Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó.. Nếu một số hạng bị giảm[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG VIOLYMPIC TOÁN LỚP 4
CHUYÊN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ KỸ THUẬT TÍNH
VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC THÀNH PHẦN CỦA PHÉP TÍNH
A – LÝ THUYẾT
I PHÉP CỘNG
1 a + b = b + a
2 (a + b) + c = a + (b + c)
3 0 + a = a + 0 = a
4 (a - n) + (b + n) = a + b
5 (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6 (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
7 Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó
8 Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 - ) số hạng bị giảm đi đó
9 Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ
10 Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn
11 Tổng của các số chẵn là một số chẵn
12 Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ
13 Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ
II PHÉP TRỪ
1 a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2 Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi
3 Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ (n > 1)
Trang 24 Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần
số trừ (n > 1)
5 Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị
6 Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị
III.PHÉP NHÂN
1 a x b = b x a
2 a x (b x c) = (a x b) x c
3 a x 0 = 0 x a = 0
4 a x 1 = 1 x a = a
5 a x (b + c) = a x b + a x c
6 a x (b - c) = a x b - a x c
7 Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác
bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi
8 Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi
n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần (n > 0)
9 Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần
Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần (m và n khác 0)10
10 Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại
11 Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn
12 Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0
Trang 313 Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5
IV PHÉP CHIA
1 a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2 0 : a = 0 (a > 0)
3 a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4 a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5 Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần
6 Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại
7 Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi
8 Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần
B – BÀI TẬP
Dạng 1 Vận dụng mối quan hệ để tìm thành phần của phép tính
Bài 1 a) Hai số có hiệu là 4275 Nếu thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị và bớt ở số trừ
2148 đơn vị thì được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
b) Hai số có hiệu là 5729 Nếu thêm vào số trừ 2418 đơn vị và bớt ở số bị trừ 1926 đơn vị thì được hiệu mới bằng bao nhiêu ?
Giải:
a) Ở đây bài toán có 2 sự thay đổi về thành phần phép toán Ta khai thác lần lượt từng sự thay đổi để tránh nhầm lẫn
Lần 1: Thêm vào số bị trừ 1027 đơn vị > Hiệu tăng 1027 đơn vị
Lần 2: Bớt đi số trừ 2148 đơn vị > Hiệu tăng tiếp 2148 đơn vị
Trang 4Như vậy, sau 2 lần thay đổi thì hiệu cũng có 2 lần tăng
Hiệu mới là: 4275 + 1027 + 2148 = 7450
b) Tương tự như ở câu a, ta thấy
Lần 1: Bớt số trừ 2148 đơn vị > Hiệu tăng 2148 đơn vị
Lần 2: Bớt số bị trừ 1926 đơn vị > Hiệu giảm 1926 đơn vị
Hiệu mới là: 5729 + 2148 - 1926 = 5951
Bài 2 a) Tìm hai số biết số lớn gấp 8 lần số bé và số bé gấp 6 lần thương
b)Tìm hai số biết số thương bằng 1/7 số lớn và số lớn gấp 6 lần số bé
Giải:
a) Ta cần phân tích được, ở đây Số lớn và số bé có vai trò là Số bị chia và số chia Như vậy: Số lớn : Số bé = 8 ( vì gấp 8 lần)
Suy ra Thương = 8 Từ đó tính được Số bé = 6 x 8 = 48
Số lớn bằng = 48 x 8 = 364
b) Thương bằng 1/7 số lớn, tức là số lớn gấp 7 lần thương
Vì Số lớn = Số bé x Thương nên Số bé = 7
Số lớn = 7 x 6 = 42
Bài 3 a) Trong một phép chia có số chia bằng 46, thương bằng 12 và số dư là số
lớn nhất có thể có Tìm số bị chia
b)Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 15 thì được thương là 20 và số dư là
số dư lớn nhất
Giải:
Trong phép chia, số dư luôn nhỏ hơn số chia Vì vậy số dư lớn nhất thì kém số chia
1 đơn vị a) Số dư lớn nhất = Số chia - 1 = 46 - 1 = 45
Số bị chia = Thương x Số chia + Số dư = 12 x 46 + 45 = 597
b) Số dư lớn nhất = 15 - 1 = 14
Trang 5Số bị chia = 20 x 15 + 14 = 314
Bài 4 a) Một phép chia có số chia bằng 47, số dư bằng 14 Hỏi phải bớt đi ở số bị chia
ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết Khi đó thương thay đổi thế nào?
b) Một phép chia có số chia bằng 24, số dư bằng 11 Hỏi phải thêm vào số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết Khi đó thương thay đổi thế nào?
Giải:
a) Phép chia hết tức là không còn tồn tại số dư Như vậy muốn giảm số bị chia để phép chia ban đầu thành phép chia hết thì ta phải bỏ đi số dư, tức là số bị chia sẽ bị giảm đi 1 lượng đúng bằng số dư
Số bị chia = 47 x Thương + 14
Số bị chia - 14 = 47 x Thương
Lúc này, thương vẫn không đổi
b) Muốn thêm vào số bị chia để thành phép chia hết, thì ta cần thêm 1 lượng đúng bằng hiệu giữa số chia và số dư, tức là cần thêm 24 - 11 = 13 đơn vị
Số bị chia = 24 x Thương + 11
Số bị chia + 13 = 24 x Thương + 24 = 24 x (Thương +1)
Lúc này, thương tăng 1 đơn vị
Bài 5 Một phép chia có số chia bằng 8, số dư bằng 3 Hỏi phải thêm vào số bị chia
ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương tăng thêm 4 đơn vị
Giải:
Như bài số 4, để thành phép chia hết thì trước tiên ta cần thêm vào số bị chia 8 -3 =
5 ( đơn vị)
Lúc này thương tăng 1 đơn vị Để thương tăng 4 đơn vị thì ta cần tăng thêm 3 đơn
vị nữa
Mặt khác, số bị chia = Thương x Số chia, ở đây Thương và Số chia cũng có thể coi
là các thừa số trong phép nhân Ta đã biết trong 1 tích, nếu thừa số thứ nhất tăng 3 đơn vị thì tích sẽ tăng thêm 3 lần thừa số thứ hai
Trang 6Vậy để thương tăng thêm 3 đơn vị nữa thì ta cần tăng số bị chia thêm 3 x 8 = 24 (đơn vị )
Tổng cộng cần thêm: 5 + 24 = 29 ( đơn vị )
Bài 6 Một phép chia có số bị chia bằng 79, thương bằng 9, số dư là số dư lớn nhất
có thể có Tìm số chia
Giải:
Cách 1: Như các bài tập trên ta đã biết, số dư lớn nhất kém số chia 1 đơn vị, như
vậy nếu ta thêm vào số bị chia 1 đơn vị thì sẽ thành phép chia hết và thương tăng 1 đơn vị, còn số chia không đổi
Số bị chia mới là: 79 + 1 = 80
Thương mới là: 9 + 1 =10
Số chia là: 80 :10 = 8
Cách 2: Đưa về bài toán tìm X
Gọi số chia là x thì số dư la X -1 Ta có
9 x X + (X-1)=79
9 x X + X - 1= 79
X x ( 9+1) -1 = 79
X x 10 = 80
X = 80 : 10
X = 8
* Bài tập tự luyện
Bài 1 - Cho một phép trừ Nếu thêm vào số bị trừ 3107đơn vị và bớt ở số trừ 1738
đơn vị thì được hiệu mới là 7248 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
- Cho một phép trừ Nếu thêm vào số trừ 1427 đơn vị và bớt ở số bị trừ 2536 đơn vị thì được hiệu mới là 9032 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
Trang 7Bài 2 Khi thực hiện phép trừ 2 số, một bạn đã sơ ý viết sai như sau: Ở số trừ có hai
chữ số cuối cùng là 49 đã viết thành 94 nên phép trừ sai có kết quả là 1935 Tìm hiệu ban đầu của phép trừ
Bài 3 Tìm số bị chia của một phép chia biết thương gấp 24 lần số chia và có số dư
lớn nhất là 78
Bài 4 a) Tìm hai số biết thương bằng 1/6 số lớn và gấp 10 số bé
b) Tìm hai số biết số bé bằng 1/7 thương và thương bằng 1/5 số lớn
Bài 5 a) Một số tự nhiên chia cho 45 được thương là 36 và dư 25 Nếu lấy số đó
chia cho 27 thì được thương bằng bao nhiêu? số dư bằng bao nhiêu?
b) Một số tự nhiên chia cho 38 được thương là 75 và số dư là số dư lớn nhất Nếu lấy số đó chia cho 46 thì được thương bằng bao nhiêu? số dư bằng bao nhiêu?
Bài 6 Tìm số bị chia và số chia bé nhất để có thương bằng 125 và số dư bằng 47 Bài 7 Một phép chia có số chia bằng 17, số dư bằng 4 Hỏi phải thêm vào số bị
chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương tăng thêm 5 đơn
vị
- Một phép chia có số chia bằng 19, số dư bằng 11 Hỏi phải bớt ở số bị chia ít nhất bao nhiêu đơn vị để được phép chia hết và có thương giảm đi 4 đơn vị
Bài 8 a) Một phép chia có số bị chia bằng 95, thương bằng 7, số dư là số dư lớn
nhất có thể có Tìm số chia
b) Một phép chia có số bị chia bằng 97 , thương bằng 9, số dư kém số chia 3 đơn vị Tìm số chia
Dạng 2 Vận dụng kĩ thuật tính để giải toán
Bài 1 Tổng của hai số là 102 Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số
hạng thứ hai thì được tổng mới là 132 Tìm hai số đó
Phân tích: Giả sử 2 số đó là A và B, theo đề bài thì:
A + B = 102
A x 4 + B = 132
Trang 8So sánh 2 kết quả trên ta thấy giống nhau ở số hạng B, và sự chênh lệch nằm ở A và
A x 4, tức là tổng mới hơn tổng cũ là A x 4 - A = A x 3
Từ đó ta có lời giải sau:
Nếu gấp số hạng thứ nhất lên 4 lần và giữ nguyên số hạng thứ hai thì tổng ban đầu
sẽ tăng thêm 3 lần số thứ nhất
3 lần số thứ nhất là: 132 - 102 = 30
Số thứ nhất là: 30 : 3 = 10
Số thứ hai là: 102 - 10 = 92
Chú ý: Như vậy ở dạng bài này, chúng ta cần minh họa được các phép tính có trong
đề bài, từ phép tính ban đầu cho đến phép tính mới, xem giữa 2 phép tính đó có sự thay đổi của thành phần nào và thay đổi như thế nào (tăng thêm hay bớt đi, bao nhiêu đơn vị hay bao nhiêu lần ) để từ đó tìm ra lời giải
Bài 2 a) Hiệu của hai số là 1285 Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là
5195 Tìm hai số đó
b) Hiệu của hai số là 2387 Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được hiệu mới là 1163 Tìm hai số đó
Giải:
a) Nếu gấp số bị trừ lên 3 lần thì hiệu sẽ tăng thêm 2 lần số bị trừ (cách phân tích đề bài giống như bài 1)
2 lần số bị trừ là: 5195 - 1285 = 3910
Số bị trừ là: 3910 : 2 = 1955
Số trừ là: 1955 - 1285 = 670
b) Tương tự câu a, lưu ý rằng, nếu số trừ tăng lên thì hiệu sẽ giảm
Bài 3 Tìm 2 số có tích bằng 120, biết nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa
số thứ hai 5 đơn vị thì được tích mới bằng 170
Giải:
Trang 9Ta đã biết, trong 1 tích, nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và thêm thừa số thứ hai 5 đơn vị thì tích sẽ tăng thêm 5 lần thừa số thứ nhất
5 lần thừa số thứ nhất là: 170 - 120 = 50
Thừa số thứ nhất là: 50 : 5 = 10
Thừa số thứ hai là: 120 : 10 = 12
Bài 4 Tổng của hai số là 192 Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất và
giữ nguyên số thứ hai ta được tổng mới bằng 383.Tìm 2 số đó
Giải:
Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên phải số thứ nhất thì số thứ nhất tăng thêm 10 lần và
2 đơn vị Như vậy, tổng mới sẽ tăng thêm 9 lần số thứ nhất và 2 đơn vị
9 lần số thứ nhất là: 383 - 192 - 2 = 189
Số thứ nhất là : 189 : 9 = 21
Số thứ hai là: 192 - 21 = 171
Chú ý: Ở dạng bài này, cần nắm được 1 số vấn đề như sau:
- Viết thêm (hay xóa đi) chữ số 0 vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên (hay giảm đi )
10 lần
- Viết thêm chữ số a vào bên phải 1 số thì số đó gấp lên 10 lần và a đơn vị
- Nếu xóa bỏ chữ số a ở bên phải 1 số thì số đó giảm đi a đơn vị, sau đó giảm đi 10 lần ( Ví dụ 152, bỏ đi chữ số 2 thì còn 15, tức là (152 -2) : 10 = 15)
Bài 5 Tổng của hai số là 60 Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên
10 lần thì được tổng mới là 565 Tìm hai số đó
Phân tích:
Ta minh họa
A + B = 60
A x 5 + B x 10 = 565
Trang 10Rõ ràng từ 2 phép tính này chúng ta chưa thể đưa ngay về lời giải như của các bài trên, do ở đây có sự thay đổi đồng thời cả A và B
Để giải quyết được vấn đề này, ta sẽ đưa thêm 1 phép tính phụ, đó là
(A+B) x 5 = 60 x 5 = 300 hay A x 5 + B x 5 = 300
Phép tính phụ này và phép tính A x 5 + B x 10 = 565 có sự tương đồng về A x 5 và như vậy sự chênh lệch chỉ đến từ B x 5 và B x 10
Lời giải:
Nếu gấp cả 2 số hạng lên 5 lần thì ta được tổng là: 60 x 5 = 300
Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 10 lần thì ta có tổng sẽ hơn tổng trên là 5 lần số hạng thứ hai
5 lần số thứ hai là: 565 - 300 = 265
Số thứ hai là: 265 : 5 = 53
Số thứ nhất là: 60 - 53 = 7
* Bài tập tự luyện:
Bài 1 Hai số có tổng bằng 1990 Gấp số hạng thứ hai lên 7 lần thì tổng mới bằng
2368 Tìm 2 số đó
Bài 2 a) Tích của hai số là 1932 Nếu thêm vào thừa số thứ nhất 8 đơn vị thì được
tích mới là 2604 Tìm hai số đó
b) Tích của hai số là 1692 Nếu bớt ở thừa số thứ hai 17 đơn vị thì được tích mới là
893 Tìm hai số đó
Bài 3 - Tổng của hai số là 270 Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và tăng số thứ hai lên
4 lần thì tổng mới tăng thêm 370 đơn vị Tìm hai số đó
Bài 4 Trong một phép chia, nếu ta lấy số bị chia chia cho 2 lần số chia thì được 6,
nếu lấy số bị chia chia cho 3 lần thương ta cũng được 6 Hãy viết phép chia ban đầu
Bài 5 Tìm 2 số có tổng bằng 165, biết nếu viết thêm 1 chữ số 0 vào bên phải số thứ
nhất và giữ nguyên số thứ hai thì được tổng mới bằng 318
Trang 11Bài 6 Tìm 2 số có hiệu bằng 8 biết nếu viết thêm 1 chữ số 3 vào bên phải số bị trừ
và giữ nguyên số trừ ta được hiệu mới bằng 866
Bài 7 Tìm hai số có tổng bằng 140, biết nếu gấp số thứ nhất lên 3 lần và gấp số thứ
hai lên 5 lần rồi cộng lại ta được tổng mới bằng 516
Bài 8 Một phép chia có số chia bằng 64 và thương bằng 25 Nếu bớt số bị chia 27
đơn vị ta được phép chia hết và thương không đổi Tìm số bị chia
Dạng 3 Bài toán liên quan đến đặt phép tính theo hàng dọc
Bài 1 Khi cộng 7805 với một số có 2 chữ số, do sơ xuất, một học sinh đã đặt phép
tính như sau:
7805
ab
Nên kết quả phép tính đã tăng thêm 567 đơn vị Tìm kết quả đúng của phép tính
Giải:
Khi đặt phép tính sai như trên đồng nghĩa với việc bạn đó đã thực hiện phép tính cộng giữa 7805 và ab0:
7805
ab0
Tức là đã gấp số hạng thứ hai thêm 10 lần Như vậy tổng sẽ tăng thêm 1 lượng đúng bằng 9 lần số hạng thứ hai
Số hạng thứ hai là: 567 : 9 = 63
Kết quả đúng của phép tính là: 7805 + 63 = 7868
Bài 2 Khi trừ một số có 5 chữ số với một số có 2 chữ số, 1 học sinh đã đặt phép
tính như sau:
abcde
ik
+
+
Trang 12
-Và nhận được kết quả là 25061 Biết kết quả đúng bằng 33080 Tìm số bị trừ và số trừ của phép tính đó
Giải:
Khi đặt phép tính sai như trên đồng nghĩa với việc bạn đó đã thực hiện phép tính trừ giữa abcde và ik00:
abcde
ik00
Tức là đã gấp số trừ lên 100 lần Như vậy hiệu sẽ giảm đi 99 lần số trừ
99 lần số trừ là : 33080 – 25061 = 8019
Số trừ là: 8019 : 99 = 81
Số bị trừ là: 33080 + 81 = 33161
Chú ý: Qua 2 bài tập trên, chúng ta có thể tổng kết về phương pháp giải khi gặp bài
toán “Cộng – trừ đặt sai thứ tự hàng dọc” như sau:
- Nhận biết xem các thành phần phép tính bị lệch bao nhiêu hàng so với thứ tự đúng của nó và lệch về phía nào (trái hay phải.)
- Nếu lệch về phía trái 1,2,3… hàng tức là thành phần đó được gấp lên 10, 100, 1000… lần; còn nếu lệch về phía bên phải 1,2,3… hàng tức là thành phần đó bị giảm đi 10, 100, 1000,… lần Sau đó dựa vào kết quả về sự tăng giảm phép để tìm
ra phép tính đúng
Bài 3 Khi cộng một số có 4 chữ số cho một số có 1 chữ số, do đãng trí, một bạn
học sinh đã đặt số hạng thứ hai thẳng với chữ số hàng trăm nên đã được kết quả là
7938 mà lẽ ra kết quả đúng phải là 7344 Tìm 2 số hạng đó
Giải:
Với cách đặt sai như vậy tức là bạn đó đã lùi số thứ hai 2 hàng sang bên trái ( lẽ ra phải thẳng hàng đơn vị của số thứ nhất thì lại đặt thẳng hàng trăm ) Có nghĩa là số thứ hai được gấp lên 100 lần, và tổng sẽ tăng thêm 99 lần số thứ hai
99 lần số thứ hai là: 7938 – 7344 = 594