Tìm M trên đồ thị hàm số (1) sao cho diện tích tam giác ABM đạt nhỏ nhất. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SI.. Theo chương[r]
Trang 1Trần Sĩ Tùng Ôn thi Đại học
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG QUỐC HỌC QUY NHƠN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC Lần 2 NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN - Khối A, A 1 , B, D
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x
x
2 1 (1) 1
-=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Cho A(0; 1), B(3; 2) Tìm M trên đồ thị hàm số (1) sao cho diện tích tam giác ABM đạt nhỏ nhất
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: sin 22 x 1sin2x sin2 sin x 2x
4
2) Giải hệ phương trình: y x
3
2
39
4
ïï í
-ïî
Câu III (1 điểm): Tính tích phân I x dx
x
9 4
2
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang cân với AD // BC, AB = BC = CD = a,
AD = 2a SA^(ABCD), mp(SCD) tạo với mp(ABCD) một góc 600, I là trung điểm của AD
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SI
Câu V (1 điểm): Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mãn x2+y2+z2= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1
II PHẦN RIÊNG (3 điểm):
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x2+y2-2x+4y- = và đường thẳng 4 0 (D): x-2y= Viết phương trình đường tròn (T0 1) đi qua điểm A(4; 0), tiếp xúc ngoài với đường tròn (T) và có tâm thuộc đường thẳng (D)
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x y z+ - - = , hai đường thẳng (1 0 D):
- - , (D¢): x y z 11 1= = 3+ Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (a ) và
cắt (D¢); (d) và (D) chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng 26
Câu VIIa (1 điểm): Tìm số phức z thoả mãn: z z z i
i
3
2
+
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABCD cân tại A, trọng tâm G 7 7;
3 3
è ø Đường thẳng AC và
CG lần lượt có phương trình 3x+4y-23 0,= x+8y-21 0= Tìm tọa độ A, B, C
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y-2 10 0z+ = , hai đường thẳng (D1): x 2 y z 1
-= -=
- , (D2): x 2 y z 3
= = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (D1), tiếp xúc với (D2) và mặt phẳng (P)
Câu VIIb(1 điểm): Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z i
20
1 cos sin
Trang 2Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn
Câu I 2) AB = 10 Phương trình AB: x - 3 y + = 3 0 Giả sử 0
0
3 1
1
x
MAB
Để SMAB nhỏ nhất thì x + >0 1 0
0
MAB
x
0
9
1
x
x
+ ) Dấu '=" xảy ra Û x =0 2 Vậy M( ; ) 2 1 Khi đó SMAB= 1
Câu II
1) PT Û 2 0
x
sin
2
3 4 3
2
y
ì
-ï í
ï ³ î
( ) ( )
ê
4
y = Þ = - x
Câu III Đặt
-Þ
7
2 3
2 2 2
2
4 1
t
t( )
=
7 3
2 2
t t ( t ) ( t )
=
7 2 2 2
Cách 2: Trước tiên đặt t = x, sau đó đặt t2- = - 2 u t
Câu IV Dễ chứng minh được CD ^ AC Þ CD ^ SC Þ · SCD = 600 Þ SA=3a
1)
2
4
V . = S SA = 2) Ta có AB // CI Þ AB // (SCI) Þ d AB SI ( , ) = d AB SCI ( ,( )) = d A SCI ( ,( ))
Trong đáy (ABCD), vẽ AE ^ CI Þ CE ^ (SAE) Þ (SCI) ^ (SAE)
Trong DSAE, vẽ AH ^ SE Þ AH ^ (SCI) Þ d A SCI ( ,( )) = AH
2
a
AE = Þ 12 12 12 132
9
AH = SA + AE = a Þ
3 13 13
a
13
a
d AB SI ( , ) =
Trang 3Trần Sĩ Tùng Ôn thi Đại học
Câu V Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các số:
và b1= x y ( + 2 z b ), 2= y z ( + 2 x b ), 3= z x ( + 2 y ), ta có:
Þ 3 M xy yz zx ( + + ) ³ 1Þ 1 1
M
xy yz zx
1
xy yz zx x + + ³ + y + z = )
Dấu "=" xảy ra Û 3
3
x y z = = = Vậy 1
3
M
3
x y z = = =
Câu VIa
1) (T) có tâm I( ; ) 1 2 - , bán kính R =3 Gọi J a a ( ; ) ( ) 2 Î D là tâm và R1 là bán kính của ( ) T1
Ta có: IJ = 5 a2+ 5, R =AJ1 = 5 a2- 16 a + 16
1
T
( ) tiếp xúc ngoài (T) Û IJ R R = + 1 Û 5 a2+ = + 5 3 5 a2- 16 a + 16 Û a =2
Þ J ( ; ), = 4 2 R1 2 Þ Phương trình đường tròn ( ) T1 : ( x - 4 )2+ - ( y 2 )2= 4
2) (a) có VTPT n ( ; ; ) r = 1 1 1 - , (D) có VTCP u ( ; ; ) 1 1 1
Gọi A ( ) ( ) = D¢ Ç a Þ A( ; ; ) 0 0 1 - ; B ( ) ( ) = D Ç a Þ B( ; ; ) 1 0 0 Þ uuur AB ( ; ; ) = 1 0 1
Vì (d) Ì (a) và (d) cắt (D¢) nên (d) đi qua A và (D) ^ (a) nên mọi đường thẳng nằm trong (a) và không
đi qua B đều chéo với (D)
Gọi u rd = ( ; ; ) a b c là VTCP của (d) Þ 0
d
u n a b c r r = + - = (1) và
d
ur không cùng phương với uuur AB
(2)
Ta có: d d ( , ) D = d B d ( , ) Þ 6
2
d d
AB u u
,
ë uuur r û =
2 2 2
2
Từ (1) và (3) Þ ac =0 Û 0
0
a c
é =
ê =
· Với a =0 Chọn b c= =1Þ u rd = ( ; ; ) 0 1 1 Þ 0
1
x
d y t
: ì = ï í =
ï = - + î
· Với c =0 Chọn a= - =b 1Þ u rd = - ( ; ; ) 1 1 0 Þ
1
x t
z
: ì = ï í =
ï = -î
Câu VIIa Giả sử z a bi a b R = + ( , Î ) Ta có: 20
z z
z . i i
í - = +
2 2
20
a b
a ( b )
ì + = ï
í
2 4
a b
ì = ±
í =
Vậy có 2 số phức thoả YCBT là z = + 2 4 i và z = - + 2 4 i
Câu VIb
1) Ta có C = (AC) Ç (CG) Þ C( ; ) 5 2 Gọi M là trung điểm của AB Þ uuur MC = 3 MG uuuur
Þ 1 5
2
M ; æ ç ö ÷
è ø
Giả sử 23
4
A a æ ç ; - a ö ÷ Î ( AC )
3
2 4 3
4
B æ ç - a a ; - ö ÷
Trang 4Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng
DABC cân tại A Û AB2 = AC2 Û 100 2 110 185 25 2 125 625
1 4 23 60
a a
é
= ê ê
ê = ë
· Với 1
4
a = Þ A ( ; ), ( ; ) 1 5 B 1 0 Vậy A ( ; ), ( ; ) 1 5 B 1 0 , C( ; ) 5 2
· Với 23
60
A æ ç ; ö æ ÷ ç , B ; ö ÷
5 2
A æ ç ; ö æ ÷ ç , B ; ö ÷ , ( ; ) C
2) 1
2 1
y t
:
= í
ï =
-î
; D2 đi qua điểm A( ; ; ) 2 0 3 - và có VTCP u r2= ( ; ; ) 1 1 4
Giả sử I ( 2 + t t ; ; 1 - Î t ) D1 là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S)
Ta có: uur AI = ( ; ; t t 4 - t )
Þ é ë uur r AI u , 2ù = û ( 5 t - 4 4 5 0 ; - t ; )Þ 2
2
2
3
AI u t
d I
u
, ( , ) D = é ë uur r ù û =
-r
3
1 4 4
d I P ( ,( )) = + - - ( - + ) = +
+ +
(S) tiếp xúc với D2 và (P) Û d I ( , ) D =2 d I P ( ,( )) Û 5 t - = + 4 t 10 Û 7 2
1
t t
é
= ê
ê = -ë
· Với 7
2
t = Þ 11 7 5
I æ ç ; ; - ö ÷
9 2
R = Þ PT mặt cầu (S):
· Với t = -1 Þ I ( ; ; ), 1 1 2 - R = 3 Þ PT mặt cầu (S): ( x - 1 )2+ + ( y 1 )2+ - ( z 2 )2= 9
Câu VIIb Đặt 1
u = - cos p + i sin p
u = sin p + i sin p cos p = 2
sin p æ ç sin p + cos p ö ÷
2
sin p æ ç cos p + sin p ö ÷
Þ
20
10
z u = = æ ç sin p ö ÷ (cos p + i sin ) p
20
2 10
sin p
Vậy z có phần thực
20
2 10
a = ç æ sin p ö ÷
è ø , phần ảo b =0
=======================