Đề+Đáp án thi hsg toán 9 lào cai 2022 2023

SỞ GD VÀ ĐT LÀO CAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2022 2023 Khóa ngày 15/03/2023 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4 0 điểm) a) Cho Rút g[.]

SỞ GD VÀ ĐT LÀO CAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Khóa ngày: 15/03/2023

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1 (4.0 điểm)

( 0, 1) 1

b) Tính giá trị của biểu thức

 

Q



3 1 2

x 

Bài 2 (2.0 điểm)

Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông con kích thước 1x1 Đặt ngẫu nhiên một quân Tốt vào ô vuông có kích thước 1x1 trên bàn cờ Tính xác suất để ô vuông con có kích thước 1x1 mà con tốt được đặt không có tâm nằm trên đường chéo của bàn cờ và cũng không có cạnh nào nằm trên cạnh của bàn cờ(hình vuông kích thước 8x8)

Bài 3 (4.0 điểm)

a) Lúc 6 giờ 30 phút sang, anh Hùng điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến

thành phố B Khi đi được

3

4 quãng đường, xe bị hỏng nên anh Hùng dừng lại để sửa chữa Sau 30 phút sửa xe, anh Hùng tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10km/h Lúc 10 giờ 24 phút sang cùng ngày, anh Hùng đến thành phố B Biết rằng quãng

đường từ thành phố A đến thành phố B là 160km và vận tốc của xe trên

3

4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe trên

1

4 quãng đường sau không đổi Hỏi anh Hùng dừng sửa xe lúc mấy giờ?

b) Cho phương trình x2 mx 2 0 (1) (m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 x22  24 x22  mx1

Bài 4 (6.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại E Từ E kẻ tiếp tuyến thứ hai tới đường tròn (O) tại D(DA);

AD cắt EO tại Q; M là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng: năm điểm A, E, D, M, O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác BQOC nội tiếp một đường tròn

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B, tiếp tuyến C của (O) và đường thẳng AD đồng quy tại một điểm

c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC(H BC ); AD cắt BC tại K Chứng minh

2

KB AB HAK MAO va

KC AC

Bài 5 (2.0 điểm)

a) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh rằng:    

2

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kện a + b + c =1 Chứng minh

1

a b b c c a 

Bài 6 (2.0 điểm)

a) Chứng minh biểu thức S n n 3 22n1  n3 5n1 2n1 15  n Z

b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 x y4y3y2

……HẾT…

ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

( 0, 1) 1

Điều kiện: x0,x1

         

1

2 2

2

P

x x x x x x x x x x

x x x

x x x x

     



 

 

 

1

x x



b) Tính giá trị của biểu thức

 

Q



3 1 2

x 

Vì

3 1

2

x   x   x  x   x  x 

Nên

3 1

2

x 

là nghiệm của đa thức2x22x1

Q

  

Do

3 1

2

x 

là nghiệm của đa thức2x22x1

Nên Q = 2023

Bài 2:

Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 gồm 64 ô vuông con kích thước 1x1 Đặt ngẫu nhiên một quân Tốt vào ô vuông có kích thước 1x1 trên bàn cờ Tính xác suất để ô vuông con có kích thước 1x1 mà con tốt được đặt không có tâm nằm trên đường chéo của bàn cờ và cũng không có cạnh nào nằm trên cạnh của bàn cờ(hình vuông kích thước 8x8)

Giải:

  64

n  

Gọi A là biến cố “ô vuông con kích thước 1x1 1x1 mà con tốt được đặt không có tâm nằm trên đường chéo của bàn cờ và cũng không có cạnh nào nằm trên cạnh của bàn cờ

Vẽ hình như sau: các ô thỏa mãn là mầu trắng

  24

n A 

Xác suất của biến cố A là :

   

 

24 3

64 8

n A

P A

n A

Bài 3:

a) Lúc 6 giờ 30 phút sang, anh Hùng điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến thành

phố B Khi đi được

3

4 quãng đường, xe bị hỏng nên anh Hùng dừng lại để sửa chữa Sau 30 phút sửa

xe, anh Hùng tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10km/h Lúc 10 giờ 24 phút sang cùng ngày, anh Hùng đến thành phố B Biết rằng quãng đường

từ thành phố A đến thành phố B là 160km và vận tốc của xe trên

3

4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe trên

1

4 quãng đường sau không đổi Hỏi anh Hùng dừng sửa xe lúc mấy giờ?

b) Cho phương trình x2 mx 2 0 (1) (m là tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 x22  24 x22  mx1

Giải:

a) Gọi vận tốc xe ban đầu là x(km/h) (x>10)

vận tốc sau khi sửa chữa xe là: x – 10 (km/h)

Quãng đường từ A đến đoạn đường xe bị hỏng là:

3

Quãng đường còn lại là: 160 – 120 = 40(km)

Thời gian đi từ A đến đoạn đường xe bị hỏng là:

120 ( )h

x , thời gian đi lúc đã sửa xe đến B là:

Vì lúc đi từ A là 6 giờ 30 phút sáng và đến B là 10 giờ 24 phút nên tổng thời gian đi từ A đến B(kể cả thời gian sửa xe là 3 giờ 54 phút = 3,9(h))

Vậy ta có phương trình:

2

10

120 40

3, 4 10

120 10 40 3, 4 10

3, 4 194 1200 0(1)

97 3, 4.1200 5329 73 0

x x





Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 50(thỏa đk); x2 = 120/17 < 10(loại)

Suy ra vận tốc của xe đi từ A đến lúc bị hỏng xe là 50km/h

Thời gian anh Hùng đi từ A đến lúc bị hỏng xe là 120/50 = 2,4(h)

Vậu anh Hùng dừng xe để sửa lúc: 6,5 + 2,4 = 8,9(h) = 8 giờ 45 phút

b) Pt x2 mx 2 0 có a.c = 1.(-2) < 0 nên pt luôn có hai nghiệm trái dấu

Từ x12 mx1  2 0   mx1 x12 2 thay vào x12 x22  24 x22 mx1

, ta được:

   

2 2

2

2

2

6( )

7(

t n

t



       



2

)

l







Bài 4:

Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại E Từ E kẻ tiếp tuyến thứ hai tới đường tròn (O) tại D(DA);

AD cắt EO tại Q; M là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng: năm điểm A, E, D, M, O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác BQOC nội tiếp một đường tròn

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B, tiếp tuyến C của (O) và đường thẳng AD đồng quy tại một điểm c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC(HBC); AD cắt BC tại K Chứng minh

2

KB AB HAK MAO va

KC AC

F

H Q

D

M E

O

C B

A

a) Ta có EAO EDO 900900 1800 => bốn điểm A, E, D, O cùng thuộc một đường tròn

Ta có EDO EMO 900 => bốn điểm E, D, M, O cùng thuộc một đường tròn

Vậy năm điểm A, E, D, O, E, D, M, O cùng thuộc một đường tròn

Xét tam giác vuông EAO ta có EQ EO EA.  2 (1)

Mặt khác do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ta có EB EC. EA2 (2)

Từ (1) và (2) ta có . .

EQ EO EB EC

Ta có tam giác EBQ đồng dạng với tam giác EOC(vì 

EQ EC

EB EO

E chung











EQB BCO

  Vậy tứ giác BQOC nội tiếp một đường tròn

b) Gọi F là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C

ta có AD vuông góc với EQ tại Q(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)(3)

Ta có FBO OCF 900900 1800=> bốn điểm B, Q, O, C cùng thuộc một đường tròn

Do tứ giác BQOC nội tiếp một đường tròn(phần a) suy ra bốn điểm B, Q, O, C cùng thuộc một đường tròn Vậy 5 điểm B, Q, C, O, F cùng thuộc một đường tròn đường kính OF

Suy ra FQO  900hay EOQF (4)

Từ (3) và (4) suy ra AD đi qua điểm F tức là tiếp tuyến tại B, tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) và đường thẳng AD đồng quy tại một điểm

c) ta có HAK DFM slt ( ) (5)

tứ giác AOMD nội tiếp đường tròn (chứng minh tương tự như phần a)

suy ra MAO MDO cung chan OM (  ) (6)

xét tam giác vuông OBF ta có



.OF=OB OF=OD

(7) (5), (6), (7)

(8)

(9)

(8), (9)

(10)

OM OD

OD OF

OM OD OMD ODF DOM chung va

OD OF nen ODM DFM

BD FB FBD FAB

AB FA

CD FC FDC FAC

AC FA

Tu

BA CA CD CA

KB BA KBA KDC

KD DC KBD KAC



   

   

   

  











2

(11)

KD BD

KC AC

KD KD BA BD AB BD AB

tu va

KC KC DC AC CA DC AC



 

  Bài 5:

a) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh rằng:    

2

a b c   ab bc ac  b) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn điều kện a + b + c =1 Chứng minh

1

a b b c c a 

Giải:

a) Ta có:

 

2

2

3

" "

b) ta có

3

18

a

 



Ta có

2 6 9

3

VT a b c ab bc ac a b c

ma a b c ab bc ac ab bc ac a b c

          

Vậy:

1

a b b c c a 

Dấu “=” xảy ra

1 3

a b c

Bài 6:

a) Chứng minh biểu thức S n n 3 22n1  n3 5n1 2n1 15  n Z

b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 x y4y3y2

Giải:

a)

   

   

       

1 1 3 3 (1)

Từ (1) và (2) suy ra S n n 3 22n1  n3 5n1 2n1 15  n Z

2

x  x y y y  x  x y  y  y  x  y  y  y 

ta có các đánh giá sau

2

2

Cách đánh giá theo hiệu trên cho ta

2

2

2

0

2

0

1 3

4

y

y

x

x x

x



















Vậy phương trình có tất cả bốn nghiệm nguyên (x; y) là: (0; 0); (3; -2); (-1; 0); (-4; -2)

……… HẾT………