67 đề đáp án thi HSG chuyên

Cho tam giác ABC vuông tại A AB  AC.Đường tròn  I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại , , .D E F Gọi S là giao điểm của AI và DE a Chứng minh rằng IA

Trang 1

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

x P

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức Q xPnhận giá trị nguyên

2 Cho x x2 1 2 y 4y2  1 1.Tính giá trị biểu thức x38y32019

x y

1 Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O Kẻ các đường cao BE CF,

của ABC E AC F, AB.Các đường cao BE CF, cắt (O) lần lượt tại M và N a) Chứng minh rằng MN song song với EF OA; vuông góc với EF

b) Gọi H là trực tâm của ABC.Chứng minh rằng CH CF BH BE BC2

2 Cho điểm O thuộc miền trong của ABC.Các tia AO BO CO, , cắt các cạnh của BC,

,

AC ABlần lượt tại , , G E F Chứng minh tổng OA OB OC

AG  BE CF không phụ thuộc vào

Trang 2

ĐÁP ÁN Câu 1

Trang 3

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 2x2y  0 x 2y 0

: 08

x

y

DK y x

Trang 5

1 a) Ta có Tứ giác BFEC nội tiếp

BCF FEB(cùng chắn cung BF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC)

BCF BMN(cùng chắn cung BN của đường tròn (O))

M

E

F

O A

B

C

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

Trang 6

O

Trang 7

3 2 3 2 2 3

3 3

Trang 8

b) Tìm số nguyên dương n sao cho 9 11 n  là tích của k k  ;k2số tự nhiên liên

b) Với các số thực dương , ,a b cthỏa mãn a2 b2  c2 2abc 1

Tìm GTLN c ủa biểu thức P ab bc ca abc   

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A AB  AC.Đường tròn  I nội tiếp tam giác

ABCtiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại , , D E F Gọi S là giao điểm của AI và DE

a) Chứng minh rằng IAB EAS

b) Gọi K là trung điểm của AB,O là trung điểm của BC.Chứng minh rằng ba điểm , ,

một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần

Trang 9

ĐÁP ÁN Bài 1

a) ĐKXĐ: x1.Đặt

3 3

2

1

11

x x

b) Nhận xét : tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3

Ta thấy với n nguyên dương thì 9 11 n  không chia hết cho 3nên k  2

Trang 10

n n

Trang 11

Và EAS IAB nên IAB EAS

b) Ta có IAB EASASEIBAIBD do đó tứ giác IBDS nội tiếp

090

ISB IDB

   mà IAB450nên ASB vuông cân tại S

có KA KB nên SK là trung trực của AB

Mặt khác ABC vuông có OB OC nên OA OB suy ra O đường trung trực của AB

E

F

I A

B

C

Trang 12

c) Vì IAlà phân giác của AMK nên AK IK

AM  IM Áp dụng định lý Talet và hệ quả ta có: IK FK AK FK AK AM (1)

Ta thấy 2 ô vuông ở hai góc của hình

vuông 10 10 là xa nhau nhất Gọi các số

được điền vào mỗi ô vuông đó lần lượt là

Vậy a a1; ; ;2 a19là các số nguyên nên chỉ

có tối đa 19 số nguyên khác nhau được

điền vào trong bảng Có 100 ô vuông trên

bảng, nên theo nguyên lý Dirichle thì có ít

nhất một số xuất hiện trên bảng

Trang 13

ĐĂK LĂK

ĐỂ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

L ỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1

Câu 2 a) Cho phương trình x2 4x2 x  2 m 5( m là tham số) Tìm tất cả các giá trị

của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,một đường thẳng d có hệ số góc k di qua điểm M 0;3 và

cắt Parabol  P :y x2tại hai điểm , A B Gọi ,C Dlần lượt là hình chiếu vuông góc của ,

A Btrên trục Ox Viết phương trình đường thẳng ,d biết hình thang ABCD có diện tích

bằng 20

Câu 3

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2  y2 2xy6x4y20

b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của tổng các

chữ số của nó

Câu 4

Cho điểm Anằm ngoài đường tròn  O Vẽ hai tiếp tuyến AB AC B C, ( , là các tiếp điểm) và

một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB ( , D Ethuộc  O )

Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC AB, lần lượt tại ,P Q

a) Gọi H là giao điểm của BC với OA.Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E Chứng minh , ,A P Kthẳng hàng

Câu 5 Cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh CB CD, lần lượt lấy các điểm ,M N(M khác

B và C, N khác C và D) sao cho MAN 45 0 Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau

Câu 6 Cho , ,a b c thỏa mãn 0 a   Chb c 3 ứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 3

Trang 14

ĐÁP ÁN Câu 1 a) Ta có:

3 3

1 3  nên phương trình 0 x2 ax  luôn có 2 nghi3 0 ệm phân biệt hay  d cắt  P tai

hai điểm phân biệt Avà B có hoành độ x x A, B Theo Vi-et thì

Trang 16

Vậy n4913;5832

Câu 4

a) Áp dụng phương tích đường tròn ta có AB2  AD AE Áp dụng hệ thức lượng trong

tam giác ABO vuông có: AB2 AH AO AH AO AD AE

  nên tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm của AE với BC.Ta có:

AHDDEOODEOHEBHDBHE

Suy ra HI là phân giác ngoài c ủa DHE mà HI AH nên HAlà phân giác ngoài DHE

C

B

O A

E

Trang 17

Câu 5

Đường chéo BDcắt AN AM, lần lượt tại P và Q Ta có PAM PBAPAM 450nên tứ

giác ABMPnội tiếp Suy ra PMAPBAPAM 450 APM vuông cân

Tương tự NDQNAQ450nên tứ giác ADNQnội tiếp QNA QDA QAN  450

Trang 19

b) Chứng minh rằng đường thẳng HLđi qua trung điểm của BC

c) Gọi T là điểm trên đoạn thẳng FC sao cho ATB90 0 Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT và CET tiếp xúc nhau

Câu 5 (2 điểm) Cho đa giác đều 30 đỉnh Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kỳ một

bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân

Trang 20

Trang 22

Câu 4

a) Ta có: AFH AEH 900suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính

AH

Ta có tứ giác ALBC nội tiếp KB KC KL KA (1)

Vì tứ giác BFEC nội tiếp KB KC KF KE (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác ALFE nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Gọi M HL O Vì LH AKAM là đường kính

M

T I L

K

H F

E A

B

C

Trang 23

Từ (3) và (4) Tứ giác BHCM là hình bình hành HLđi qua trung điểm của BC

c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABT thì AT2  AF AB và chú ý BFEC nội

tiếp nên AF AB AE AC

Do đó, AT2  AE AC hay AT là tiếp tuyến của đường tròn (CET)

Hơn nữa, KFB ACB KLB  nên suy ra KLFB nội tiếp, do đó AF AB  AL AK nên

AT  AL AKtức là AT là tiếp tuyến của KLT

Vậy CETtiếp xúc với KLTvì có AT là tiếp tuyến chung

Trang 24

Ta thấy rằng một đa giác đều n cạnh gồm có n hướng (cụ thể như trên hình vẽ thì

, ,

AB MN CEcùng một hướng, trong khi đó AB AC, khác hướng)

Với mỗi bộ gồm k đỉnh sẽ sinh ra  1

2

k k

đoạn thẳng, nếu số đoạn thẳng này lớn hơn n

thì sẽ có ít nhất hai cạnh có cùng một hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân

Do đó, điều kiện để k điểm có thể chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu:

Trang 25

Câu 6 Cho hình thang ABCD AB / /CD.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC

và BD Gọi G là giao điểm của đường thẳng đi qua E vuông góc với AD và đường

thẳng đi qua F vuông góc với BC.So sánh GA và GB

Trang 26

a) ĐKXĐ: x 3,x Ta có: 1 1   3 1

3 11

Trang 27

O C

Trang 28

Gọi H là trung điểm của AB

Ta có HA HB và FD FB nên HFlà đường trung bình ABDHF/ /AD

Mà EM AD nên EM HF , tương tự HE cũng là đường trung bình ABC nên / /

HE BC mà FKBC nên FK HE Do đó G là trực tâm

(1)

Gọi ,M Nlần lượt là trung điểm AD BC,

Ta có ME là đường trung bình tam giác ACDnên ME/ /CD

Trang 29

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN: TOÁN L ỚP 9 NĂM HỌC : 2018-2019 Câu 1 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4

chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019

Câu 2 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,n số A3n3 15n chia hết cho 18 b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai Nếu mỗi ô tô

chở 12 người thì thừa 1 người Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô?

Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người

Câu 3 1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20 cm và 1 cm Người ta xếp cây nến trên vào 1 cái hộp có dạng hình

hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp Tính thể tích cái hộp

2) Cho đường tròn O R; và điểm I cố đinhk nằm bên trong đường tròn (I khác O)

Qua điểm I dựng hai cung bất kỳ ABvà CD.Gọi , , ,M N P Qlần lượt là trung điểm của , , ,

IA IB IC ID

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , ,M N P Qcùng thuộc một đường tròn

b) Giả sử các dây cung ABvà CD thay đổi vuông góc với nhau tại I Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho t ứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất

Câu 4

a) Giải hệ phương trình  

3 2

Câu 5 Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17

học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự nhiên trong khoảng từ 1đến

907 Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9

Trang 30

Gọi số cần lập có dạng abcd 2019với , , ,a b c d ;2 a 9,0b c d, ,  9

Xét a n2 ếu b thì ta có các s0 ố từ 2031 đến 2098 Có 7 cách chọn c, có 7 cách

chọn d Do đó có 7.7 49 số thỏa mãn Nếu b thì có các s0 ố từ 2103đến 2198 Có 8 cách chọn b, 8 cách chọn c và 7 cách chọn d Do đó có 8.8.7 448 số thỏa mãn

Với a thì số học sinh là 169 em (thỏa mãn) 14

Vậy số ô tô là 14 và có 169 học sinh

Trang 31

Câu 3

1) Ta có đáy cây nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD như hình vẽ Khi đó ABCD là

mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao bằng chiều cao cây nến h20cm

Ta có: BCEF 2EH 2KE.sinEKH 2.1.sin600  3

Trang 32

I A

Trang 33

b) Theo nguyên lý Dirichle thì trong 3 số 2x1;2y1;2z bao gi1 ờ cũng tồn tại ít

nhất 2 số cùng dấu Giả sử 2x1;2y cùng d1 ấu Khi đó

Trang 34

- Nếu chỉ có 2 số dư giống nhau Khi đó phải có 3 số chia cho 3 có số dư lần lượt

là 0,1,2 nên tổng của chúng chia hết cho 3

- Nếu có ít nhất 3 số dư giống nhau Khi đó tổng của chúng luôn chia hết cho 3

Ta chia 17 số có trong khoảng từ 1 đến 907 thành 3 nhóm: Nhóm I gồm 5 số, nhóm II

gồm 5 số và nhóm III gồm 7 số Mỗi nhóm luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3

Giả sử tổng của 3 số đó ở mỗi nhóm lần lượt là 3 ,3 ,3a b c a b c , ,  *  Còn lại

17 9 8  số, trong 8 số này lại chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3, đặt tổng 3 số đó

là 3d d  *  Còn lại 8 3 5  số, trong 5 số này lại chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3 và đặt tổng 3 số đó là 3e e  * Cuối cùng trong 5 số , , , ,a b c d etồn tại 3 số có

tổng chia hết cho 3, giả sử là 3 số x y z x y z, ,  , ,  *suy ra 3x y z 9 Do đó luôn chọn ra 9 học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9

Trang 35

K Ỳ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức 1 2 2 5 0

44

2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n33n2 2018nchia hết cho 6

Câu 3 (2,5 điểm) Cho đường thẳng  d có phương trình: m1 x m2y (d) (m 3

là tham số)

a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng  d đi qua điểm A  1; 2

b) Tìm m để  d cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng 9

2

Câu 4 (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Trên cùng nửa mặt phẳng

bờ ABvẽ các tiếp tuyến , Ax By Lấy điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A và

B) Kẻ MH AB tại H

a) Tính MH biết AH 3 ,cm HB5cm

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By, lần lượt tại C và D Gọi I là

giao điểm của AD và BC Chứng minh , , M I Hthẳng hàng

c) Vẽ đường tròn tâm  O' nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với ABở K Chứng minh

Trang 36

Trang 37

Vì n n 1n là tích c2 ủa 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

2016n luôn chia hết cho 6

Vậy n3 3n32018nluôn chia hết cho 6 với mọi n

Trang 40

LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN 9 Câu 1 (5,0 điểm)

2 Giả sử a là nghiệm âm của phương trình 3x2  2x  Không giải 2 0

phương trình, tính giá trị biểu thức P 3a4 4 2 4 a 2 3a2

1 Cho hình vuông ABCD,lấy điểm E trên cạnh BC E B C, ;đường thẳng qua

B vuông góc với DE cắt DE tại H và cắt CD tại K Gọi M là giao điểm của DB

và AH

a) Chứng minh ba điểm , ,E K Mthẳng hàng

b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp CHM

2 Cho tam giác ABC P, là điểm trên cạnh BC (P khác B và C); Q, R lần lượt là hai điểm đối xứng với P qua AC, AB Lấy điểm M nằm trên đường tròn ngoại

tiếp tam giác AQRsao cho AM song song với BC.Chứng minh đường thẳng

PM luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi trên cạnh BC

Câu 5 (2,0 điểm)

1 Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kỳ trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng;

mỗi điểm được tô bởi 1 trong 4 màu: đỏ, cam, vàng và lục Các đoạn thẳng nối

2 trong 21 điểm dó được tô bởi một trong hai màu chàm và tím Xét các tam giác có ba đỉnh thuộc các điểm đã cho, chứng minh tồn tại một tam giác có 3 đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu

2 Giả sử n ,n Xét các số tự nhiên dạng 2 a n 11 1được viết bởi n chữ số

1 Chứng minh rằng nếu a nlà một số nguyên tố thì n là ước của a n 1

Trang 42

Câu 4

1)

a) Xét tam giác BDK,ta có: DH BK BC, DK BC, cắt DH tại E Suy ra E là

trực tâm tam giác BDK.Để chứng minh , ,M E Kthẳng hàng ta chỉ cần chứng minh MK BD

Tứ giác ABHDcó BADBHD900nên nội tiếp suy ra BHABDA45 0

Tứ giác DMHK có MDK BHM 450nên nội tiếp

Lại có, DHK 900(gt) nên DMK DHK 900(cùng chắn cung DK) Ta có điều phải

chứng minh

b) Tứ giác CEHK nội tiếp ( ECK EHK 90 )0 ECH EKH (1)

Tứ giác CKBM nội tiếp suy ra EKH BCM ECM (2)

Từ (1) , (2) suy ra ECH ECM.Do đó, EC là đường phân giác của MCH.Chứng

minh tương tự, ta cũng có ME là đường phân giác của CMH

Vì E là giao điểm hai đường phân giác trong góc M và C của tam giác CHM nên ta

có điều phải chứng minh

M

K

H

C D

E

Trang 43

2)

Gọi N là giao điểm của RB và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có ARN AQR1800nên N nằm trên đường tròn  w ngoại tiếp tam giác AQR.Đường tròn  w ' ngoại tiếp tam giác BCN cắt  w tại điểm thứ hai G

Từ RBG QCGGP là phân giác BGC

180 2 180

BNC RNQ  BAC BOC nên O nằm trên  w '

Mà OB OC nên GO là phân giác BGCvà do đó , ,G P Othẳng hàng Ta cũng có

Trang 44

Gọi 'M là giao điểm thứ hai của GO với  w

Ta có: AM G'  ANGONGOPCMPCAM'/ /BCM'M

Do đó , ,G P Ovà M thẳng hàng Vậy MP luôn đi qua O cố định

Câu 5

1) Vì có 21 điểm được tô bởi 4 màu mà 21 4.5 1  nên theo nguyên lý Dirichle sẽ

tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu

Gọi 6 điểm cùng màu đó là , , , , , A B C D E F Từ điểm A ta kẻ với 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng, 5 đoạn này được tô 2 màu thì sẽ có ít nhất 3 đoạn được tô cùng màu Không mất tính tổng quát , giả sử các đoạn AB, AC, AD được tô cùng màu tím

Trong các đoạn nối ba điểm , ,B C Dnếu có một đoạn màu tím, giả sử là BD thì tam

giác ABDlà tam giác cần tìm Nếu trong các đoạn nối ba điểm B, C, D không có đoạn

nào màu tím thì tam giác BCDlà tam giác cần tìm

2 Trước hết ta chứng minh : nếu a nlà số nguyên tố thì n là số nguyên tố

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10 10n (2)

n



Nếu n thì 3 a n 111 3không thỏa mãn giả thiết

Nếu n ta có 3 n,9 1 nên t ừ (1) và (2) suy ra : 10 10 9 n

n

 Vậy n là ước của a n 1

Định dạng
Số trang	407
Dung lượng	6,72 MB