8) Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối của một tứ giác bằng một nửa tổng của hai cạnh còn lại thì tứ giác ấy là một hình thang. Trang 1 Typeset by AMS TEX.[r]
Trang 1Người soạn: Huỳnh Văn Quy
Bài tập Phép Biến Hình
1) Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCDE Kẻ DM vuông góc với đường thẳng AB.,
EN vuông góc với đường thẳng AC và kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
Chứng minh rằng ba đường thẳng DM, EN và AH đồng quy.
2) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, một điểm D di chuyển trên cạnh BC Qua D
ta dựng đường thẳng song song với cạnh AC, cắt AB tại điểm E và đường thẳng song song với cạnh AB, cắt AC tại điểm F
a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua một điểm cố
định
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua một điểm cố định thứ hai ngoài điểm A.
3) Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác ABC, một tam giác ABD vuông cân đỉnh D và lấy trên cạnh AB một điểm M sao cho AM = AD; đường thẳng qua M và song song với BC cắt cạnh AC tại điểm N
a) Chứng minh rằng ta có thể suy ra điểm B từ điểm D bằng một phép đồng dạng tâm A Tìm góc và tỉ số đồng dạng.
b) Tính tỉ số diện tích của tam giác AM N và hình thang BCN M Suy ra cách
dựng đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau
4) Cho tam giác ABC; gọi A0, B0, C0, I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
tâm I.
a) Chứng minh rằng ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Chứng minh B0 là trung điểm của A0D và C0 là trung điểm của A0E.
c) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng B0C0
5) Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy nằm trên đường thẳng x0x Trên đường thẳng
góc với AM kẻ qua điểm B cắt y0y tại điểm N Chứng minh đường tròn ngoại
tiếp tam giác BM N đi qua một điểm cố định.
6) Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành ta lấy một điểm P
sao cho [P AB = \ P CB (các đỉnh A và C nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ là đường thẳng P B) Chứng minh rằng [ AP B = \ DP C.
7) Cho tam giác ABC Từ chân D của đường cao AD ta kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh AB, AC và các đường thẳng này cắt các đường thẳng vuông góc với BC kẻ qua các điểm B, C theo thứ tự tại các điểm M, N Chứng minh đường thẳng M N đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
8) Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối của một
tứ giác bằng một nửa tổng của hai cạnh còn lại thì tứ giác ấy là một hình thang
Trang 2Người soạn: Huỳnh Văn Quy
9) Chứng minh rằng nếu tổng các độ dài của hai đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh của một tứ giác lồi bằng một nửa chu vi của tứ giác thì tứ giác đó là hình bình hành
10) Cho hình vuông ABCD và một số thực k > 0, M và N là hai điểm thỏa mãn hệ
Chứng minh AN = DM và AN ⊥DM
11) Cho tam giác ABC Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có chứa đỉnh
A, ta vẽ hình vuông BCDE và trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB có
chứa đỉnh C ta vẽ hình vuông ABF G Chứng minh EA = F C và EA⊥F C 12) Cho tam giác đều ABC Gọi D, E, F là các điểm lấy trên các cạnh AB, BC, CA
và thỏa mãn điều kiện
AD
BE
CF
1 3
a) Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BF, CD đôi một cắt nhau tại các điểm
là đỉnh của một tam giác đều
b) Chứng minh tứ giác EF GH là hình vuông.
13) Cho tam giác ABC có A là góc nhọn Dựng về phía ngoài tam giác ba hình vuông
ABM N , ACP Q và BCEF
a) Chứng minh BQ = CN và BQ⊥CN
b) Gọi O1, O2, I3theo thứ tự là tâm của các hình vuông BCEF , ACP Q, ABM N
và I là trung điểm của cạnh BC Chứng minh tam giác O2IO3 là tam giác vuông cân
c) Chứng minh AO1 = O2O3 và AO1⊥O2O3
d) Gọi S là giao điểm của các đường thẳng vuông góc kẻ từ A đến BC và kẻ từ
B đến CD.
Chứng minh AS, BF và CD đồng quy.
14) Phía ngoài tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông cân IAB vuông tại I và
KAC vuông tại K Dựng hình bình hành IBCM và trên tia đối của tia AI lấy
điểm N sao cho AN = AI.
Chứng minh tam giác KM N vuông cân.
15) Cho P0 là ảnh của một điểm P trong phép vị tự tâm A và tỉ số vị tự là k Chứng minh rằng với mọi điểm O trong mặt phẳng, ta có hệ thức
− −→
OP0 = (1 − k) −→ OA + k −→ OP
16) Cho năm điểm A, B, C, D, E trong mặt phẳng Gọi F, G, H, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC, AD, AE; M là giao điểm của BC và
ED; N là giao điểm của F G và HK Có thể nói gì về ba điểm A, N, M ?