Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn T đồng thời đường thẳng AB đi qua I.
Trang 1KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2010- 2011
Thời gian làm bài 180 phút Câu I) Cho hàm số
1
3 2 +
+
=
x
x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng 3x+4y-2=0 bằng 2
Câu II)
4 sin 2 2 3
sin 3 cos
2 sin 4
+
+
=
+
x x
x x
2) Giải hệ phương trình sau:
= + +
=
−
− +
−
y x x
y y
x y x
3 2
28 30
2 3 6
Câu III)
1) Tính tích phân sau: =∫3 +
4
2
cos 1 cos tan
π π
dx x x
x I
2) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông với cạnh huyền BC=2a; A BˆC = 60 0 Mặt bên (BCC’B’) là hình thoi (B'BˆC< 90 0)và vuông góc với đáy mặt bên (ABB’A) tạo với đáy một góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’
Câu IV)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (T) có phương trình:x2 +y2 − 8x+ 12 = 0 và I(8;5) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (T) đồng thời đường thẳng AB đi qua I (A, B là hai tiếp điểm)
2) Trong không gian Oxyz cho A(-1;0;2) , mặt phẳng (P): 2x-y-z+3=0 và đường thẳng (d) có phương trình
1
6 4
2 2
3= − = −
x
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt (d) tại B, cắt (P) tại C sao cho AB=AC
Câu V)
1) Tìm m để phương trình log ( 6 ) 2log ( 14 2 29 2) 0
2 1 3
2 mx− x + − x + x− = có 3 nghiệm thực phân biệt
2) Cho x, y là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
3
y x xy
y x xy y x A
+
+ +
+
=
(T Kiên 0988844088)
Họ và tên:………
Trường:………
Trang 2ĐÁP ÁN THI THỬ
THẦY KIÊN TOÁN 0988844088 Câu I)
1)Học sinh tự làm
a
a a
+
+ 1
3 2
;
Tiếp tuyến tại M là: ( ) ( ) 1 (*)
3 2 1
1
+ +
− +
−
=
a
a a x a
y (0,25đ) Có: d M/ ∆ = 2 với ∆ : 3x+ 4y− 2 = 0
−=
−=
−<
⇔
= + +
−<
=
=
−≥
⇔
=−
−≥
⇔
−
−=
+
+
−<
+
= +
+
−≥
⇔
+
= + +
⇔
= +
−
+
+
+
⇔
)
( 3 4
) (5
1
0 20 19 3 1
)
( 3 1
) (0
1
0 3
1
10 10 10 9
3
1
10 10 10 9
3
1
) 25, 0(1 10 10 9 3
2 4
3
2 1
3
2
4
3
2
2
2
2
2 2
2
TM a
TM a
a
a a a
TM a
TM a
a
a a a
a a
a
a
a a
a
a
đ a
a a a
a
a
Trang 3Giải đúng 4 giá trị của a: 0,25đ
Từ đó có 4 tiếp tuyến tương ứng với 4 giá trị của a (Viết đủ 0,25đ)
Câu II)
1) Giải phương trình lượng giác:
3 4 sin 2 2 ) 2 2 cos(
3
cos
) 2 2 cos(
4
cos
2
+
+
=
− +
−
+
π
π
x x
x
x x
3 4 sin 2 2 4
3 cos 4
cos
2
4 3 cos 4 cos
2
2
+
+
=
−
−
+
π π
π π
x x
x x
⇒điều kiện: 0
4 3
x−π
(0,25đ)
) 25 , 0 )(
( 2
2 4
sin
0 2
1 4 sin 2 4
sin 2
3 4 sin 2 4
d TM x
x x
x x
PT
−
=
+
=
−
+
−
+
−
⇔ +
+
=
+
⇔
π
π π
π π
KL:
+
=
+
−
=
π π
π π
2
2 2
k x
k x
(0,25đ)
2) Giải hệ:
= + +
=
−
− +
−
)2 ( 3
2
)1 ( 28 30
2 3 6
y x x
y y
x y x
Điều kiện:
2
3
−
≥
x
PT(1)⇔ x6+x2 = y3+9y2+28y+30⇔ x2(x4+1)=(y+3) [(y+3)2+1]⇒ y+3≥0 (0,25đ)
Xét hàm số f( )t =t(t2 + 1)=t3 +t với t ≥0
⇒
∀
>
+
t
f' ( ) 3 2 1 0
hàm f (t) đồng biến
( )2 = ( + 3 ) ⇔ 2 = + 3
⇒ f x f y x y (0,25đ)
Thay vào (2): 2x+ 3 =x2 −x− 3
+
=
+
−=
⇔
+
= +
+
−=
+
⇔
−=
+
) ( 2
) ( 2 2 2
4
5 4
2 4
4 2
2
4
sin
TM k x
TM k x k x
k
x x
π π
π π π
π π
π π π π
Trang 4⇒
⇔
⇔
2
3 064 52
03 96
62
32
03
23 4
2 2 23
4
2
x
x xx xx
xx xxx xx
x
xx
(0,25đ)
Với x= 3 ⇒y= 6 ;x= − 2 ⇒y= − 1
KL: Hệ có nghiệm (x;y) ( )= 3 ; 6 ,(− 2 ; − 1) (0,25đ)
Câu III)
+
= +
3
4
2 2
3
4
2 2
3
4
1 2 tan
tan cos
1 1 cos
1
tan cos
1
cos
π
π
π
π
π
dx x x
x dx
x x
x dx
x x
x
(0,25 d)
Đặt tan 2x+ 2 =t⇒t2 = tan 2x+ 2 (0,25)
dx x x tdt
dx x x
cos
1 tan cos
1 tan
2
( 5 3)
5 3 5
3
5
3
−
=
=
=
=
t
tdt
2)
Trang 5A
M
B
H C
B' A'
Vì (BCC'B') (⊥ ABC)
Hạ B'H ⊥BC⇒B'H ⊥(ABC)
Hạ HM ⊥AB⇒B'MˆH = 45 0 (0,25đ)
Đặt
a
x AC
HM x
BH
2
=
⇒
=
x x
a
a HM a
a
AC
2
3 2
3 3
2
3
2
=
=
⇒
=
=
2 2 2
2
4 '
'H BB BH a x
B = − = − (0,25đ)
'
MHB
∆ vuông cân
7
4 4
4
3
x x a x HM H
B = ⇒ = − ⇒ = (0,25đ)
7
3 7
3 3 2
1 7
3 2
B
Câu IV):
Xét A ;(x y) là tiếp điểm
∈
⇒ A đường tròn: x2 +y2 − 8x+ 12 = 0 ( 1 ) tâm J(4 ; 0);R= 2
(x y)
A
M
Oy
M ∈ ) ⇒ 0 ;
(x;y m).
A
M − MA là tiếp tuyến ⇒MA⊥JA (0,25đ)
0 4
0
= ⇔ 2 − + 2 − =
⇔M AJ A x x y my
0 4
2
⇔x y x my (2) (0,25đ)
⇒ tọa độ A thỏa mãn hệ:
Trang 60 12
4
0
4
0
12
8
2
2
2
2
=−
−
⇒
=−
−+
=+
−+
my
x
my
x
y
x
x
y
x
⇒ A,B thuộc đường thẳng ∆ : 4x−my− 12 = 0 (0,25đ)
A, B qua I( )8 ; 5 ⇔ 32 − 5m− 12 = 0 ⇒m= 4
Vậy M(0;4) TMĐK (0,25)
2) Giả sử ∆ ∩d=B(3 + 2t; 2 + 4t; 6 +t)⇒A là trung điểm BC
C − 5 − 2 ; − 2 − 4 ; − 2 − 2
⇒
Vì C thuộc mặt phẳng (P) ( )
2
1 3
6 0 3 2 2 4 2 2 5
(−6;−4;−3)
∆
⇒ qua A, C⇒AC(− 5 ; − 4 ; − 5)
PTTS( )
−
=
−=
−
−=
∆
t z
t y
t x
5 2
4
5 1 :
Câu V)
log
2 29 14
log 2 6
log
)
1
2 2
3 2
2 2
3
− +
−
=
−
⇔
− +
−
−
=
−
x x
x mx
x x
x mx
+−
−=
<<
⇔
−+
−=
−
>−
+
−
⇔
29
2 14 6
2 14
1
2 29
14
6
02
29
14
2 2
3
2
x
x x m
x x
x
x
mx
x
x
(0,25)
Xét ( )= 6 2 − 14 −2+ 29
x x x
x
14
1
x
( ) 2 3 2 2 ( ) 2 2
1 3
1 1 12 2 14 12 2 14
12
'
x
x x
x x
x x x
x
t
f
−
+
−
= +
−
= +
−
Trang 724 19
39/2
3/98
2 1
1/2 1/14
-1/3
f(x)
f'(x)
x
(0,25)
Từ đó ta có: PT có 3 nghiệm khi
2
39
19 <m< (0,25)
2 2
3 4
y x xy
y x xy y
x
A
+
+ +
+
Theo Cauchy: ( )3 ( ) ( )2
4
4xy x y xy x y y
x+ + + ≥ + (0,25)
2
2
2 2 2
2
2 2
.
xy xy
y x xy y
x xy xy y
x
≤ +
=
2 8 min 2
8 2
2
.
≥