[r]
Trang 1Đề Luyện Thi Đại học 10
Đề 10
CÂU I:
a) Khảo sát hàm số: 2
5 4
y = x - x + b) Cho 2 parabol: 2
5 6
y = x - x + và 2
5 11
y = - x - x -
Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên
CÂU II:
a) Tìm x , y nguyên dương thỏa phương trình:3x+5y=26
b) Cho a b c > 0 Chứng minh rằng : (a b c )(1 1 1 ) 9
a b c
CÂU III:
a) Giải phương trình :sinx+sin2x+sin3x=0
b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 2 cot
2
C tga+tgb= g thì
tam giác ABC cân
CÂU IV:
a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân
biệt?
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3,4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5
chữ số đôi một khác nhau?
Thí sinh chọn một trong hai câu Va hoặv Vb dưới đây
CÂU Va:
a) Cho đường tròn 2 2 2
( x - a ) + ( y - b ) = R
Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn tại điểm ( x y0, 0 ) có
(x -a x)( -a)+(y -b y)( -b ) = R
b) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của Hyperbol
2 2
2 2 1
a - b = đến các tiệm cận của nó là 1 số không đổi
CÂU Vb:
Cho tứ diện ABCD Gọi A B C D1, 1, 1, 1 tương ứng là các trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Gọi G là giao điểm của AA BB1, 1
a) Chứng minh rằng:
1
3
4
AG
AA = b) Chứng minh rằng: AA BB CC DD1, 1, 1, 1 đồng quy
Đáp án đề 10 Câu I:
a) Khảo sát hàm số: 2
5 4
y = x - x +
· Tập xác định: D = R
· y’= 2x - 5
· BBT:
· Đồ thị:
Trang 2Đề Luyện Thi Đại học 10
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
1
P y= x - x + và ( ) : 2 5 11
2
P y = -x + x -
- Gọi ( ) D : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2)
- ( ) D tiếp xúc với (P1) và (P2)
2 5 6
2 5 11
2
1
2
ï
Û í
ỵ
ï
Û í
ỵ
ì
D =
D =
ì
ỵ
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép
ì
í
ỵ Vậy phương trình tiếp tuyến chung là:
y = 3x - 10
hay y = - 3x + 5
CÂU II:
a) Tìm x, y nguyên dương thoả 3x + 5y = 26
Ta có:
3x + 5y = 26 26 5 8 2. 1
Ta lại có:
· x y Ỵ ¢ ,
1
3 ,
y
y
t
y t
Ỵ
ì
ï
Û í -
ï
Ỵ
ì
Û í
ỵ
¢
¢
¢
Trang 3Đề Luyện Thi Đại học 10
1 3 , 0
7 5 0
1 0 (vì t )
t
x y
t
t
-
ì
· > Û í
+ >
ỵ
-
Û < <
Û = - Ú = Ỵ ¢
Ú
b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh (a b c )(1 1 1 ) 9
a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được :
3
a b c + + ³ abc
1 1 1 3 1
a + b + c ³ abc (vì a, b, c > 0) Nhân vế với vế ta được :
1 1 1
a b c
+ + ç + + ÷ ³
CÂU III:
a) Giải phương trình:sinx + sin2x + sin3x = 0
Ta có phương trình
2 sin 2 cos sin 2 0 sin 2 (2 cos 1) 0 sin 2 0
1 cos
2
2
2
2
3
2
2
2
3
x
x
x k
k
x
k
p
p
p
p
p p
=
é
ê
Û
ê = -
ë
=
é
ê
Û
ê = ± +
ë
é
=
ê
ê = ± +
ê
¢
b) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 2 cot
2
C tgA+tgB= g thì
DABC cân
Ta có:
Trang 4Đề Luyện Thi Đại học 10
2
2 cot
2 cos
2 cos cos sin
2 cos
2 cos cos
sin
2 sin
1
2 cos cos
sin
2 sin cos cos
2
(1 cos ) cos( ) cos( )
1 cos cos cos( ) cos( ) 1
0
C
C
A B
C
C
C
C
C
C
C
A B
A B
A B
+ =
+
Û - =
Û =
Vậy D ABC cân tại C
CÂU IV:
a) Từ bốn chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số
phân biệt:
· Số các số có 1 chữ số: 1
4
A
· Số các số có 2 chữ số phân biệt: 2
4
A
· Số các số có 3 chữ số phân biệt: 3
4
A
· Số các số có 4 chữ số phân biệt: 4
4
A Vậy số các số cần tìm là: 1 2 3 4 64
A +A +A +A = (số)
b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau:
Gọi số cần tìm có dạng:
1 2 3 4 5
a a a a a
5
a =
Số cách chọn các vị trí còn lại: 4
5
A
· Trường hợp 2: { } 2, 4
5
a Ỵ
-
5
a Có 2 cách chọn
-
1
a Có 4 cách chọn (vì
1
a khác 0)
- , ,
2 3 4
a a a có 3
4
A cách chọn
Þ Số các số trong trường hợp 2: 2.4. 3
4
A (số) Vậy số các số cần tìm là: 4 2.4 3 312
A + A = (số)
CÂU Va:
a) Đường tròn ( x a - ) 2 + ( y b - ) 2 = R 2 (C)
· Có tâm I(a, b) bán kính R
· Gọi ( ) D là tiếp tuyến của (C) tại ( , )
0 0 0
Ta có: ( , ) ( )
M x y Ỵ D Û MM ^ IM
Trang 5Đề Luyện Thi Đại học 10
0 0
2
R
uuuuuuruuuur
(vì ( , ) ( )
0 0 0
M x y Ỵ C ) Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( , )
0 0
x y là:
2
x a x - - a + y b y - - b = R
b)
2 2
1 ( )
2 2
H
- =
Lấy ( , ) ( ) 2 2 2 2 2 2
Hai tiệm cận của (H) là: bx - ay = 0 ( )
1
D và bx + ay = 0 ( )
2
D
Ta có:
( , ( )) ( , ( ))
2 2
bx ay bx ay
b x a y
a b
-
+
(với c là nửa tiêu cận của (H))
CÂU Vb:
4
1
AG
AA =
Gọi I, J là trung điểm của CB,
CD và
1
A = BI Ç DJ
Ta có:
1
D Ỵ AJ
Và: 1 1 1 1 1
3
JA = JD = AD = Tam giác
1 1
GA A : GDA .
1
1 1
3
1
3
4
1
D A
GA
AG
AA
b)
Trang 6Đề Luyện Thi Đại học 10
Chứng minh tương tự ta có
1
BB và
1
CC cũng qua G Vậy
1
AA ,
1
BB ,
1
CC ,
1
DD đồng qui tại G