Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước gi[r]
Trang 1
së GD&®t qu¶ng b×nh kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt
n¨m häc 2012 - 2013
(ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoá ngày 04 - 07 - 2012
Môn : TOÁN (CHUYÊN)
Họ tên : Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
SBD:
Đề thi gồm có 01 trang
Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: 2
x 2x4a0 (x là ẩn số) Giả sử hai nghiệm
1 2
a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng
1
3 (đơn vị diện tích).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 1 2
4
x x
Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: 2
1
Câu 3: (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn: abbcca 2
Chứng minh:
3
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp trong đường tròn (O).
Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C) P là điểm trên cạnh BC sao cho BAM PAC Trên các tia AB, AC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho BE =
CF = BC
a) Chứng minh: ABPAMC và MC.ABMB.ACMA.BC
b) Chứng minh:
BC
c) Xác định vị trí điểm N trên đường tròn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số nguyên a, b, c, d và số nguyên dương p Chứng minh
rằng nếu a b c d, a2 b2 c2 d2 chia hết cho p thì 4 4 4 4
cũng chia hết cho p
HÕT
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013
Khóa ngày 04 - 07 - 2012 Môn: TOÁN (CHUYÊN)
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.
* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.
* Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4 Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm của từng câu.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.
1a
Điều kiện để hai nghiệm x , x1 2 của phương trình là số đo hai cạnh
góc vuông của tam giác là
1 2
1 2
0,25
1
4
0,25
Vì x , x1 2 là số đo hai cạnh góc vuông nên diện tích tam giác là
1 2
x x
0,25
.4a
1
6
0,25
Lưu ý: học sinh không tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm dương mà kết
quả đúng cho 0,5 điểm.
1b
Ta có: 1 2 1 2
4a
0,25
Trang 3Với
1
4
, ta có:
A5
0,25
1 4a
1 4a
4 1
a 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi
1 a 4
0,25
2
2,0điểm
Ta có hệ phương trình
2 2
1
0,25
2
2
0,25
(v« nghiÖm)
0,25
x
2 (tho¶ m·n)
y
x
y
2
0,5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x
2
Trang 4Ta có a b c a b b c c a , a, b, c
3a4 b4 c43(a2 2b b2c2 c2a2),a, ,b c 0,5
và 2 2 2 2 2 2 2
3 a b b c c a abbcca , a, b, c 0,5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
0,25
Hình vẽ
0,25
4a
Ta có: ABP AMC (cùng chắn cung AC)
BAM PAC BAP MAC
Nên: ABPAMC
0,25 0,25
Suy ra:
Mặt khác: BMA BCA ,BAM PAC ABMAPC 0,25
Từ (1) và (2) suy ra: MC.ABMB.ACMA.BC 0,25
4b
Từ kết quả câu a) ta có:
Do đó:
0,25
E
F
A
M
P
Trang 5=
=
BC
0,25
4c
Xét trường hợp N thuộc cung BC không chứa A
- Nếu N khác C theo kết quả câu b) ta có
BC
(3)
- Nếu N trùng C, ta thấy (3) vẫn đúng
Mặt khác
Từ (3) và (4) suy ra NANBNCEF
0,25
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NB.AF=NC.AE hay NBC AEF 0,25
Xét trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N qua
BC, khi đó N' thuộc cung BC không chứa A, N'A < NA, N'B = NB,
N'C = NC Áp dụng trường hợp trên ta có:
NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C EF
Vậy trong mọi trường hợp thì NA + NB + NC có giá trị lớn nhất là
EF, đạt được khi NBC AEF
0,25
5
1,0 điểm
Ta biểu diễn f(x) dưới dạng:
Với : A a b c d chia hết cho p
0,25
Ta có:
0f(a)f(b)f(c)f(d)
0,25
Suy ra:
Vì A, a b c d, a2 b2 c2 d2 chia hết cho p nên
0,25