chuyên đề ĐỘNG học vật rắn

Chuyển động song phẳng của vật rắn Là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay 1. Chuyển động song phẳng: trục quay chuyển động tịnh tiến Xét hệ quy chiếu đứng yên, A là trục đang chuyển động tịnh tiến, B là một điểm trên vật rắn, vật rắn quay với tốc độ góc Chuyển động song phẳng của vật rắn có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến của A và chuyển động quay của vật rắn.

ĐỘNG HỌC VẬT RẮN Phần 1 Cơ sở lí thuyết

Có 3 loại chuyển động của vật rắn: Chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay quanh trục cố định và chuyển động song phẳng

I Chuyển động tịnh tiến.

Tất cả các điểm trên vật rắn có cùng vận tốc và có cùng gia tốc ở cùng 1 thời điểm:

,

II Chuyển động quay quanh một trục cố định

Tất cả các điểm trên vật rắn quay quanh một trục cố định với cùng vận tốc góc và gia tốc góc

,,

d dt d dt

θ ω ω α

α θ ω ω

=

=

=Nếu gia tốc góc không đổi

III Chuyển động song phẳng của vật rắn

Là tổng hợp của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

1. Chuyển động song phẳng: trục quay chuyển động tịnh tiến

Xét hệ quy chiếu đứng yên, A là trục đang chuyển động tịnh tiến, B là một điểm trên vật rắn,vật rắn quay với tốc độ góc ω. Chuyển động song phẳng của vật rắn có thể phân tích thànhchuyển động tịnh tiến của A và chuyển động quay của vật rắn

• Lăn không trượt

Điểm tiếp xúc không trượt, chuyển động trên các quỹ đạo khác nhau, có cùng vận tốc và gia tốctiếp tuyến nhưng gia tốc hướng tâm khác nhau

Lăn không trượt có thể phân tích thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Lăn không trượt, vận tốc khối tâm vvG =r iωv gia tốc khối tâm avG =αriv.

Xác định tâm vận tốc tức thời:

2 Trục quay vừa chuyển động tịnh tiến, vừa chuyển động quay

Trong hệ quy chiếu cố định, A là trục vừa chuyển động quay, vừa chuyển động tịnh tiến

Áp dụng cho:

• Vật rắn trượt tự do ở điểm liên kết

• Chuyển động của 2 điểm trên 2 vật rắn khác nhau

• Hạt chuyển động trên 1 quỹ đạo đang quay

Phần 2 Bài tập áp dụng

Bài 1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB,

BC, CD của một tam giác AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vuông gócvới mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang Hai đầu của thanh BC nối với

AB và CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề)

Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc ω tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,

BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 45 Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC0

và CD được xác định như trong hình vẽ Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc a của điểm C c

(biểu diễn qua góc với thanh CD)

Hình 1

Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng

0 và a cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA Điểm C quay tròn quanh B

trục D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD Từ hình 1có

thể thấy hướng đó dọc theo BC Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắtphải bằng nhau và bằng

2

C Cn

v a CD

Cn

a = ω l

(5) Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD

Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốctiếp tuyến a Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh Ct

B, phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC Gọi v là độ lớn của vận tốc này, theo CB

2

CB CB

v a CB

=

(7)

a = ω l

(8)Gia tốc này có hướng vuông góc với CD

Từ công thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là

Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến a khi C chuyển động tròn quanh Cn

D và gia tốc tiếp tuyến a , nghĩa là Ct

a) Vận tốc trục hình trụ bằng bao nhiêu?

b) Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng là bao nhiêu?

Lời giải

v M

Do dây không dãn nên đầu dưới của phần dây thẳng đứng và điểm tiếp xúc của dây với khối trụ

(điểm A) có cùng một vận tốc và hướng theo phương ngang vrA

Chuyển động của khối trụ bao

gồm: chuyển động tịnh tiến cùng với trục với vận tốc vr0

hướng theo mặt phẳng nghiêng và chuyển động quay quanh trục theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc ω Khi đó:

Vận tốc của tâm O1 của vòng M là v Mặt phẳng của M nằm sátmặt phẳng P Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là

d < 2R Tìm:

C

O2 O1

a) Giao điểm A dịch chuyển trên đường tròn C với vận tốc vA tiếp tuyến với C, hình chiếu

lên phương ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA

R d / 4R

d

2 14R

là một cung tròn Vòng lăn không trượt nên có thể xem như nó đang quay quanh điểm tiếp xúc với vận tốc góc ω

= v/R

Ta có: IA1 = 2R.cosβ, với β = α/2

→ cosβ =

2 2

v

R Vậy: R

1 = 2R

2 2

Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong không gian Ở một thời điểm nào đó vận tốc của 2 điểm

A và B trên tấm gỗ là vA =vB =v và nằm trong mặt phẳng của tấm Điểm C (tam giác ABC

đều: AB = AC = BC = a) có vận tốc 2v Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở cách đường thẳng AB là bao nhiêu?

Lời giải

Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc vA =vB =v thì A và B đứng yên còn

C quay quanh AB Như vậy trong HQC gắn với đất: vrC = +v vr rq

quay quanh AB với vận tốc

Hình 3

α R

vC0 = vD0 = ωR

α C

D O

vD0 vC0

v0 yx

R

Bài 6:

Hai thanh cứng, cùng chiều dài L, được nối với nhau ở một đầu bằng một bản lề Đầu kia của một thanh được giữ cố định bằng một bản lề, còn đầu kia của thanh thứ hai thì cho chuyển độngvới vận tốc véctơ v0 không đổi cả về độ lớn lẫn hướng, đồng thời tại thời điểm ban đầu véc tơ vận tốc v0 song song với đường phân giác của góc tạo bởi hai thanh ở thời điểm đó (hình 4)

Hãy tìm độ lớn và hướng của véc tơ gia tốc của bản lề nối hai thanh sau thời điểm ban đầu một khoảng thời gian rất ngắn

Lời giải

- Quỹ đạo của B là tròn

- Do thanh BC cứng, hình chiếu của B và C lên phương thanhbằng nhau:

L L α (2)

* Tiếp tuyến at hướng theo vuurB

Xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn với C

α

Vận tốc này vuông góc với BC do B quay quanh C

Gia tốc pháp tuyến của B trong hệ này (hướng từ B về C):

anC = an.cos2α + at cosβ (vì an hướng theo thanh AB, còn at theo phương của vuurB )

WA= 20 cm/s2 Trong đó AB = 20 cm và α = 30o

Tìm gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB

LG

Gia tốc điểm B và gia tốc của thanh AB

P là tâm vận tốc tức thời : Sin α =PA/L vậy PA=L.Sinα , AP = 10 cmVận tốc góc của thanh AB:

V A

AB

ω

4 rad/sGia tốc của điểm B: arB =arA+arBAτ +arBA n (a)

a PA

2

r l

r l

Hình vuông chuyển động song phẳngChọn A làm cực : auur uurB =a A+auuur uuurBA n +a BA t (1)

Chiếu (1) lên hai trục vuông góc

aB = a = AB n BA ω2 = a.ω2 ⇒ω =

B

a a

Trong đó :

n CB

và gia tốc γ0 Thanh truyền

AB = 2.OA, tại thời điểm đã cho tạo với đường thẳng

OO1 góc α =

300 và OA, O1Bđều vuông góc với OO1 Tìm gia tốc góc của thanh AB và gia tốc củaB tại

vị trí đó

Chọn điểm A làm cực, định

lý về quan hệ gia tốc cho ta:

A o

o a

ar

Q

45 45+

ω

ε =

2

s rad

Bài 12.

Thanh thẳng AB = l chuyển động song phẳng Tại thời điểm đã cho, gia tốc tại A và B có trị số bằng nhau aA = aB = a, có phương vuông góc với nhau và gia tốc a tạo góc A α (α < 450) với thanh AB

Tìm tâm gia tốc tức thời của thanh và gia tốc tại điểm giữa C của thanh

Tâm gia tốc tức thời:

Thanh AB chuyển động song phẳng:

⇒ λ=450 +α Và 4 2

22

Chiều ε theo chiều arτAB

b. Gia tốc điểm giữa C :

Có phương tạo với đoạn CQ góc λ và có giá trị bằng:

Tay quay OA = r quay đều quanh trục O cố định với vận tốc góc ω0 Đầu B của thanh truyền gắn bản lề với trục của con lăn D có bán kính R, lăn không trượt trên đường nằm ngang Biết chiều dài thanh AB = 1.

I B

K O

o Tìm vận tốc và gia tốc tại hai điểm I, K trên chu vi con lăn tại thời điểm bán kính BI thẳng

đứng và bốn điểm O, A, B, K cùng nằm trên đường thẳng ngang

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

a. Vận tốc và gia tốc điểm I

− Vận tốc và gia tốc điểm A: V A =rω0, 2

0

n A

a =rω , aτA =rε0 =0

K O

( )

B

r l r a

song song cùng chiều

Giá trị của gia tốc tại I bằng:

2 0

Bánh xe lăn không trượt trên đường thẳng nằm ngang

Cho biết bánh xe có bán kính là R, khi chuyển động

tâm O của bánh xe có vận tốc là V0 và gia tốc W0.

Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm M1, M2

Xác định vận tốc và gia tốc của điểm M1.M2

Xác định vận tốc và gia tốc của M1

• Tâm vận tốc tức thời (I) ⇒

Vận tốc góc của bánh xe : R

V O I

• Gia tốc của điểm M1 :

o O

B

C 45o A

n B

ar

B

arτ

n BA

2

n

M O

V a

VA = ωo.OA = ωAB AP⇒ ωAB = =

AP

V A

2 rad/sChiếu V A và V B lên phương AB cho :

VA = VBcos45 ⇒ VB = VA 2 = 2 2 m/s

⇒ Vận tốc góc thanh BC là : ωBC = 0,5. 2

22

o O

B

a BC

BA

aτ = AB εAB ⇒εAB =

42.0,5

BA

a AB

Ròng rọc động có bán kính R

Tìm vận tốc ròng rọc động, vận tốc và gia tốc tâm C, gia tốc điểm B

Vật I và II chuyển động tịnh tiến Hai ròng rọc nhỏ quay chung quanh trục cố định Ròng rọc động chuyển động song phẳng Ta có:

V V PA

V PB

V V V

Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB

a. Vận tốc thanh AB: Dùng tâm vận tốc tức thời

− Tâm vận tốc tức thời trùng với O

− Tìm vận tốc góc của thanh AB : vA = rω0 = PA.ωAB ⇒ 0

v A AB

vậy thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ

- Điểm B thuộc thanh AB nên:v B =PB.ωAB =r 3ω0 ,

⇒

,2

32

3

0 0 1

1 ω ω

r

r BO

v B

BO

Và thanh BO1 quay quanh trục qua O1 theo chiều kim đồng hồ

b.Gia tốc góc thanh AB:

− Chọn điểm A làm cực, định lý về quan hệ gia tốc cho ta:

3 2 62

A B

s cm

W a =

Áp dụng công thức: Va =Vr +Ve (1)

− Chiếu (1) lên phương AI: Vasinϕ = Vecosϕ

A B

8cosϕ =

O A

C

u

44 44

Bài 20.

Bánh lệch tâm là một đĩa tròn bán kínk R quay quanh trục O theo mép đĩa với vận tốc góc không đổi ω Trên mép đĩa có điểm M chuyển động từ điểm A với vận tốc tương đối u không đổi, chiều chuyển động chỉ trên hình vẽ.Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t ,

47 47

48 48

Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t ,

ωO A

- Vr = u = const ⇒ ar τ =

du

dt = 0 ; arn =

uR

Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1 s

 Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t = 1 s

Định lí hợp gia tốc: ara = + + = +arr are arc arr are n+arc

Khi t = 1s thì: = e= =const

2

πϕ

ω 

⇒ε=ω =0

02

A B

C

D

Một cơ cấu culít OA quay quanh trục đi qua O với phương trình:

ϕ = 5t – 0,5t2 Một con chạy M chuyển động dọc theo rãnh của culít với phương trình S = OM

= 0.5t3 ( S tính bằng cm , t tính bằng giây)

A M

Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

56 56

57 57

58 58

• Tìm vận tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

A M

61 61

62 62

63 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 69

70 70

Định lí hợp vận tốc: vM =ve +vr

- Khi t=2s thì

3

1

2 42

r

OM = =s =

cm ⇒V e =OMω =4.3 12= cm/s

- Phương chiều các vectơ vận tốc biểu diễn trên hình vẽ

 Tìm gia tốc tuyệt đối của con chạy M tại thời điểm t = 2s

Định lí hợp gia tốc: ara = + + = + +arr are arc arr are r are n+arc

Trong đó:

- a eτ =OMε =4 cm/s2 ; a e n =OMω2 =4.32 =36cm/s2;

- a r = = =s&& 3t 6 cm/s2 ; a c =2 ωe V r =2.3.6 36= cm/s2

Phương chiều các gia tốc biểu diễn trên hình vẽ

B K

n r

a

n e

Cam là một đĩa tròn bán kính R, tâm C quay đều quanh trục cố định qua O với vận tốc ω0 làm

cho cần đẩy AB chuyển động dọc theo rãnh K Độ lệch tâm OC = 2

R

Tìm vận tôc và gia tốc của cần đẩy tại thời điểm ứng với α=300; ϕ = 450

2 2

3

34

o A

l

Bài 24.

ω

M

B O

⇒

0 3

2 2 2

Mx v v

Các véctơ gia tốc được biểu diễn như hình vẽ

Chiếu (*) lên trên trục tọa độ

Vận tốc của MĐịnh lí hợp vận tốc : vrM

A M

B O1

A M

B O1

O2

và v r= =s& 5π cm/s

Chiếu (*) lên hai trục tọa độ

0 0

cos 45 60 /sin 45 44,3 /

r

v a

ac = 2ωo.vr = 2.3.5.π = 30π cm/s2 Các véctơ gia tốc được biểu diễn như trên vẽChiếu (**) lên hai trục tọa độ

2 2

= +r r +r

A M

B O1

X Y

B O

O1

o

A

B O

vận tốc trượt của A dọc cần lắc, vận tốc góc ω1 của cần lắc.

2. Tìm gia tốc của con trượt A và gia tốc góc ε1 của cần lắc.

v

2 v

vcos vsin

2vcos 2vsin H×nh 1.12a

a. Vận tốc:

− Viết biểu thức hợp vận tốc cho điểm A : vrA = +vre vrr, (a)

Trong đó :

- vectơ vrA

hồn tồn được xác định cả phương chiều và giá trị:vA = ωol= 60 cm/s

- Phân tích vA theo hai phương đã biết của ve và vr

Giá trị : vr = vA cosϕ = lω0cos300 = 30 3 cm/s

ve = vAsinϕ = ve = lω0sin30 = 30 cm/s,

Vận tốc góc của cần lắc O1B: 1 1

301,5 /20

= +

⇒

2 2

Gia tốc góc cần lắc :

2 1

một góc α, còn đầu kia chuyển động với vận tốc có độ lớn 2v Tìm vận tốc của tâm đũa và gia

tốc các đầu của nó tại thời điểm đó

Gọi β là góc hợp bởi véc tơ vận tốc của đầu thứ hai của đũa và phương của đũa

Do đũa đồng nhất nên trọng tâm của đũa sẽ nằm chính giữa đũa Theo bài ra thì không có

tốc góc quay của đũa cũng không đổi

H×nh 1.13

Vì đũa là một vật rắn (không bị giãn hoặc nén) nên hình chiếu vận tốc của các đầu đũa trên hướng của đũa phải bằng nhau tại thời điểm bất kỳ:

αβ

β

2

1coscos

2

v

.Trên hình 1.12a là hình chiếu vận tốc các đầu đũa trên phương song song và vuông gócvới đũa

Vận tốc của trọng tâm cũng được biểu diễn qua các hình chiếu của nó: Theo phương song

song với đũa, vận tốc này là vcosα, còn theo phương vuông góc sẽ bằng trung bình cộng cácvận tốc của hai đầu đũa:

( α α)α

αβ

2

1cos

4

11sin2

12

sin2sin

−+

=

v

.Bây giờ có thể tìm được vận tốc góc quay của đũa

Chuyển động tương đối của đầu trên đối với tâm đũa là chuyển động theo phương vuônggóc với đũa (vì chuyển động theo phương của đũa là như nhau) Vì vậy, vận tốc của đầu trênđối với tâm đũa sẽ bằng hiệu hai vận tốc theo phương vuông góc:

L

v L

v L

2/

sincos

421

2/

2 2

=

.Gia tốc của hai đầu đũa là như nhau và chính là gia tốc hướng tâm:

L

v L a

2

sincos

42

2 2

một nút thắt nhỏ Tại thời điểm trên, nút thắt nằm cách mũi thuyền một khoảng bằng một nửakhoảng cách từ nó đến ròng rọc Tìm vận tốc của nút thắt tại thời điểm đã cho

Vận tốc của thuyền hướng theo mặt nước (xem hình 1.13), hình chiếu vận tốc này lên phương

của sợi dây là không đổi và có độ lớn bằng vận tốc kéo của đầu dây trên v 0 : v 0 = vcosα.

Gọi chiều dài của sợi dây là L Thành phần vận tốc của

thuyền theo phương vuông góc với dây là: vsinα

Vì vậy, sau một khoảng thời gian nhỏ ∆t, sợi dây quét

αα

tiến v 0 (dọc theo dây) và vận tốc dài của chuyển động quay tức thời xung quanh điểm tựa trên

ròng rọc Khoảng cách đến trục quay của nút thắt trong khoảng thời gian đang xét là 2L/3 Vì

vậy, thành phần vận tốc dài của chuyển động quay sẽ là:

B O

2

.Vận tốc toàn phần của nút tại thời điểm đã cho là:

αα

2 2 2 2 2 1

2 0

3

sin9

4

=+

Trong lòng vành trụ có một khối trụ đặc II, đồng chất, khối lượng

m, bán kính r, cùng chiều dài với vành trụ Trong hình vẽ bên,

Oxy là mặt phẳng tiết diện vuông góc với trục vành trụ, A và B là

giao điểm của mặt phẳng Oxy với hai trục Tác dụng lực có

phương đi qua A vào vành trụ sao cho vành trụ lăn không trượt

trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo chiều dương trục Ox Biết

khối trụ lăn không trượt trong lòng vành trụ, trục khối trụ luôn

song song với trục vành trụ Ở thời điểm t, góc hợp bởi AB và

phương thẳng đứng là ϕ; vận tốc của A là vA, tốc độ góc của AB

quanh trục đi qua A là ω

Xác định vận tốc của điểm B và tốc độ góc của khối trụ đặc

Giải

Chọn chiều dương cho chuyển động quay của I và II như hình vẽ Ta có:

xB = xA + (R - r)sinϕ ⇒ x’B = x’A + (R - r)ϕ’cosϕ (1)

yB = R - (R - r)cosϕ ⇒ y’B = (R - r)ϕ’sinϕ (2)

với ϕ’ = ω là tốc độ góc của AB quanh A và

v = x +y = (v +(R - r) cos )) + ((R - r) sin )ω ϕ ω ϕ

Vì khối trụ lăn không trượt nên vận tốc vrD

của tiếp điểm D trên I và trên II phải bằng nhau

Chiếu hai vế phương trình trên theo phương Ox ta có:

®iÓm A, B lu«n tiÕp xóc víi hai mÆt ph¼ng; gãc nhÞ diÖn t¹o bëi hai mÆtph¼ng lµ β =1200 H·y tÝnh vËn tèc, gia tèc cña ®iÓm B vµ vËn tèc gãc cñathanh theo v0, L, α (α lµ gãc hîp bëi thanh vµ mÆt ph¼ng P2).

giải

C¸c thµnh phÇn vËn tèc cña A vµ B däc theo thanh b»ng nhau nªn: