Một số dạng toán chuyên đề về phép biến hình tổng hợp

Một số tính chất của phép dời hình: - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.. - Dùng các tính chất của phép biến hình.. Dạng

Trang 1

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội

ÔN TẬP PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1 Biểu thức tọa độ của phép dời hình:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho véctơ v a b( , )

, các điểm: M x y M ; , x y  ; ,

 ; 

M x y  , I x y và đường thẳng  0; 0 :ax by c  0

Phép tịnh tiến

v

 

 

v

T M MMM v

v

  



  



( )

Phép đối

xứng trục

d

§

Phép đối

xứng trục

d

§

0

§ ( ) 



d M M





 



  



x

a

y

b

§ ( )

;

§ ( )

 



  



  



 



Ox

Oy

Phép đối

xứng tâm

I

§ I M M IM IM

 

§ ( )

0

2 2

O

I

  



  



  



  



§ ( )

§ ( ) Phép quay

I, 

I,   

 , 

IM IM

 



 

  



0

90

; ( )







    





I

2

0

2

; ( )

tan /

;

tan /









 



   







O

y x

k

Phép đồng

nhất I I M M

Phép dời hình

F

 



 





Trang 2

- Nếu có phép dời hình biến một hình H thành hình H’ thì H và H’ là hai hình bằng nhau

- Thực hiện liên tiếp hai ( hay nhiều ) phép dời hình ta được một phép dời hình

Bổ đề 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :ax by c  0, điểm

 , 

M x y Gọi M x y   ,  § ( M) Khi đó, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:





 



  



x

a

y

b Chứng minh:

Gọi M0x y0, 0  MM sao cho MM 

0

2

ax by c x

y

b







Mà M là điểm trên đoạn MM sao cho M0 là trung điểm

0

2 2

by c x

y

b



 



  



Vậy (I ) được chứng minh

Bổ đề 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M x y ,  và số thực 0 900 Gọi

 ,  O;  

M x y   Q  M Khi đó, biểu thức tọa độ của phép quay QO;:

2

;

tan ( )

tan ,









 



   





O

x

Chứng minh:

Gọi  là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và qua điểm M x y , 

+ Khi x    M 0 có hệ số góc tan ;  M

M

    và :y x M x y M 0

Trang 3



      ,  có hệ số

2

y

y b

x





0

  :  0:

2

M

Gọi M x y  , QO; M MĐ M Áp dụng bổ đề 1, ta có

y

x

k

*) Trường hợp suy biến: - Nếu ,Ox00   Ox y:  0 MĐOx M

- Nếu ,Ox900   Oy x:  0 MĐOy M

Vậy (II ) được chứng minh

2 Một số tính chất của phép dời hình:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính

3 Các dạng bài tập cơ bản:

Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình

Phương pháp chung:

M

O

x

y







M

/ 2



x

O

y





M

/ 2





M

Trang 4

- Dùng định nghĩa

- Dùng các tính chất của phép biến hình

Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình

- Dùng định nghĩa

- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình

- Dùng các tính chất của phép biến hình

Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình

- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh

- Để dựng điểm M ta làm như sau:

Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình

Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết

qua một phép dời hình

Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích

Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O Xác định ảnh của các đỉnh A B C D, , , qua

1) Phép tịnh tiến

AB

T ; 2) Phép đối xứng trục §AB ; 3) Phép đối xứng tâm §O ; 4) Phép quay

;90

O

Hướng dẫn giải

1) T AB A B T; AB B B BB AB

 

;

AB



 

2) §ABAB AB;

 

 

 

AB

1

C

B

1

D

A

B

O

C

D

C’ B’

Trang 5

3) §O A C;§O B D

4)

0

2

;90

2









O

OA OA

0

2

;90

2









O

OB OB

0

2

;90

2









O

OC OC

0

2

;90

2









O

OD OD

Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và A B C D   ( như hình vẽ ) có AB A B  Tìm một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành    A B C D

- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông ABCD theo   

v AA ( như hình vẽ ) ta được ảnh của nó là hình vuông A B C D 1 1 1

- Thực hiện quay hình vuông A B C D 1 1 1 tâm A, góc quay   A D A D  1;   ta được hình vuông A B C D   

Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành A B C D   

Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau  O1 và  O2 Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia

B

A

C

D

D

A

B

C

A’

B’

C’

D’

1

B

1

C

1

D



2

A

B

C D

O

2

D

2

B

2

C

Trang 6

Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:

- phép tịnh tiến

1 2

O O

T,

- phép đối xứng tâmĐ O

(O là trung điểm của OO1 2),

- phép quay I, với I ,

- phép đối xứng trục Đ

Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm 1;4 ,  3;5

2

 



ảnh của M qua các phép dời hình

a) 

v

T ; b) §Ox; c) §Oy; d) §O

2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900

1/ a) Gọi M x y M x y , , 1 1, 1T M v 

Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến   1

1

 



 





v

y y b, ta có:

 

1

3

4 5 9



    







x y

Vậy điểm ảnh của M qua 

v

;9 2



b) Gọi M x y2 2, 2§Ox M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ Ox:

2

1

4

Ox

y



 



Vậy điểm ảnh của M qua §Ox là 2 1

; 4 2



c) Gọi M x y3 3, 3§Oy M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục Đ Oy:

2

O

1

O



O

Trang 7

3

1

4

Oy

y







Vậy điểm ảnh của M qua §Oy là 3 1

; 4 2



d) Gọi M x y4 4, 4§O M Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm Đ O:

4

1

4

O

y



 



Vậy điểm ảnh của M qua §O là 4 1

; 4 2

2/ Cách 1: Gọi  0  

;90

 

O

A Q A Gọi B3;0 ,  C0;4 lần lượt là hình chiếu vuông góc

của A lên các trục Ox, Oy

Phép

;90

O

Q biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB A C  

Ta thấy B0;3 ,  C  4;0 Vậy điểm ảnh của A qua

;90

O

Q là A  4;3

Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay

0

90

; ( )





I

Suy ra

 ;90 0    4;3 

O

Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ ( 2;3)

v , đường thẳng d có phương trình:

3x5y 3 0 Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép 

v

T

Trang 8

2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M1;5, đường tròn (C) có phương trình

2 2

x y  x y  , đường thẳng d có phương trình x2y40

a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox

b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục :x  y 1 0

M x y   T M d T d

Cách 1:

Chọn 1;0    3;3 

v

Vì d’//d nên d: 3x5yC 0, MdC = 24

Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3x5y240

Cách 2:

Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến 

v

 





 



' 2 ' 3

 



 



Thay vào phương trình của d ta được: 3 x5y240

Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 3x5y240

Cách 3:

Lấy M N, bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo

vectơ v

Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’

2/ a) Gọi M1, C1 ,d1 lần lượt là ảnh của M,  C , dqua phép đối xứng trục ĐOx

+ Ta có M11; 5  

+ Đường tròn (C) có tâm I1; 2 ,  bán kính R  3 Đường tròn ảnh (C1) của (C) có tâm là

   

I Đ I  và bán kính R 3

Vậy phương trình (C1) là: x12y22 9

+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục ĐOx: ' '



Thay vào phương trình của d ta được: x’ 2 ’ 4 y  0

Vậy phương trình của d1 là x2y 4 0

Trang 9

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: § ( )





 



  



x

a

y

b

Thay tọa độ điểm M và hệ số của đường thẳng vào ta có







1.5 1

4 1 1.1 1

2 1

x y

Vậy Đ M M24;2





§ ( )

+ Pt đường thẳng d2 ảnh của d qua Đ là

 

Vậy d2: 2xy 7 0

+ Pt đường tròn  C2 ảnh của (C) qua Đ là

Vậy   C2 : x12y2 9

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A 1; 1 , B 3;1 , C 2;3  Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Giả sử điểm D x y ; 

Để ABCD là hình bình hành thì  BA CD

Nên ( ) 

BA

Với BA   4; 2 , CDx2;y3



Vậy D  2;1 

Trang 10

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Số 130B ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0987708400

Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai

đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất

2) Có ba thành phốA B C, , tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng

Tìm vị trí I trong ABC sao cho có thể xây dựng một bến xe mà tổng khoảng cách từ I tới

các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất

1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: a b

Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a Tìm

vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất Khi đó M là giao điểm của AB với a

+ Thực tế: a song song với b

Các đường thẳng a, b cố định MN

cố định

Nên T MN A  A’A N’  AM

Ta có AM BN  ’A N NB  A B’

Cách dựng:

- Dựng A T MN A Nối A’, B có A B  b N

- Từ N hạ đường thẳng d  a tại M Khi đó MN là vị trí xây cầu

2) Thực hiện phép

B

Q I  J A A Ta có BI BJ; 60 ;0 BA BA;  60 0

BI BA;   BI BA; 600BJ BA; 

A

I

Trang 11

      ngắn nhất khi A I J C, , , thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I

ở giữa J và C Thì  0

120 ;

120

Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc 1200

Cách dựng:

- Dựng ảnh A’ của A qua

B;60 0

- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều

Nên I chính là điểm cần dựng

Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với

AC Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB

Mặt khác CBA  600 và  0

60

ABA  nên I phải nằm trong ABC Nên A I J C, , , thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và

IA IB IC  JAIJIC ngắn nhất

Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d Hãy dựng một

đường thẳng song với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước

Giả sử đã dựng được cát tuyến / /d cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là

MN và M’N’ sao cho MNM N l cho trước

2

O

1

O

N

M

N 

M

1

M

O

O

l



Trang 12

Kéo dài MN về phía N lấy điểm M1 sao cho MM1 l đặt  MM1l

Thực hiện :   1

l

T O  O với OO 1l

Thực hiện :   2

v

T O  O với v  M N N M 1

 2

   O , MM1 l M N1 MN M N MN

Gọi N1 là giao điểm thứ 2 của  và  O1

2

  ( d là trung trực của đoạn OO1)

Vậy cát tuyến  phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn

 O1 và  O2 , song song với d Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc

2

l

R R   R R )

Bài 3: Cho hai đường thẳng song song a và b Với một điểm C không nằm trên hai đường

thẳng đó, hãy tìm các điểm A a B b ,  sao cho ABC là tam giác đều

Giả sử đã dựng được ABC đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán

Với phép quay

C; 60 0

Q

 điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua B nên

suy ra cách dựng như sau:

Cách dựng:

- Dựng đường thẳng

C; 60 0  



  bằng cách kẻ CHa tại H, tìm ảnh H của

H qua phép quay này Vẽ được đường thẳng a qua H và aCH

- Gọi B a b , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có A a

C

B

A

H

a

b

a’

H ’ A’

B’

Trang 13

Rõ ràng ABC là tam giác đều Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm A B C  cần

dựng Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH

Bài 4: Cho ABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ

a) Chứng minh : NC  BQ ; BQ = NC

b) Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh: AH  QN

a) Ta có:

;90  ; ;90 

;90

A

Vậy : NC BQ NC; BQ

H

N

M

P Q

C B

A

b) A    1 ;  ;900  ; 1  ; 

A

Đ B B Q C B Q N Do đó : CB1QN

Mà AH là đường trung bình của  CBB 1

Nên AH // CB Vậy : AM  QN

Bài 5: Qua tâm G của ABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường

thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600

Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân

Ta có : a  CB = {M} ; b  BA = {Q}

Mà :

G; 120 0 

 0   0 



G; 120 0 

Từ (1), (2) 

G; 120 0 

 GM = GQ  GMQ cân

Tương tự:

P

N

A

Trang 14

GNP cân  MQ // NP và NQ = MP

Vậy MPNQ là hình thang cân

Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O)

Gọi M 1 là điểm đối xứng của M qua A, M 2 là điểm đối xứng của M 1 qua B, M 3 là điểm đối

xứng của M 2 qua C Tìm quỹ tích của điểm M 3

M2

M1

M

B

A

Gọi D là trung điểm của MM 3 thì ABCD là hình bình hành Do đó điểm D cố định;

D

Đ M M

Do đó quỹ tích điểm M 3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D

Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn

(O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằng khi A di động trên (O)

thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn

Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC

Tia BO cắt đường tròn (O) tại D

Trang 15

H

M O

B

C

A

D

Ta có BCD=900

nên DC//AH, AD//CH

ADCH là hình bình hành   AH DC2OM

Vì OM

không đổi T2 O M(A) =H

Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là ảnh của

(O) qua phép

2OM

T

Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục

H' I

H O

B

C

A

D

Gọi H là trực tâm tam giác ABC Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC và đtròn (O)

Ta có: BAHHCB; BAHBCH' Do đó HCH’ cân tại CH và H’ đxứng qua BC

Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di động trên (O) thì trực tâm ABC di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép Đ BC

Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,85 MB