Hỏi muốn xuất khẩu 10 triệu USD cho sản phẩm I, 20 triệu USD cho sản phẩm II, nhà máy phải chuẩn bị bao nhiêu vốn (tối thiểu) cho từng hạng mục... Giải và biện luận các hệ phương trình[r]
Trang 1BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 1
Tính a)A3-A; b) B At − Bt; c)A(B+C); d)A-BCt
Bài 2
Với A, B, C như trong bài tập 1, tìm ma trận X sao cho
a) B+2X=C; b)AX=B c)A(X+C)=B; d)XB=C
Bài 3
Tìm P(A) nếu P(x)=x3-7x2+13x-5 và
A
−
Bài 4
1)Tính An nếu
c
c
−
2) Tính
2001
3 1
−
Bài 5 Tính các định thức sau:
a b c x a a a
b
z a a a x
−
−
Trang 22 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 2 2 3
1 3 1 1 1 5 1 2 1 2 0 1 3 1 2 ) 1 1 4 1 1 9 ; 1 1 3 4 4 ; 2 1 3 1 ;
1 1 1 5 1 3 0 6 1 3 0 5 1 1 4
1 1 1 1 1 5 2 3 2 1 5 3 5 1 2
c
−
Bài 6 Tính các định thức cấp n sau
n n n
n
n
Bài 7 Tính các định thức sau đây
)
)
n n
n n
a
b
Bài 8 Sử dụng các tính chất của định thức chứng minh rằng
Trang 3Bài 9 Tính hạng của các ma trận sau đây
−
−
−
−
Bài 10 Biện luận theo tham số thực hạng của các ma trận sau
1 7 2 4
1 2 1 4 2
1 17 4 10
2 1 1 1 1 ;
4 3 3 1
1 7 4 11
3 1 2
−
Bài 11 Các ma trận sau có khả đảo không? Tìm ma trận nghịch đảo của nó (nếu có) theo hai phương
pháp
−
−
Bài 12
Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận
3 3 3
1
1
a a
b b b b a c b c a a b c
c c
Trang 40 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
a
c
Bài 13 Tìm ma trận X thỏa mãn
4 0
3 2
) 3 2 4 10 2 7
Bài 14 Tìm các ma trận X và Y sao cho
AX=B, YA=B nếu
Bài 15 Cho
Tìm các ma trận X,Y sao cho
Bài 16 Định R để các ma trận sau khả nghịch
Bài 17 3 cửa hàng bán 3 mặt hàng MG, TV, TL với số lượng bán được của 3 cửa hàng trong tháng 1,
tháng 2 như sau:
Tháng 1:
Trang 5MG TV TL
Tháng 2:
Với giá bán tương ứng là MG: 6 triệu/chiếc, TV 10 triệu/chiếc, TL 9 triệu/chiếc
a Tính tổng số tiền mỗi cửa hàng bán được trong tháng 1
b Tính tổng số sp mỗi loại mà mỗi cửa hàng bán được trong tháng 1 và 2
Bài 18 A muốn mua 3kg đường, 10 kg bột mì, 1 kg muối Cửa hàng ở gần nhà bán các sản phẩm này
với giá bán 1kg lần lượt là 20 ngàn đồng, 10 ngàn đồng, 8 ngàn đồng Trong khi đó các sản phẩm này
có giá bán 1 kg tại chợ lần lượt là 15 ngàn đồng, 8 ngàn đồng, 6 ngàn đồng Nếu chi phí từ nhà đến chợ là là 25 ngàn đồng, hãy cho biết bà A mua hàng ở đâu sẽ tiết kiệm tiền hơn
Bài 19 Một nhà máy X sản xuất 2 loại sản phẩm I và II dành cho xuất khẩu Để xuất khẩu được 1
USD cho sản phẩm I, nhà máy phải chi 0,45 USD cho vật tư; 0,25 USD tiền lương; 0,15 USD chi phí khác Tương tự , để xuất khẩu được 1 USD cho sản phẩm II, nhà máy phải chi 0,4 USD cho vật tư; 0,3 USD cho tiền lương; 0,15 USD cho chi phí khác Hỏi muốn xuất khẩu 10 triệu USD cho sản phẩm I, 20 triệu USD cho sản phẩm II, nhà máy phải chuẩn bị bao nhiêu vốn (tối thiểu) cho từng hạng mục
Trang 6CHƯƠNG 2
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
+
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau
)
3
c
15
Bài 3 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây theo tham số thực m
Bài 4 Giải và biện luận hệ phương trình sau
2
(1 )
(1 )
x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Bài 5 Cho hệ phương trình
Trang 7
a) Tìm m để hệ đã cho là hệ Cramer Tìm nghiệm trong trường hợp đó b) Tìm m để hệ trên vô nghiệm
Bài 6 Cho hệ phương trình
a) Tìm m để hệ trên vô nghiệm
b) Tìm m để hệ trên có vô số nghiệm và tìm nghiệm trong trường hợp đó
Bài 7 Giải các hệ phương trình thuần nhất sau
0
+ + =
Bài 8 Giải hệ
)
c
0
Trang 8Bài 9 Tìm a Rđể các hệ sau có nghiệm không tầm thường, xác định các nghiệm không tầm thường
đó
2
Trang 9CHƯƠNG 3
Bài 1 Trong không gian R3 xét xem u có phải là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3 hay không
) ( 2,1,0); (3, 1,1), (2,0, 2); (1,1,1)
) (2, 4,3); (1, 1,0), (3,3,3); ( 1, 2,0)
Bài 2 Xác định số để u là tổ hợp tuyến của u u u1, 2, 3
) (1, 2, 1); ( 2,1,3), (0,1, 1); (1, , 2)
) (1, 2,3); (0, 1, ), (1,0,1); (3, 1, 2)
Bài 3 Các hệ véc tơ dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong không gian tương ứng
) (2, 3,1);(3, 1,5);(1, 4,3)
) (5, 4,3);(3,3, 2);(8,1,3)
) (4, 5, 2,6);(2, 2,1,3);(6, 3,3,9);(4, 1,5,6)
) (1,0,0,0);(0,1,0,0);(0,0, ,0) ;
Bài 4 Tùy theo xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau trong R3
Bài 5 Tìm một hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của các hệ véc tơ sau :
) (2,1,0); (0, 2,1); (2, 1, 2)
) (1, 1,0); (2, 1, 1); (0,1, 1); (2,0, 2)
) (5, 2, 3,1); (4,1, 2,3); (1,1, 1, 2); (3, 4, 1, 2)
Bài 6 Hệ véc tơ nào là cơ sở của R3 Tìm tọa độ của véc tơ u=(7,14,3) trong cơ sở vừa tìm được
Trang 10
(2,1,3); ( 1,1,0)
) (2,1,3); ( 1,1,0); (1,3,1)
) (2,1,3), ( 1,1,0), (1,1, 1), (0,0, 4)
) (2, 3,1); (4,1,1); (0, 7,1)
) (1,6, 4); (2, 4, 1); ( 1, 2,5)
Bài 7 Trong không gian R3, cho các cơ sở (B) = ( , u u u1 2, )3 ; (B’) = ( , u u u1 2, )3 và véc tơ u Tìm ma trận đổi cơ sở từ cơ sở (B) sang (B’) và tọa độ của u trong từng cơ sở
) (1,1, 1); (1,1,0); ( 2, 2,0)
(1, 1,0); (2, 1,0); (1,1, 1)
(3, 4,5);
) (3, 2,1); (1, 2,1); (2, 2,3)
(1, 1,0); (1,0, 1); (1,1,1)
(1, 3,7);
u
u
=
= −
Bài 8 Trong không gian R3cho
B (m)= ( u1 = ( m − − 7, 10, 12); − u2 = (12, m + 19,24); u3 = − − ( 6, 10, m − 13))
Tìm m để để B (m) là một cơ sở của 3
R Trong trường hợp đó hãy tính tọa độ của u=(m,2m,0) trong cơ
sở B (m)
Bài 9 Trong không gian R3cho hệ véc tơ sau
(B )= ( u1 = (2,1,3); u2 = − ( 1,1,0); u3 = − (1, 1,1))
(B)= ( u1 = (2,1,1); u2 = (2, 1,1); − u3 = (1,2,1))
a) Chứng tỏ (B )và (B’) là cơ cở của R3
b) Cho u/(B)=(3,5,7) Tìm tọa độ của u trong cơ sở (B’) và cơ sở chính tắc
Bài 10 Các tập sau đây, tập nào là không gian con của các không gian tương ứng
Trang 11
3
4
2
3 2 2
3
n n
Bài 11 Tìm một cơ sở, số chiều của không gian con sinh bởi các véc tơ sau trong không gian tương ứng
) (1, 1,2); (2,1,3); ( 1,5,0)
a u = − u = u = − trong R3
1 ) (2, 4,1); (3,6, 2); ( 1, 2, )
2
b u = u = − u = − − trong R3
) (1,0,1, 2); (1,1,3, 2); (2,1,5, 1); (1, 1,1,4)
) (1,0,0, 1); (2,1,1,0); (1,1,1,1); (1,2,3,4); (0,1,2,3)
Bài 12 Trong R5cho hệ véc tơ
1 (1,1, 2,1,4); 2 (0,1, 1,2,3); 3 (1, 1,0, 3,0)
a)Tìm cơ sở và số chiều của u u u1, 2, 3
b) Chou = (1, ,1, m m − − 3, 5) Tìm m để u u u u1, 2, 3
Bài 13 Trong R3cho
1 (2, 2,3), 2 (0,2, 3)
a) v=(1,-4,6) có biểu thị tuyến tính được qua v1,v2 không
b) Tìm a sao cho v = − ( 2,3, ) a v v1, 2
Bài 14 Trong R4 cho v1= (2,-1,0,1), v2=(1,1,3,2), v3=(3,-1,1,2), v4=(1,-1,-1,0) Chứng minh rằng
<v1,v2>=<v3,v4>
Bài 15 Trong R4xét các véc tơ
1 (1,2,2,1), 2 (1,1,3,5), 3 (0, 1,1,4)
v = v = v = − Tìm số chiều và cơ sở của không gian con
1, ,2 3
V = v v v
Bài 16 Trong R4cho các véc tơ
Trang 121 (1,1,2,4), 2 (2, 1, 5,2), 3 (1, 1,4,0), 4 (2,1,1,6).
v = v = − − v = − v = Chứng tỏ các véc tơ trên phụ thuộc tuyến tính Tìm một cơ sở của không gian véc tơ véc tơ con của R4 sinh bởi các véc tơ này
Bài 17 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình
1 3 5
0
0
0
0
Bài 18 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con các nghiệm của hệ phương trình
W= (x ,x x, )R |x −x +2x =0 Chứng minh W là không gian con của R3 Tìm một cơ sở và số chiều của W
Bài 20 Cho hệ phương trình
a) Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình khi m=11
b) Biện luận số chiều của không gian nghiệm theo m
Bài 21 Cho hệ phương trình
a Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ khi m=0
b Tìm m để không gian nghiệm có số chiều bằng 1
c Tìm một cơ sở của không gian nghiệm khi m khác 0
Trang 13CHƯƠNG 4
Bài 1 Xét thị trường có 3 loại hàng hóa Hàm cung và hàm cầu của 3 loại hang trên là
Tìm điểm cân bằng thị trường
Bài 2 Cho một thị trường gồm ba loại hàng hóa Biết hàm cung và hàm cầu là
15 8
s s s d d d
a) Hãy tìm điểm cân bằng thị trường
b) Xác định lượng cung và cầu cân bằng của mỗi loại hàng hóa
Bài 3 Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi
12 0,3
800
o
I = ; G o =55
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng
Bài 4 Cho
0 75 ; 0 8160 ; 50 25
40 0,5 ; 28 400
a) Lập phương trình IS
b) Lập phương trình LM
c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ
Bài 5 Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Biết ma trận hệ số kĩ thuật
Trang 140,3 0,1 0,1
0,1 0, 2 0,3
0, 2 0,3 0, 2
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a =23 0,3
b) Biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 70,100,30 Hãy xác định mức tổng cầu của mỗi ngành
Bài 6 Giả sử một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 có mối quan hệ trao đổi
hàng hóa như sau(đơn vị: triệu đô la)
Ngành cung ứng
sản phẩm (Output)
Ngành sử dụng sản phẩm (Input) Cầu cuối cùng
a) Xác định tổng cầu, tổng chi phí của mỗi ngành
b) Lập ma trận hệ số kĩ thuật
Bài 7 Trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Biết ma trận hệ số kĩ thuật
0,1 0,3 0, 2
0, 4 0, 2 0,1
0, 2 0,3 0,3
a) Biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 110,52,930 Hãy xác định mức sản lượng của mỗi ngành
b) Do cải tiến kĩ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu của ngành 2 Tìm mức sản lượng của 3 ngành biết nhu cầu cuối cùng của các ngành tương ứng là 124, 66, 100
c) Tìm nhu cầu cuối cùng của mỗi ngành biết sản lượng của mỗi ngành lần lượt là 120,130,140
Trang 15CHƯƠNG 5
Bài 1 Trong các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính
1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 1 2 3 3 1
1 2
) : , ( , , ) ( , , )
) : , ( , , ) ( , 4 , 3 )
) : , ( , , ) ( , 5 3 )
) : , ( , ,
a f R R f x x x x x x x x x
c f R R f x x x x x x x x x x
d f R R f x x x x x x x x x
e f R R f x x x
→ 3) = ( x1− x x2, 1+ x2− 8 , 2 x3 x1+ 6 , x x2 2 + x3)
Bài 2 Cho ánh xạ tuyến tính
f R → R f x x x x = x − x x − x x − x Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B), (B’) sau đây
(B)= = (( u1 = − (1, 1,0,0), u2 = (0,1, 1,0), − u3 = (0,0,1, 1), − u4 = (0,0,0,1))
(B’)= (( v1= (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0))
Bài 3 Cho phép biến đổi tuyến tính f f R : 3 → R3 xác định bởi
( , , ) (3 3 2 , 2 , 3 )
f x x x = x + x + x x + + x x − x − x
a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc
b) Tìm ma trận của f trong cơ sở V={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)}
Bài 4 Cho V = v v v1, ,2 3 là một cơ sở của R3 Tìm ma trận của phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở
V nếu
a f v v f v v v f v
Bài 5 Phép biến đổi tuyến tính f trên R3 trong cơ sở
(B)= (( u1= (8, 6,7); − u2 = − ( 16,7, 13); − u3 = (9, 3,7)) − có ma trận là
A
−
Trang 16Tìm ma trận của f trong cơ sở (B’) = (( v1= − (1, 2,1); v2 = (3, 1,2); − v3 = (2,1,2))
Bài 6 Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của ma trận
Bài 7 Chéo hóa ma trận A (nếu tồn tại ) và tìm ma trận T làm chéo hóa ma trận A, đồng thời xác định
ma trận D = T AT−1
) 2 1 2 ; ) 3 4 0 ; ) 1 5 2 ;
2 0 1
1 1 3
−
−
Bài 8.
Cho
A
−
Tìm A nn, N
Bài 9 Tìm ma trận của dạng toàn phương q
1 2 3 1
c q x x x x
Bài 10 Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
Trang 172 2 2
1 2 4 1 2 2 3 3 4
1 2 2 3 3 1
1
2
a q x x x x x x x
b q x x x x x x x x x
e q x x x x x x
f q x x x x x x x x x
Bài 11: Cho (u n n N) , ( )v n n N , (w n n N) là các dãy số thực được xác định bởi:
0
0
0
0,
22, 22, 1
4 1
3 1
4
u v w
+
+
+
=
=
=
Tính u v w n, n, n
Bài 12: Cho
4 0 0 0
2 3 0 0
4 9 1 0
1 2 5 2
A
=
Tính det(f A với ( )) f x( )=x2011−x2012−1