Viết phương trỡnh đường thẳng AB b.. Cho đường trũn tõm O; R đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau.. Đường thẳng CM cắt đường trũn O tại điểm thứ hai N.. Chứng minh rằng: a Cỏc điểm O,
Trang 1phòng gd&đt thạch thành đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện
trờng thcs thành vinh năm học 2010 – 2011 2011
Môn thi: Toán 9
(thời gian 150 phút)
B i 1ài 1 : (3 điểm )Cho biểu thức P = 1 4
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x x
x x
x x
x
a Tính giá trị của biểu thức P khi x = 6 2 2 3 2 12 18 128
b Tìm x Z để P Z
c Tìm điều kiện của x để P đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 2: (2 điểm ) Cho x > 0 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
6 6 6
1 1
2 1 1
x
x x
x
x
x x
x
B
Bài 3: (3 điểm )Giải phương trỡnh: a) x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2
b) x 1 3 2 x= 5
Bài 4: (3 điểm )Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ;
(d2): y + 3 - m(x + 2) = 0
a Tỡm điểm cố định A của (d1), B của (d2) Viết phương trỡnh đường thẳng AB
b Tỡm quỹ tớch giao điểm M của (d1) và (d2)
c Xỏc định m để điểm M trựng điểm A
Bài 5: (5điểm) Cho đường trũn tõm (O; R) đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau.
Trong đoạn AB lấy điểm M khỏc 0 Đường thẳng CM cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuụng gúc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường trũn (O) tại N ở điểm P Chứng minh rằng:
a) Cỏc điểm O, M, N, P cựng nằm trờn một đường trũn
b) Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành
c) CM.CN = 2R2
d) Khi M di chuyển trờn đoạn AB thỡ P di chuyển ở đõu ?
B i 6ài 1 : (4 điểm )
a Cho x,y thỏa mãn: x 2011 x2 (y 2011 y2 ) 2011
Tính giá trị của biểu thức: T = x2011 + y2011
b Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chứng minh:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
H
ết
Trang 2phßng gd&®t th¹ch thµnh HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH trêng thcs thµnh vinh GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN LỚP 9
B i 1 ài 1
3®
a §k
9
0
x x
Rót gän P =
3
3 4
x
Khai Ph¬ng x= 2
3
1
Thay gi¸ trÞ x 2
3
1 vµo P =
13
3 29
64
b §Ó P Z khi vµ chØ khi
0 3
3
3 3
1 3
1 3
x x
x x x
c §Ó P nhá nhÊt khi vµ chØ khi x = 0
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
B i 2 ài 1
2®
3 3 3
6 6 6
1 1
2 1 1
x
x x x
x
x x
x B
=>
3 3 3
2 3 3 6
1 1
1 1
x
x x x
x
x x
x B
=>
3 3 3
2 3 3
2 3
1 1
1 1
x
x x x
x
x x
x B
=> 1 ( 3 13)
3
x
x x
x
x x
Áp dụng bất đẳng thức CôSi ta được B 6
Vậy : min B = 6 <=> x = 1
0.5
0.25
0.5 0.25
0.5
B i 3 ài 1
3® a.Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2(1)
Điều kiện: x 1(*)
(1) => x 1 12 x 1 12 2 (0,25
điểm)
=> x 1 1 x 1 1 2(2)
* Nếu x 1 1 0 x 1 1 x 0
(2) => x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 x 0(**) (0,25 điểm)
* Nếu x 1 1 0 x 1 1 x 0
(2) => x 1 1 1 x 1 2 x 0(***) (0,25 điểm)
Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm: 1 x 0 (0,25 điểm)
b.§k x 1
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
Trang 3Đặt
b x
a x
3 2
1 (a 0)
Ta đợc HPT
) 2 ( 1
) 1 ( 5 3
2 b a
b a
Thế (1) vào (2) ta đợc: b3 + 2b2 +10b + 24 = 0
(b+2)(b2 - b + 12) = 0
b = -2
Thay b = - 2 vào (1) ta đợc a = 3
Vậy phơng trình có nghiệm x = 10
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
B i 4 ài 1
3đ
Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0
a Tỡm điểm cố định A của (d1), B của (d2) Viết phương trỡnh đường thẳng
AB
Ta cú: Giả sử A(x; y) là điểm cố định của (d1) <=> y = 3 - m(x -2) m
<=>
3
2 0
3
0 2
y
x y
x
Vậy A(2; 3)
Ta cú: Giả sử B(x; y) là điểm cố định của (d2) <=> y + 3 - m(x + 2) = 0 m
<=> 2
3 0
2 0 3
x y
x y
Vậy B(- 2; - 3)
Phương trỡnh đường thẳng AB: y x
2
3
b Tỡm quỹ tớch giao điểm M của (d1) và (d2)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trỡnh
) 2 ( 3
0 , 3 0
) 2 ( 3
) 2 ( 3
x m y
m m
x x
m y
x m y
Khử tham số ta cú quỹ tớch cỏc điểm M cú phương trỡnh y 6x ,x 0
điểm)
c Xỏc định m để điểm M trựng điểm A
Để M trựng A <=> m3 2 m 32
Thay x = 2, m 32 ta cú y = 3
Vậy m 32 thoả món bài toỏn
0.25 0.25
0.25 0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
B i 5 ài 1
5đ C
a)vẽ hỡnh đỳng
A B
N
E P D F
0.5
Trang 4* Tam giỏc OMP vuụng tại M nờn O, M, P thuộc đường trũn đường kớnh
OP
* Tam giỏc ONP vuụng tại N nờn O, N, P thuộc đường trũn đường kớnh OP
* Vậy O, M, N, P cựng thuộc đường trũn đường kớnh OP
b) MP//OC (vỡ cựng vuụng gúc với AB)
NMP NCD (hai gúc đồng vị)
ONC OCN (hai gúc đỏy của tam giỏc cõn ONC)
NMP NOP (hai gúc nội tiếp cựng chắn cung NP)
Suy ra MNO NOP ; do đú, OP//MC
Vậy tứ giỏc MCOP là hỡnh bỡnh hành
c) CND COM g g( )
Nờn OC CM
CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R2
d) Vỡ MP = OC = R khụng đổi
Vậy P chạy trờn đường thẳng kẻ từ D //AB Do M chỉ chạy trờn đoạn AB nờn
P chỉ chạy trờn EF thuộc đường thẳng song núi trờn
0.5
0.5 0.5
0.25
0.25 0.5
0.5 0.5
0.5 05
B i 6 ài 1
4đ
a
Ta có
x = -y
T = x2011 + y2011 = x2011 + (-x)2011 = 0
2 Ta có (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2
(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3)
mà x3 + y4 x2 + y3 do đó
x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta có: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0
x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0
x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0
(x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x2 + y2 x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) 0 (y - 1)(y3 -1) 0
x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 0
(x + y) + (x2 + y3) 2 + (x3 + y4)
mà x2 + y3 x3 + y4
x + y 2 (3)
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x3 + y3 x2 + y2 x + y 2
0.5 0.5
0.5 0.5
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25