CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GiẢI TAM GIÁC tiết 24 2... Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều Giải.. Tính các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoạ
Trang 2KIỂM TRA BÀI CŨ
A
b c
2R
=
Cho tam giác ABC vuông ở A nội
tiếp đường tròn bán kính R và có
BC a CA b AB c= = = Hãy tính
sin sin sin
Giải
Vì tam giác ABC vuông ở A nội
tiếp đường tròn bán kính R nên a = 2R
Ta có
0
2
2 ; sin sin 90
R
a sin 2
b B
R
sin
b
R B
sin sin sin
R
Trang 3BÀI 3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
VÀ GiẢI TAM GIÁC (tiết 24)
2 Định lí sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có
2 sin sin sin
R
A = B = C =
sin
a
R
A =
a
A
D
A
B
C
D
a
)
a a
A
D
•
O
Xét hai trường hợp:
- Nếu góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi đó tam giác BCD
vuông tại C⇒ BC BD= sin D⇒ =a 2 sinR D
Mà ·BAC BDC= · (cùng chắn cung )»BC ⇒ =µA Dµ
2 sin
sin
a
R A
Trang 4b
a
A
B
C
D
- Nếu góc A tù, ta vẽ đường kính BD của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O
µA Dµ 1800
⇒ + = ⇒sin D = sin A
Tam giác BCD vuông tại C ta cũng cóa = 2 sinR D
2 sin
sin
a
R A
Các đẳng thức 2
sin
b
R
sin
c
R
C =
được chứng minh tương tự
sin sin sin
R
A = B = C = Hãy phát biểu định lí sin bằng lời
Trang 5b) Các ví dụ
Ví dụ 1 Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đều
Giải Theo định lí sin a 2R
sinA =
2sin
a R
A
2sin 60
a R
3 3
a a
= =
cạnh a
0
31
0
20
Cho tam giác ABC có µB = 20 ,0 Cµ = 310
và cạnh b = 210 cm Tính các cạnh còn lại
và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam
giác đó
µ,
A
Giải. Ta có µA =1800 −( B Cµ + µ ) =129 0
Theo định lí sin ta có : 2 ( )1
sin sin sin
R
A = B = C =
Từ (1) suy ra a = sin
sin
b A B
0 0
210.sin129 sin 20
= ≈ 477,2( )cm
c = sin
sin
b C
B
0 0
210.sin 31 sin 20
= ≈ 316,2( )cm
2sin
a R
A
2.sin129
= ≈ 307,02( )cm
Trang 63 Công thức diện tích tam giác
Trong tam giác ABC ta kí hiệu A, B, C là ba góc, a, b, c và h h h a, ,b c
lần lượt là độ dài các cạnh và độ dài các đường cao tương ứng S là diện tích
Hãy viết công thức tính S theo độ dài các cạnh và chiều cao tương ứng
S = ah = bh = ch
b
a
)
cạnh b và góc C
a
h
- Hình a) ứng với góc C nhọn, ta có
.sin 180
a
h = b −C
- Hình b) ứng với góc C tù, ta có
.sin
a
h = b C
sin
b C
=
- Hình c) ứng với góc C vuông, ta có h a = b = bsin C
1
2 a
S ah
2 ab C
=
Trang 7Ta có 1
sin 2
S = ab C 1 sin
2bc A
2ca B
=
; 4
abc S
R
S = p p a p b p c− − − (công thức Hê-rông)
(1)
(4)
Hãy chứng minh công thức (2)Hãy chứng minh công thức (3)
A
b
r
H
I K
Chứng minh công thức (3)
1
(trong các công thưc trên R, r và p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và nửa chu vi của tam giác ABC)
Trang 8Việc chứng minh công thức Hê-rông dựa vào định lí côsin và công thức
1
sin 2
S = ab C xem như bài tập về nhà
Ví dụ 1 Cho tam giac ABC có ba cạnh a = 13 m, b = 14 m, c = 15 m.
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
Giải
a) Ta có p = 12( a b c+ + ) = 21 Theo công thức S = p p a p b p c( − ) ( − ) ( − )
21 21 13 21 14 21 15
S
⇒ = − − − = 84( )m2
b) Từ công thức S = pr r S
p
⇒ = 84 4( )
= =
Từ công thức
4
abc S
R
= ⇒ =R
4
abc S
13.14.15 4.84
= = 8,125( )m
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là:
4 ,
r = m R = 8,125m
Trang 9Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có cạnh , cạnh và a = 2 3 b = 2 Cµ = 300
Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó
Giải Theo định lí côsin ta có
2 2 2 2 cos
c = a + −b ab C 12 4 2.2 3.2 3
2
= + − = 4 ⇒ =c 2
2
b c
⇒ = = ⇒ = =B Cµ µ 300 ⇒ =µA 120 0
1
sin 2
S = ab C 1.2 3.2.1
= = 3 (đơn vị diện tích) Vậy c = 2,µA =1200 và diện tích tam giác ABC là 3
Ví dụ 3 Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và diện tích S CMR
2 2 2
cot
4
b c a A
S
+ −
=
Giải
Ta có cot osA
sinA
c
2 sin
b c a
bc A
+ −
2
S = bc A⇒bcsin A = 2S
2 2 2
cot
4
b c a A
S
+ −
Trang 10CỦNG CỐ VÀ DẶN DÒ
I CỦNG CỐ Qua tiết học các em cần lưu ý
- Định lí sin sina A = sinb B = sinc C = 2 R
-Các công
thức diện
tích tam
giác
S = ah = bh = ch
1
sin 2
S = ab C 1 sin
2bc A
2ca B
=
; 4
abc S
R
= S = pr;
S = p p a p b p c− − −
II DẶN DÒ Các em về nhà xem lại nội dung đã học, chuẩn bị tiếp phần
lí thuyết còn lại và làm các bài tập 4 đến 9 trong SGK trang 59
