Ôn tập Toán lớp 12

Bµi lµm: Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Lấy hai điểm AxA; yxA & BxB; yxB thuộc đồ thị hàm số... hµm sè ch½n..[r]

Phần khoảng cách:

Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0) đến đường thẳng ():

Nếu () // 0x  có phương trình dạng y = a  khoảng cách từ M đến () là d = y0 a

Nếu () // 0y  có phương trình dạng x = b  khoảng cách từ M đến () là d = x0 a

Nếu () có phương trình: ax + by + c = 0 thì khoảng cách từ M đến () là:

d =

2 2 0 0

b a

c by ax







bài tập:

1) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ điểm đó

1

2 2 2









x

x x y

đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung

2) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ M đến giao

1

2 2 2









x

x x y

điểm của hai đường tiệm cận nhỏ nhất

3) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao cho

1

1







x x y

AB ngắn nhất

4) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số: sao cho khoảng cách từ điểm đó đến

2

5 4 2









x

x x y

đường thẳng: 3x + y + 6 = 0 nhỏ nhất

5) Tìm trên đồ thị hàm số: những điểm cách đều hai trục toạ độ

2

2







x

x y

6) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao

2

5 2









x

x x y

cho AB ngắn nhất

7) Tìm trên đồ thị hàm số: những điểm cách đều hai trục toạ độ

1

1 2









x

x x y

8) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số: sao

1

3 3 2









x

x x y

cho AB ngắn nhất

9) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2)

1

2







x

x y

10) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: có tổng khoảng cách đến hai

1

1 2









x

x x y

đường tiệm cận là nhỏ nhất

11) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số: có tổng khoảng cách đến hai đường

3

1 2







x

x y

tiệm cận là nhỏ nhất

Tâm đối xứng - trục đối xứng:

đn tâm đối xứng: Điểm A(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y f (x)  với phép

biến đổi trục toạ độ:

hàm số Y = F(X+a) - b là hàm số lẻ















b Y

y

a X

x

Bài toán i: Chứng minh rằng đồ thi ham số: y f (x) nhận A(a; b) làm tâm đối xứng

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)















b Y y

a X x

Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng thì hàm số (1) phải là hàm số lẻ Bước 3: KL

Bài toán ii: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số: y  f (x) nhận điểm A(a; b) làm tâm

đối xứng

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)















b Y y

a X x

Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng thì hàm số (1) phải là hàm số lẻ,

 tham số

Bước 3: KL

Bài tập:

1) Tìm m để đồ thị hàm số: nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối

2

1 2 ) 4 (

2 2













x

m x m x y

xứng

2) Tìm m để đồ thị hàm số: yx3 3mx2 2mx1 nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng

Bài toán iii: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số: y f (x) đối xứng với nhau qua điểm

I(a; b)

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hai điểm A(xA; y(xA)) & B(xB; y(xB)) thuộc đồ thị hàm số

Bước 2: Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua điểm I(a; b)  ta suy ra















b y y

a x x

B A

B A

2 2

toạ độ điểm A & B

Bài tập:

1) Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau

1

2









x

m x m x y

qua gốc toạ độ

2) Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua

2

5 4 2









x

m mx x

y

gốc toạ độ

3) Xác định m để đồ thị hàm số: có hai điểm đối xứng với nhau qua

1

2 2









x

m mx x y

gốc toạ độ

4) Xác định m để đồ thị hàm số: y x3 mx2 9x4 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

5) Xác định m để đồ thị hàm số: y x3 3mx2 3(m2 1)x1m2 có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

đn trục đối xứng: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị hàm số: số y f (x)

 với phép biến đổi trục toạ độ:

hàm số Y = F(X+a) là hàm số chẵn













Y

y

a X

x

Bài toán i: Chứng minh rằng đồ thi ham số: y f (x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối

xứng

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)













Y y

a X x

Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng thì hàm số (1) phải là

hàm số chẵn.

Bước 3: KL

VD:

1) CMR đồ thị hàm số: y = x4 - 4x3 + 9x2 - 10x + 7 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng

2) CMR đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + 5x2 + 2x +9 có trục đối xứng

3) CMR đồ thị hàm số: y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x -1 có trục đối xứng

Bài toán ii: Tìm tham số để đồ thi ham số: y  f (x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối

xứng

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi tạo độ: hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)













Y y

a X x

Bước 2: Để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng thì hàm số (1) phải là hàm số chẵn

Bước 3: KL

BàI tập:

1) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2x2 - 12mx có trục đối xứng // 0y 2) Định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2(m - 1)x2 - 2mx + 1 có trục đối xứng // 0y 3) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng // 0y

Bài toán iii: Chứng minh rằng đồ thi ham số: y f (x) nhận đường thẳng (d) y = ax + b làm

trục đối xứng

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi (d0)  (d)  phương trình đường thẳng (d0): x m

a

y1 

Bước 2: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A & B Khi đó hoành độ của A & B là nghiệm phương trình: f (x) x m Sử dụng viét:

1





B A

B A

x x

x x

Bước 3: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:























m x a y

x x x

I I

B A I

1 2

Thay toạ độ I vào phương trình (d)  nhận xét I  (d)

Bước 4: KL

BàI tập:

1) CMR đồ thị hàm số: nhận đường thẳng y = x + 2 làm trục đối xứng

1

1







x

x y

2) CMR đồ thị hàm số: nhận đường thẳng y = x + 1 và y = - x + 3 làm trục

1

1 2







x

x y

đối xứng

Bài toán iv:Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y f (x) đối xứng với nhau qua đường

thẳng (d) có phương trình: y = ax + b

Bài làm:

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số: y f (x)

Bước 2: Gọi (d0)  (d)  phương trình đường thẳng (d0): x m

a

y1 

Bước 3: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A & B Khi đó hoành độ của A & B là nghiệm phương trình: f (x) x m (1)

1

Để tồn tại A & B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D  tham số

Sử dụng viét ta được:





B A

B A

x x

x x

Bước 4: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:























m x a y

x x x

I I

B A I

1 2

- Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)  I  (d)  m

- Thay m vào (1) ta có được hoành độ A & B

- Khi đó suy ra điểm A & B cần tìm

Bước 5: KL

BàI tập:

1) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua đường

1

2





x

x y

thẳng (d) có phương trình: y = x - 1

2) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua đường

1

2





x

x y

thẳng (d) có phương trình: y = x + 1

3) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua

2

1 2









x

x x y

đường thẳng (d) có phương trình: y = x + 1

4) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: và đối xứng với nhau qua

2 2

4 3 2









x

x x y

đường thẳng (d) có phương trình: y = x

5) Tìm m để đồ thị hàm số: y =2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có hai điểm cực trị

đối xứng với nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2

Sự tương giao của các đồ thị hàm số:

I - Sự tương giao của hai đồ thị hàm số: y f (x) và y g (x)

Bài làm:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: TXD: D = D f D g

Bước 2: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: f(x)g(x) (*) Bước 3: Biện luận số nghiệ phương trình (*)

Bước 4: Kết luận