển đông và qũy đạo chuyển động là parabol:

9 2 Đ ịn h lý b iế n t h iê n d ô n g lưom g v à c h u y ể n d ộ n g c ủ a k h ố i t â m

2 2 0 1 Dao đông điều hòa với biên đô: ^ —ậ ; chu kỳ —

(T hế năng của tay quay v à phần cáp quấn trên đó xem

như không thay đổi).

Vậy cần gắn M vào tâm lắc của con lắc, tứ c cách điểm treo o m ột đoạn bằng độ

dài tư ơ n g đưcmg của con lắc: í = a + £.

2 5 4 Chu kỳ dao động không đổi vì chất điểm đươc gắn vào tâm lắc của hình trụ.

9 . 5 . 3 Lý t huyết con quay

2 5 5 ệ M ôm en chính động lượng

Vậy: trục OA quay quanh O z v ý \ vận

tốc u 1 theo cùng chiều kim dồng hồ.

N e hướng thẳng đứng lên trên nếu N e < 0,

hướng thằng đứ n g xuống dưới nếu N e > 0

Phản lưc đông huớng theo Oy, truc này n ằm trong cùng m ăt ph ầng v ớ i trong tâm

và trục quay của đĩa

1) Wi = ẫ ^áỹ ĩ >2

r 1 (3 i3i + 2 p 2) í; U 2 —2) 5 = g Ấ Ẽ ± ± l ủ t i

- Vectơ chính như nhau,

- M ômen chính sai khác một lượng m ( a b — p 2 )e.

r ( M + 2m)

có hướng như hình vẽ.

; dấu trừ thể hiên ũ

P h ầ n IV D ôn g lư c h o c giải tíc h

tr o n g to a dô su y rô n g , d a o dông, va ch a m

N G U Y Ê N L Ý D ’A L E M B E R T - E U L E R - L A G R A N G E

2 7 2 ệ C ơ hệ gồm có ba v ậ t di chuyển M l, M 2, M Cho M i, M 2 các dịch chuyển khả dĩ lên tư ơ n g ứ ng là Sri , 6 r 2 thì do ba vật liên hệ như hình vẽ nên M dịch

chuyển xuống một đoạn là - ( ổ n + ỏr2).

T heo nguyên lý độ dời khả dĩ ta có

n

^ 2 Fi • 6*1 = 0.

i= l Thay vào trên nhận được

Ph á v ỡ liên kết tại A, thay bằng phản lực R A hướng th ẳn g đứng lên Cho

A m ột dịch chuyển khả dĩ ỎXA th ì M nhận dịch chuyển là ỎXM = -ỎXA\ b x c —

6 x b = ỎXD — 0 T heo nguyên lý độ dời khả dĩ có

Giải phóng liên kết tại D , thay bằng phản lực iỈ£> h ư ớn g th ẳ n g đứng lên

trên Chiếu th eo phương vuông góc AB ta được

280 P b = 5 P A , trọng tâ m của vật B chia khoảng cách giữ a các dây th eo tỉ số

4 : 1.

2 8 1.

P = Q ’p ĩ l = í k G

r2r4/c 282.

2 8 8 Cơ hệ gồm dây, các ròng rọc và các vật A, B, c Giả sử A, B chuyển động

hướng xuống với các gia tốc W\, It>2 Khi đó c chuyển động với gia tốc hướng lên

là W 3 Các lục quán tín h = ni i Wi , F g = 1712 W 2 , F(L = Cho A, B dich chuyển hướng x u ốn glà ỎXA, S x b thì ổ x c = -(ỔXA + ỏ x g ) hư ớn g lên Áp dụng

phương trình D ’A lem bert - Euler - Lagrange ta có

Vì w 3 = Wl — W2, thay vào trên cùng vớ i các đại lượng đã cho được

2 9 3 Ta thấy vị trí của ta y quay được xác định bời góc <p, bánh 1 được xác định

bời góc £> 1, bánh 2 bở i góc quay quanh o 2 là <P 2 và vị trí tâ m Oi - Ta có

Ti động năng bánh i Tt động năng của thanh.

Ta có Tị = 0 do bổ qua khối lư ợng tay quay, còn các đại lượng

Do hai bánh làm cùng vậ t liệu nên m ật độ Pi = p2 và cùng bề dày h nên m 1 = p 1 ^ I ế)

M ặt khác

Vì i sin ĩp — r sin £> suy ra iịj «

qua I'P, nên hệ có 1 bậc tự do

Lực suy rông của hê là

Q<p - -MSi p + p r ũ sin (pỏip

m \ i \ / 1712^2 tồn tại hai vị trí cân bằng tư ơ n g đối, tron g đó ìp = U)t ± —

3 0 6 ễ K hoảng cách từ chất điểm đến giao điểm của đ ư ờ n g th ẳ n g A B v ớ i trục thẳng đứng là

J _ ^7 gUÍí cos a _|_ g —liiíco sQ _|_ 9 S in ữ

U!2 cos2 Q

3 0 7

Ổ + - UJ2 cos sin ớ = 0,

M = 2 m a 2(sin ỡ co sớ )u ;ớ

3 0 8 ể Ta th ấ y góc xác định vị trí vòng tròn, 6 xác định vị trí của điểm ờ trên

vòng tròn Hệ có 2 bậc tự do Đ ộ n g năng của hệ

T = T<J + T m ;

T a động năng của vòn g tròn, T m động năng của M.

V ới <£> là góc lệch của con lắc khỏi đường th ẳ n g đứng, z là độ dãn dài tư ơ n g đối của sợi dây.

với ip góc quay của vô lăng.

3 1 2 ễ Cơ hệ gồm con chạy A chuyển động tịn h tiến ngang (xác định b ờ i tọa độ y)

và quả cầu B xem như chất điểm được xác định b ở i vị trí của A và góc <p Hệ có

hai bậc tự do Đ ộng năng của hệ T = T a + T g Ta có

tứ c là

3 1 3 ể

ÍCỘ -I- ỷ COS <p + g sin ip = 0.

= -j u [(m i + m 2)g + m 2£(cosipip2 + (p sin V?)] sign ỹ;

ICp + ỷ COS (p + g sin ự> = 0.

3 1 7 M \ được xác định bỏ-i r 1, ip\ M2 được xác định bờ i Z i , ph ư ơ ng trình liên kết rj + Z i — í, phương trình Rauss

= tịc1 - m xg í = a n ,

Q 2 — + ^2^2 — (ml + m2)ọ^2 = a22)2

3 4 4 Khi n < — 3 chuyển động không ổn định khi n > —3 chuyển động ổn định.

3 4 5 Các vị trí cân bằng tư ơ n g đối có thể xảy ra tư ơ n g ứng vớ i các giá trị sau

đây của góc lệch giữa đư ờng OG với trục O z

M g h

(¿5 —

thay ¿ v à o đây ta được

T = ^ m [ x 2 + ỷ 2 + (2 OLXX + 2(3yỷ)2 + (X2 + y 2)uj2}.

T hế năng n = m g z — m g ( a x 2 + /3y2) V ậy hàm Lagrange

L — T - 7T = - m ị x 2 + ỷ 2 + (2 a x x + 2f 3yỹ)2 + (X2 + y 2)oư2] — m g ( ữ ĩ 2 + /5y2).

với giả th iế t rằng Y - ■ R < a < 2R Vị trí cân bằng này là ổn định.

3 4 9 Vị trí cân bằng ổn định yf r t > h — r, không ổn định khi \ f r í < h — T.

C h ư ơ n g 14 DAO DỘNG

1 4 l ẵ D a o đ ô n g c ủ a h ê c ó m ô t b â c t ư d o

3 5 0 Chọn trục X hướng thẳng đứng xuống dưới gốc tạ i vị trí cân bằng tĩn h , gọi

độ dãn tĩnh của lò so là XQ. T ại vị trí cân bằng tĩn h có

Gọi độ dãn của lò so tại th ời điểm t bất kỳ là A, ta có A = x 0 + X, lực căng của

lò so là F = AC V ậy phư ơng trình chuyển động có dạng

m' i = m g — F = m g — C ( x 0 + x).

T ìm nghiệm của (2) dưới dạng

X — Ả sin ut + B cos uit; u =

Sử dụng điều kiện đã cho khi t = 0, X — Xo, X= 0 ta được A = 0, B = —Xo- V ậy

3 5 4 Chọn Xhư ớn g th ẳn g đứng xuống dưới với gốc tại vị trí cân bằng tĩn h Gọi

Àj, A 2 là độ dãn tĩn h tư ơ n g ứng hai lò xo.

T ại vị trí cân bằng tĩn h có p = X ị C ị + A2 C 2 = + Ơ 2 ) Ế

T ại thời điểm t b ấ t kỳ độ dãn củ a lò xo hai là A2 = X + A 2 , củ a lò xo m ột là

^1 = ^2 V ậy có phư ơng trình chuyển động là

Oc a 2

B F = M H = O ị M — o i H = í — l cos a = 2 £ sin 2 — « — ,

bổ qua vô cùng bé bậc cao a 2 suy ra B F « 0, vậy 7 « 0, từ đó <£> Ị3.

3 6 6 G iả th iế t O i B , B C dao động cùng bậc với <p, ta có

T ìm tọa độ C ( x , y ) , có

X = a sin (£> + S sin /? « (a + s) sin <p,

y = a cos (p — s cos « (a — s) cos <p,

Phương trình Lagrange 2 là

dt V ' d v thay và o vớ i giả th iết sin<£> Rí tp, c o s <p « 1 ta được

m ỹi(a + s ) 2 — Ọ (g — s )</2 = 0, hay

~ (s — a)

m (a + 5)

P h ư ơ n g trìn h L agrange 2 (với dao động bé) là

m £2£ i + mgítpx + C h 2 (ipi - < p 2 ) = 0, ( l)

m í 2<p 2 + mgl<p 2 ~ C h 2 (<pi — <p2) = 0 (2)

T ìm nghiệm (1), (2) dưới dạng

ipi = A \ sin(Ả;f + a ); (P 2 — A -2 sin(Ả:í + a )

Thay vào ( l ) , (2) nhận được hệ 2 phương trình bậc nhất đối với A ị , v42ẵ T ừ điều kiện A i , Ả 2 không đồng th ời bằng 0 ta được định thức các hệ số bằng 0, suy ra

3 7 3

/C! = 0,67 7x/ | ; k 2 = 2 , 5 5 s J ị t

trong dao động chính th ứ nhất Í /?1 = 0 ,8 4 7 <£> 2 > còn trong dao động chính th ứ hai

<Pi = — 1,180<£>25 ở đây <PI, i p2 là các góc biên độ hợp bởi sợi dầy v à th anh với đường th ẳng đứng.

3 7 4

/3 P\ + 2 P 2 ~g

'p = roCOSr i t ĩ m ã 1’

ĩỊj = u 0t,

với rị) là góc tạo b ở i thanh AB với hướng thẳng đứng.

3 7 5 T ần số dao động tự do là nghiêm của phương trình

, 4 M + m / o m r + ¿ \ g k 2 2 m ( M + m) g 2 _

M + 3 m \ + M ' r / £ + M { M + 3 m ) I r =