[r]
Trang 1Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Khoa Toán- Cơ- Tin học
Đề thi kiểm tra giữa kỳ- Lớp K52A1T- Nhóm 1 Môn: Hàm suy rộng, Thời gian: 75 phút Bài 1 Cho Ω = {(x, y) ∈ R2| x2+ y2 > 1} Hãy xây dựng dãy hàm {ϕk}∞
k=1 trong D(Ω) hội tụ trong E(Ω) và không hội tụ trong D(Ω)
Bài 2 Cho dãy hàm {fk}∞k=1xác định trên R2 như sau
fk(x, y) =
9k 2
16(1 ư k2x2)(1 ư k2y2) nếu |x| < 1
k và |y| < 1
k,
(i) Chứng minh rằng ta có thể coi fk là hàm suy rộng có giá compact Tìm giá của fk (ii) Chứng minh rằng E0
ư lim
k→∞fk = δ
Bài 3 Chứng minh rằng phép nhân với hàm a(x) ∈ C∞
(R2)là ánh xạ từ E0
(R2)vào chính nó Thang điểm: Bài 1 2.5 Bài 2 (i) 2+2.5, (ii) 2 Bài 3 1
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Khoa Toán- Cơ- Tin học
Đề thi kiểm tra giữa kỳ- Lớp K52A1T- Nhóm 2 Môn: Hàm suy rộng, Thời gian: 75 phút
Bài 1 Cho ánh xạ f : D(R) → C xác định như sau:
hf, ϕi =
Z
|x|<1
1 ư |x|)ϕ(x)dx +
Z
2<x<3
(x ư 2)2(x ư 3)2ϕ0(x)dx, ϕ ∈ D(R)
(i) Chứng minh rằng f ∈ D0(R).Xác định giá của f
(ii) Tính các đạo hàm suy rộng Df và nguyên hàm suy rộng của f
(iii) Chứng minh rằng cấp của f nhỏ hơn hoặc bằng 1
Bài 2 Chứng minh rằng phép lấy đạo hàm suy rộng Dk (k ∈ Z+) là ánh xạ từ E0(R) vào chính nó
Thang điểm: Bài 1 (i) 2+2, (ii) 2+2, (iii) 1 Bài 2 1