[r]
Trang 1Chuẩn bị thi vào đại học
Giải Phơng Trình chứa căn nh thế nào?
Khi các bạn giải phơng trình (PT) dạng √ax+b=cx +d , chúng ta đều biết bình phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT √ax+b=cx2+dx +e có giải đợc bằng phơng pháp đó đợc nữa không? Xin trả lời trừ một số trờng hợp đặc biệt Vậy thì có phơng pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví dụ khi giải PT sau:
√9 x −5=3 x2 +2 x+3 ,ta đặt √9 x −5=3 y +1 , y ≥−1
3 , rồi khi giải PT:
x2− x −2004√1+16032 x=2004 , ta đặt √1+16032 x=2 t −1 , t ≥1
2 .
Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có một chuyên đề
đợc đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phơng pháp giải) Đặc biệt với các bạn
đã học về đạo hàm thì phơng pháp sau sẽ giải quyết bớc chọn đặt nhanh hơn rất nhiều Sau đây là nội dung phơng pháp cụ thể:
Dạng 1: √ax+b=1
a x
2
+cx +d ,(a ≠ 0) và thỏa mãn b+ad= a
2c
2 (1+c
2) (*) Xét hàm
số y=1
a x
2 +cx +d => f ' (x)=2
a x+c=0 <=> x =−
ac
2 , khi đó bằng phép đặt
√ax+b= y +ac
2 , ta sẽ đa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc.
Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó.
Ví dụ: Giải PT sau: 3 x2+x −29
6 =√12 x +6136
Làm nháp: f (x)=3 x2
+x −29
6 => f ' (x)=6 x +1=0<=> x=−
1
6 .
Giải: Đặt √12 x +61
1
6 , y ≥ −
1
6 <=>
12 x +61
2
+ 1
3 y+
1 36
<=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)
Mà theo cách đặt ta có: 3 x2+x −29
6 =y +
1
6 <=> 3x2 + x = y +5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
¿
3 y2
+y=x+5
3 x2+x= y +5
¿ {
¿
=> 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y
<=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc y=− 3 x +2
* Với y = x => 3y2 = 5 =>y = x = √5
3 ,( y ≥ −
1
6 ).
* Với y=− 3 x +2
3 => 3x2 + x =
3 x +2
3 +5 <=> 9x2 +6x - 13 = 0
Trang 2=> x1,2=− 3 ±√126
9 Từ đây ta tìm đợc y và kết luận đợc nghiệm của PT đã cho.
Dạng 2: √ax+b=cx2+dx +e , (a ≠ 0 , c ≠ 0 , a ≠1
c)
Xét f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => x=− d
2 c , khi đó bằng phép
đặt √ax+b=2 cy +d
Ví dụ1: Giải PT sau: √9 x −5=3 x2+2 x+3
Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3
Giải: Đặt √9 x −5=3 y +1 , y ≥−1
3
=> 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 <=> 9y2 + 6y = 9x – 6 <=> 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
¿
3 y2
+2 y=3 x −2
3 x2+2 x =3 y − 2
¿ {
¿
đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải nh
ví dụ trên
Ví dụ 2: Giải PT sau: x2− x −2004√1+16032 x=2004
(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004)
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 <=> x =
1
2
Do a ≠1
c , nên ta sử dụng phơng pháp đặt:
Giải: Đặt √1+16032 x=2 t −1 , t ≥1
2 => t2 – t = 4008x, (1)
Mặt khác do từ PT ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau:
¿
t2− t=4008 x
x2− x=4008 t
¿ {
¿
=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0
<=> t = x hoặc t = - x – 4007
* Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009 Ta có x = 0 không thỏa mãn
* Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008
= 0 => PT vô nghiệm
KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.
Dạng 3: √3ax+b=cx3 +dx 2
+ex+m,(a ≠0 , c ≠ 0 , a=1
c)
Xét hàm số f(x) = cx 3
+ dx 2
+ex +m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e
=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x=− d
3 c , Khi đó bằng phép đặt:
Trang 3√ax+b= y + d
3 c
Ví dụ: Giải PT sau: √33 x −63
8 =
x3
3 −
3
2 x
2
+ 9
4 x
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x3
3 −
3
2x
2
+ 9
4 x => f’(x) = x
2 - 3x +9/4 =>
f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=> x=3
2 .
Giải: Đặt √3 3 x −63
8 =y −
3
2 => 3 x −
63
8 =y
3
−9
2 y
2
+ 27
4 y −
27 8
<=> 3 x −9
2=y
3
−9
2 y
2
+ 27
4 y <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1).
Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: y −3
2=
x3
3 −
3
2x
2
+ 9
4x
<=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
¿
12 x −18=4 y3−18 y2 +27 y
12 y −18=4 x3−18 x2+27 x
¿ {
¿
( việc giải hệ này xin dành cho
độc giả)
Dạng 4: √3ax+b=cx3+dx2+ex+m,(a ≠0 , c ≠ 0 , a≠1
c)
Xét hàm số f(x) = cx3+ dx2+ex +m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e
=> f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x=− d
3 c , Khi đó bằng phép đặt:
3
√ax+b=3 cy +d
Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:
√381 x −8=x3−2 x2+ 4
3x −2
Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x3−2 x2
+ 4
3x −2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=> x=2
3 do a ≠
1
c .
Giải: Đặt 3
√81 x −8=3 y − 2 => 3x = y3 – 2y2 + 4
3 y ,( Biến đổi tơng tự ta có
hệ)
¿
3 y=x3−2 x2
+ 4
3 x
3 x= y3− 2 y2+ 4
3 y
¿ {
¿
=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13
3 ) = 0(*),
Trang 4Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13
3 =
y − 2¿2+ 1
3>0
x − 2¿2+ 1
2¿
x + y¿2+ 1
2¿ 1
2¿
, nên từ (*) ta có x = y => 3x
= x3 – 2x2 + 4
3 x => x1= 0 ; x2,3 = 3 ± 2√6
3
Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dới đây Hy vọng rằng phơng pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phơng trình chứa căn Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập !
Bài tập tự luyện:
Giải các phơng trình sau:
1) x2=√2− x +2
2) x2− 4 x − 3=√x +5
3) x3+2=3√33 x −2
4) √3 x +1=− 4 x2+13 x − 5
5) √x+1=x2+4 x+5
6) √4 x+ 9
2
+7 x