áp suất khí quyển 2

Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai này chi phối dao ñộng tự do của chất ñiểm; chúng ta sẽ xét chi tiết bài toán này trong Mục 2.4.. Phương trình tuyến tính thuần nhất ðịnh l[r]

Bài giảng số 3

• Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp ñược

• ðại cương về PTVP tuyến tính cấp 2

1 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp ñược

ðịnh nghĩa Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát

a) Khi v
ng m  t bi  n ph  thu  c y Phương trình (1) có dạng

F(x, y', y'') = 0

Cách giải ðặt p = y' = dy

dx ⇒ y'' = dy

dx

ñưa phương trình ñã cho về phương trình vi phân cấp mộ F x p p( , , ')=0

Ví d ụ 1. Giải phương trình xy" + 2y' = 6x

•••• ðặt p = y' = dy

dx ⇒ y'' = dp

dx

dx + = ⇒ dp 2p 6

dx +x =

• Thừa số tích phân

2

2

dx x

ρ= ∫ =

• Dx(x2p) = 6x2 ⇒ x2

p = 2x3 + C1 ⇒ p = dy/dx = 2x + C1/x2

2

x

b) Khi v
ng m  t bi  n ñ c l  p x Phương trình (1) có dạng F(y, y', y") = 0

Cách giả ðặt p = y' = dy

dx ⇒ y'' = dp dp dy p dp

dx =dy dx = dy

ñưa phương trình ñã cho về phương trình vi phân cấp một ( , ,F y p dp) 0

dy =

Ví d ụ 2. Giải phương trình yy" = (y')2, với y và các ñạo hàm của nó dương

• ðặt p = y' = dy

dx ⇒ y'' = dp dp dy.

dx = dy dx

dy = ⇔ p = y

• dp dy

p = y

∫ ∫ ⇒ lnp = lny + C ⇒ p = C1 2 y, trong ñó 1

C =e

• Từ ñó dy C y2 C dx2 dy

dx = ⇔ = y

• C2x = dy

y

∫ = lny + C3

• y(x) = exp(C2x – C3) = Ae Bx, trong ñó A=e−C3 và B = C2

c Khi vắng mặt cả biến ñộc lập x và biến phụ thuộc y PT(1) có dạng

( ', ") 0

F y y =

Cách giả

+ ðặt p y' y" dp p'

dx

+ ðưa pt về dạng F p p( , ')=0

+ Giải nghiệm p=p x( ), từñó suy ra nghiệm y =y x( )

Ví d ụ 3. Giải phương trình y" = (y')2

+) p = y' ⇒ dp y"

dx =

+) dp 2

p

dx = ⇒

2

0 0 : dp

p

+) p=0⇒y =C

+) p≠0: 1 x A

p

x A

+) y = B − ln|x + A|

+) Vậy pt có hai họ nghiệm: y = B − ln|x + A| và y = C

2.Một số ví dụ luyện tập

Tìm nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a m ộ t trong các PTVP sau:

• 4 (Tr 155) 2xy3+e x +(3x y2 2+sin ) 'y y =0

+ KQ : x y2 3+e x −cosy =C

• 9 (Tr 155) xy' 2+ y =6x2 y

+ KQ ( 2 1)2

( )

y x = x +Cx−

• 13 (Tr 155) 4xy2+ =y' 5x y4 2

+ KQ : ( ) 12 5

y x

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO § 2.1 ðại cương về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

ðặt vấn ñề

Trong Chương 1 chúng ta ñã nghiên cứu phương trình vi phân cấp một Bây

giờ chúng ta sẽ tiếp tục với những phương trình bậc cao hơn n≥2 bằng sự mở

ñầu trong chương này với những phương trình tuyến tính Lý thuyết tổng quát

của phương trình vi phân tuyến tính tương tự ñối với phương trình tuyến tính

cấp hai

1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

ðịnh nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng

A x y( ) ′′+B x y( ) ′+C x y( ) =F x( ) (2)

ở ñó A x B x C x F x( ) ( ) ( ) ( ), , , là các hàm liên tục ñã biết trên khoảng mở I

Ví dụ 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:

1

(cos ) (1 ) tan

x

e y′′+ x y′+ + x y = − x

Ví dụ 2 Phương trình vi phân không tuyến tính (phi tuyến) cấp hai:

y′′=yy′

ðịnh nghĩa (2) là phương trình tuyến tính không thuần nhất khi F x( )≡/0, là

phương trình tuyến tính thuần nhất nếu F x( )≡0

Ví dụ 3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:

1

(cos ) (1 ) tan

x

e y′′+ x y′+ + x y = − x

là phương trình không thuần nhất Phương trình thuần nhất tương ứng của nó là:

(cos ) (1 ) 0

x

e y′′+ x y′+ + x y = Trong trường hợp phương trình vi phân trong (2) mô phỏng một hệ vật lý,

thừa số không thuần nhất ( )F x tương ứng với tác ñộng bên ngoài nào ñó tới hệ

Cách vi t khác :

+ P/t tuyến tính cấp 2 không thuần nhất :

"y +p x y( ) '+q x y( ) =f x( )

+ Và p/trình thuần nhất tương ứng

" ( ) ' ( ) 0

y +p x y+q x y =

Ví dụ 4

Phương trình vi phân tuyến tính thường xuất

hiện như là mô hình toán học của những hệ cơ

học và mạch ñiện Chẳng hạn, giả sử một chất

ñiểm khối lượng m bị gắn vào hai ñầu, một ñầu

gắn vào một lò xo và chịu tác ñộng một lực F S còn

một ñầu gắn với một lò xo chống sốc và chịu tác

ñộng một lực F R (Hình 2.1.1) Giả thiết phản lực

S

F của lò xo tỷ lệ với ñộ dịch chuyển x (hướng

dương sang bên phải, hướng âm sang bên trái)

của chấ ñiểm tính từ vị trí cân bằng, do ñó lực lò

xo chống sốc F R tỷ lệ với vận tốc v=dx dt/ của

chấ ñiểm Với sự trợ giúp của Hìn 2.1.2 chúng ta

cũng có ñược hướng tương ứng của hai lực tác

ñộng ñó :

S

F = −kx và F R = −cv ( ,k c>0)

Dấu trừ ở ñây là chính xác: F S âm khi x

dương, F R là âm khi v dương ðịnh luật Newton

F =ma cho ta

" S R;

mx =F +F tức là

2

d x dx

dt + dt + = Như vậy chúng ta có một phương trình vi phân có nghiệm là hàm vị trí x(t)

của chấ ñiểm m Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai này chi phối dao

ñộng tự do của chất ñiểm; chúng ta sẽ xét chi tiết bài toán này trong Mục 2.4

Nếu kết hợp cùng với F S và F R, chất ñiểm m chịu tác ñộng của một ngoại

lực F(t), lúc ñó sẽ ñược cộng thêm vào vế phải trong phương trình ta sẽ nhận

ñược phương trình

2

d x dx

dt + dt + = Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất này chi phối dao ñộng

cưỡng bức của chất ñiểm bởi tác ñộng của ngoại lực F(t)

2 Phương trình tuyến tính thuần nhất

ðịnh lí 1 (Nguyên lí chồng chất nghiệm)

+ y y1, 2 là các nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất:

y′′+p x y( ) ′+q x y( ) =0 (3) trên khoảng I

+ Khi ñó y =C y1 1+C y2 2 cũng là nghiệm của (3) trên khoảng I, với các hằng số

tuỳ ý C và C

Hình 2.1.1 Hệ chất ñiểm – lò xo – lò xo

chống sốc

Hình 2.1.2. Hướng các lực tác ñộng lên m

Ví dụ 4 y′′ +4y =0 có các nghiệm y1=cos2x, y2=sin2x

+ Theo ðL 1 : y =2cos 2x−3 sin 2x cũng là nghiệm của pt

+ Nghi ệ m t ổ ng quát của pt y′′ +4y =0 là :

y =C1cos2x+C2sin2x

Mộ ñiều quan trọng cần hiểu rằng công thức nghiệm tổng quát ñơn giản này bao gồm một lượng ‘’hai lần vô hạn’’ các nghiệm riêng vì hai hệ số c1 và c2có

thể ñược chọn một cách ñộc lập Các Hình từ 2.1.3 ñến 2.1.5 minh họa một số

trường hợp xảy ra, hoặc c1 hoặc c2 bằng không hoặc cả hai hệ sốñó ñều khác không

Hình 2.1.3 Các nghiệm

1

( ) cos

y x =c xcủa y" + =y 0

Hình 2.1.4 Các

nghiệm y x( ) =c2cosx của

" 0

y + =y

Hình 2.1.5 Các

nghiệm của y" + =y 0 với 1

c và c2 khác 0

Ở phía trên chúng ta ñã ñưa ra phương trình tuyến tính mx"+cx'+ =kx F t( )

như là một mô hình toán học chuyển ñộng của một chất ñiểm ñược minh họa trong Hình 2.1.1 Về phương diện vật lý một chuyển ñộng của chất ñiểm hoàn toàn ñược xác ñịnh bởi vị trí và vận tốc ban ñầu của nó Do ñó, cho trước giá trị (0)

x và x'(0), phương trình

2

d x dx

dt + dt + = luôn xác ñịnh một nghiệm

duy nh ấ t thỏa mãn bài toán giá trị ban ñầu này

3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất

ðể phương trình vi phân là mô hình toán tốt cho bài toán toán lí nào ñó thì nó

phải có nghiệm duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñầu tương ứng

ðịnh lí 2 (Tồn tại và duy nhất nghiệm) Các hàm p x q x( ) ( ), liên tục trên khoảng

mở I chứa ñiểm a, cho trước hai số b0 và b1 Khi ñó phương trình

y′′+p x y′+q x y =f x (4) có duy nhất nghiệm trong khoảng I thoả mãn ñiều kiện y a( )=b0, y′( )0 =b1

ðịnh lý 2 cho ta thấy bài toán giá trị ban ñầu (tuyn tính) có nghiệm duy nhất trên toàn bộ khoảng I, khoảng mà các hàm hệ số trong (4) liên tục Khác

hẳn ñối với một phương trình vi phân phi tuyn - nói chung có duy nhất nghiệm chỉ trong một khoảng nhỏ

Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cấp 2 thu ầ n nh ấ t :

Tìm hai nghiệm phân bi ệ t y1 và y2, sau ñó thiết lập nghiệm tổng quát

1 1 2 2

y =c y +c y
Xét các ñiều kiện ban ñầu y a( )=b y a0, '( )=b1, ta có hệ pt

{ 1 1 2 2 0

' ( ) ' ( )

c y a c y a b

c y a c y a b

+ =

ñối với các hệ số c1 và c2

Ví dụ 5 Chứng minh rằng các hàm y x1( )=e x,y x2( )=xe x là các nghiệm của phương trình vi phân y′′−2y′+ =y 0 Tìm một nghiệm thoả mãn các ñiều kiện ban ñầu: y( )0 =3,y′( )0 =1

• Dễ dàng kiểm tra ñược các hàm ñã cho là nghiệm

• Nghiệm tổng quát của phương trình là y =C e1 x+C xe2 x

• Thay vào các ñiều kiện ñã cho có:

( ) ( )00 11 32 1

2

3 2

C C

=

• Nghiệm của bài toán giá trị ban ñầu là y =3e x−2xe x

 Câu h ỏ i : Liệu có phải luôn tìm ñược nghiệm tổng quát khi ñã biết hai nghiệm y1 và y2 cùng ñiều kiện ban ñầu b0 và b1 ?

4 Sự ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

a ðỊNH NGHĨA ● Hai hàm xác ñịnh trên một khoảng I ñược gọi là ñộ c l ậ p

một hằng số nhân với hàm còn lại

● Hai hàm ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính trên một khoảng mở nếu chúng không ñộc lập tuyến tính,Tức là một trong hai hàm ñó là tích của mộ hằng số với hàm còn lại

Ví dụ 6 Những cặp hàm sau ñộc lập tuyến tính trên ñường thẳng thực

sinx và cosx ;

e x và e−2x ;

x+1 và x2 ;

x và |x|

b Wronskian

Cho trước hai hàm f và g, Wronskian của f và g là ñịnh thức

' '

f g fg f g

f g = −

Ký hiệu : W f g( , ) hoặc W x( )

và g phụ thuộc tt trên I khi và chỉ khi W f g( , )=0 trên I

f và g ñộc lập tt trên I khi và chỉ khi W f g( , )≠0 trên I

d ðỊ NH LÝ 4 (Nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t)

Cho y1 và y2 là hai nghi  m ñ c l  p tuy  n tính của ph ng trình thun

nht : y"+p x y( ) '+q x y( ) =0 (4)

với p và q liên tc trên khoảng mở I Nếu Y là một nghiệm bất kỳ của Phương

trình (4) trên I, khi ñó tồn tại các số c1 và c2 sao cho

1 1( ) 2 2( )

Y =c y x +c y x

với mọi x trên I Chúng ta gọi tổ hợp tuyến tính Y =c y1 1+c y2 2 là nghi  m t ng quát của phương trình vi phân (4)

Ví d ụ 7 Xét phương trình vi phân: y" 4− y =0 (5)

1( ) x

y x =e và 2

2( ) x

y x =e− là hai nghiệm của pt

+ y1 và y2 là các nghiệm ñộc lập tuyến tính

+ Ta thấy: y x3( )=cosh2x và y x4( )=sinh2x cũng là các nghiệm của phương trình (5) Từ ðịnh lý 4 suy ra các hàm cosh2x và sinh2x có thể ñược biểu diễn như là tổ hợp tuyến tính của 2

1( ) x

y x =e và ( ) 2

y x =e− cosh2 1 2 1 2

x = e + e− và sinh2 1 2 1 2

x= e − e−

5 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

 Ví d ụ m ở ñầ u: Xét phương trình y" 5 ' 6− y+ y =0 (*),

+ thế y =e rxta nhận ñược

2 rx 5 rx 6 rx 0

r e − re + e =

hay : (r −2)(r−3)e rx =0

+ Ta thấy: y =e rx sẽ là một nghiệm của (*) nếu r =2 hoặc r =3 Từ ñó

ta tìm ñược hai nghiệm ñơn: 2

1( ) x

y x =e và 3

2( ) x

y x =e

T ng quát: Xét: ay"+by'+cy =0 (6)

Bằng cách tương tự ta kết luận y x( )=e rx thỏa mãn phương trình vi phân khi

r là một nghiệm của phương trình ñạ i s ố

ar +br + =c (7)

Phương trình bậc hai này ñược gọi là ph ng trình ñc tr ng của phương

trình vi phân tuyến tính thuần nhất

" ' 0

ay +by+cy =

a ðỊ NH LÝ 5 (Nghi ệ m th ự c phân bi ệ t)

Nếu các nghiệm r1 và r2 của phương trình ñặc trưng trong (7) là thực và phân

( ) r x r x

y x =c e +c e là nghiệm tổng quát của phương trình (6)

Ví dụ 8 Tìm nghiệm tổng quát của: 2 " 7 ' 3y − y+ y =0

Gi ả i + Phương trình ñặc trưng

2

2r −7r+ =3 0 + Các nghiệm 1 1

2

r = và r2 =3 là thực và phân biệt, do ñó ðịnh lý 5 cho

ta nghiệm tổng quát /2 3

y x =c e +c e

Ví dụ 9 Phương trình vi phân y" 2 '+ y =0 có phương trình ñặc trưng

r + r =r r + =

với hai nghiệm thực phân biệ r1=0 và r2= −2 Từ ñó nghiệm tổng quát:

2

y x = +c c e−

b ðỊ NH LÝ 6 (Nghi ệ m b ộ i)

Nếu phương trình ñặc trưng trong (7) có các nghiệm (thực) bằng nhau r1=r2, khi ñó

1

( ) ( ) r x

y x = c +c x e

là một nghiệm tổng quát của phương trình (6)

Ví dụ 10 Giải bài toán giá trị ban ñầu:

{ " 2 ' 0;

(0) 5, '(0) 3,

y y y

y + + =y

Giải:

+ Phương trình ñặc trưng: r2+2r + = +1 (r 1)2 =0có các nghiệm bằng nhau

r = = −r

+ Nghiệm tổng quát : y x( )=c e1 −x +c xe2 −x

+ Lấy ñạo hàm ta có: y x'( )= −c e1 −x+c e2 −x −c xe2 −x,

sử dụng các ñiều kiện ban ñầu nhận ñược các phương trình sau:

y = c =c

= − + = − suy ra c1=5 và c2=2

+ Từ ñó nghiệm riêng cần tìm : y x( )=5e−x+2xe−x

Phương trình Euler cấp hai có dạng

2

ax y +bxy +cy= , x>0 (8) trong ñó a, b, c là các hằng số

Cách giải

+ Thế v=lnx⇒dv = 1

dx x,

1

dy dy dv dy

y

dx dv dx x dv

y

dx x dv x dv x dv dx x dv x dv

+ Biến phương trình (8) thành phương trình tuyến tính hệ số hằng

2

dv + − dv+ = (9), với biến ñộc lập v

+ Nếu các nghiệm r1 và r2 của phương trình ñặc trưng của phương trình (9)

là thực và phân biệt, một nghiệm tổng quát của Phương trình Euler trong (8) là

y x =c x +c x

Ví dụ 11 Giải ptvp sau: 2

" 2 ' 12 0

x y + xy − y=

Giải

+ Thay v=lnx nhận ñược phương trình

2

y

+ Phương trình ñặc trưng là 2

12 0

r + − =r có nghiệm là r1= −4 và r2 =3

+ Bởi vì v

e =x nên nghiệm là 4 3

( )

y x =c x− +c x Bài tập về nhà: 43 – 60 trang 115 , 1 – 56 trang 146

ðọc trước Mục 2.2 trang174 và Mục 2.3 trang 189 ñể chuẩn bị cho bài số 4

y x =e− cosh2 2< /small> 2< /small>

x = e + e− sinh2 2< /small>... x3( )=cosh2x y x4( )=sinh2x nghiệm phương trình (5) Từ ðịnh lý suy hàm cosh2x sinh2x ñược biểu diễn tổ hợp tuyến tính 2< /small>

1(... nghiệm Phương

trình (4) I, tồn số c1 c2< /sub> cho

1 1( ) 2 2( )

Y =c y x +c y x

với x I