Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng... Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng.[r]
Trang 1TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12
@ Bổ túc về đại số:
1 phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là
nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2-ac
với b’=b/2)
a
b x
a
b
x
2
' '
2
,
1
nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì
x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2 tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a +
0 ) (
2
1 x af
x
+
0
0 0
)
0
0 0
)
f
+
0 2
0 ) (
0 2
1
S
af x
0 2
0 ) (
0 2
1
S
af x
x
3 phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = 0
với =a+b; =+c
4 các công thức về lượng giác, cấp số và
lôgarit:
);
2 cos 1
(
2
1
cos
);
2 cos(
sin -);
2 sin(
cos
x x
x
x
) 2 cos 1
(
2
1
sin2x x ; 1+tg2x=
x
2
cos 1
x
2
sin
1 cotg
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a
cấp số nhân: a,b,c,…
a
b b
c
q
I ĐẠO HÀM:
1 Qui Tắc:
1 (u v)’ = u’ v’
2 (u.v)’ = u’v + v’u
'
v
u ' v v '
u v
4 (ku)’ = ku’ (k:const)
2 Công thức:
(xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’
2
'
x
1 x
2
'
u
' u u
x 2
1
u 2
' u
u '
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ =
x cos
1
u cos
'
u
2
(cotgx)’ =
x sin
1
2
(cotgu)’ =
u sin
' u
2
(ex)’ = ex (eu)’ = u’eu (ax)’ = ax.lna (au)’ = u’au.lna (lnx)’ =
x
1
(lnu)’ =
u
' u
(logax)’ =
a ln x
1
(logau)’ =
a ln u
' u
II KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1 Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d:
Miền xác định D=R
Tính y’= 3ax2+2bx+c
y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
tính y’’ tìm 1 điểm uốn
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
- để hs tăng trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs giảm trên D
0
0 0
'
'
y
a y
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox.
Trang 22 Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c:
Miền xác định D=R
Tính y’
y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (2điểm)
đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có 3
n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs có điểm uốn y’’=0 có 2 n0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0; P>0; S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc
>0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet.
3 Hàm nhất biến
d cx
b ax y
Miền xác định D=R\ c
Tính
'
d cx
bc ad y
(>0, <0)
TCĐ x d c vì lim 0
c d
x
TCN y a c vì y a c
lim
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối
xứng
4 Hàm hữu tỷ
e dx
x e
dx
c bx
ax
y
chia bằng Hoocner
Miền xác định D=R\ d
Tính y’=
2 2
.
e dx
p nx mx e
dx
d
y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
TCĐ
d
e
x vì lim 0
d e
x
TCX y x vì lim 0
x
bảng biến thiên
điểm đặc biệt (4điểm)
đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối
xứng
- có 2 cực trị hoặc không y’= 0 có 2 nghiệm
pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là
d
b
ax
yi i
2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0) y=f(x) tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x0)+y0
pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:
(2)
(1)
k x f
y x x k x f
) ( '
) (
)
thay (2) vào (1) giải
pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y=
g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải
pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ
đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
(x) ' ) ( '
) ( ) (
g x f
x g x f
từ
đó tìm điểm tiếp xúc x
3/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’
a/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,+) a>0;
a
b
b/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,+) a<0;
a
b
c/ g(x) = ax2+bx+c 0 trong (,) ag()0; ag()0
{áp dụng cho dạng có m2} d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn
nhất của h(x) (m<minh(x))
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
tăng trên (,+) y’0; x0
giảm trên (,+) y’0; x0
4 Cực trị:
* y = f(x) có cực trị y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)
Trang 3* y=f(x) có cực đại tại x0
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
* y=f(x) có cực tiểu tại x0
0 ''
0 '
0
0
x y
x y
1 T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n0 pb
0
0
a
2 T.Hợp 2: Hàm số / /
2
b x a
c bx ax y
P.Pháp: Tập xác định
\ //
a
b R D
Tính
/ /2
b x a
x g y
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có
hai nghiệm pb thuộc D
0 ) (
0 / / /
a
b g
g
5 GTLN, GTNN:
a Trên (a,b)
Tính y’
Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
;
a b y y
;
a b y y
b Trên [a;b]
Tính y’
Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0 a b ;
Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL:
;
max
a b y M Chọn số nhỏ nhất m , KL:
;
min
a b y m
III Hàm số mũ và logarit:
1 Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
anam =an+m ; n m; ( =am ; a0=1;
m
n
a a
a
a
1
a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn;
a
1
m
n n
b
a b
a
m
a
a
2 Công thức logarit:
logab = c ac=b ( 0< a1; b>0)
Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta
có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga =
2
1
x x
logax1logax2;
aloga x x; logax= logax;
loga x 1loga x; (logaax=x);
logax= ; (logab= )
a
x
b
b
log
log
a
b
log 1
logba.logax=logbx; alog
b x=xlog
b .
3 Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng ax= b ( a> 0 , a0 )
b 0 : pt vô nghiệm b>0 : x log
a
* Đưa về cùng cơ số:
Af(x) = Bg(x) f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng loga x b ( a> 0 , a0 ) Điều kiện : x > 0
a x b x a
logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x)
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4 Bất PT mũ – logarit:
* Dạng ax > b ( a> 0 , a0 )
b 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : x log
a
a b x b , khi a>1
x log
a
a b x b , khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng loga x b ( a> 0 , a0, x>0 )
, khi a >1
a x b x a
log b , khi 0 < x < 1
a x b x a
Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số
y=f(x) trên khoảng (a;b) F/ x f x
, x a ; b
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1. 1 dx x c
1
x dx x c
3. dx x c
x . ln
1
4. Cosx dx Sinx c
5. Sinx dx Cosx c
6. dx tgx c
x Cos .
1
2
7. dx Cotgx c
x Sin2
1
8. ex dx ex c
a
a dx
ax x
ln
Trang 4Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
a dx b ax
1
1
1
a
dx b
1 1
3. Sin ax b c
a dx b ax Cos 1
4. Cos ax b c
a dx b ax
a
dx b ax
1
1
2
a
dx b ax
1
1
2
7. e c
a dx
eax b 1 ax b
a
a m dx
amx n mx n
ln
1
Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của
tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng
hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa
thức
Phương pháp đổi biến số :
b
a
x d x x
f
P.Pháp:
Đặt : t = x dt / x d x
a t a x
b t b x
Do đó:
b
a
b a t F dt t f
Các dạng đặc biệt cơ bản:
1. a
x a
dx I
P.Pháp: Đặt: x a tgt
2
2 t
t Cos
a
Đổi cận:
2.Tính J a a x dx
0
2 2
2 2
int
a x
dx a Cost dt
Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
Cosx Sinx
e x P b
a
x
)
(
Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp:
Đặt u = P(x) du = P(x).dx
dv =
Cosx Sinx
ex
.dx v =
Áp dụng công thức tích phân từng phần
A = b
a
b
a v du v
u
Loại 2: B = b
a
dx b ax Ln x
P ( ) ( )
Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b) dx
b ax
a
dv = P(x).dx v =
Áp dụng: B = b
a
b
a v du v
u
-Dạng :
Sin x dx
A n Hay B Cosnx dx
1 Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức
2
2 1
Sin ;
2
2 1
Cos
2 Nếu n lẻ:
A Sinn 1x Sinx dx
Đặt t Cosx (Đổi sinn 1 x thành Cosx )
-Dạng :
A tgmx dx Hay B Cotgmx dx
PP:Đặt tg2 làm thừa số Thay 2 12 1
x Cos
tg
IV Diện tích hình phẳng:
1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp: DTHP cần tìm là:
S b f x dx a
) (
(a < b)
Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0
Trang 5Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm
không thuộc đoạn a; b thì: b
a
dx x f
S ( ).
Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
a; b Giả sử x = , x = thì
a
) (
) (
)
a
dx
x
f
S ( ) +
dx x
f ). ( +
b dx x
f ). (
2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y
=f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của
phương trình: f(x) = 0
b x
a x
b
a
b
a
dx x f dx x f
S ( ) ( ).
3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
(c1): y = f(x) và(c2): y = g(x) và hai đường
x = a; x = b:
P.Pháp
dx x g x f
S b
a
) ( ) (
HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là
nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
V Thể tích vật thể:
1 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b;
trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn a; b
Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có
thể tích: V b f x dx
a
) (
2
2 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b;
trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn a; b Khi
(H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
g y dy
V b
a
)
(
.
2
IV SỐ PHỨC:
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR
Modun của số phức : z a2 b2
Số phức liên hợp của z = a + bi là
;
z a bi z z ; z z ' z z ' ; z z ' z z '
z z
z z
0
z z z 0 z 0
z z zz z z z z
z z
z z z z
z là số thực z z ; z là số ảo zz
b d
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
a bi c di
a bi
c di c d
Ta có: i1 i i , 2 1, i3 i i , 4 1
.
4n 1, 4n 1 , 4n 2 1, 4n 3
i i i i i i
1 i 2 i 2
1 i 2 i
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a
Xét phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a b c R , , )
Đặt b2 4 ac
o Nếu = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =
2
b a
o Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực :
b x
a
o Nếu < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức :
1,2
2
b i x
a
Định lý Viet :
Nếu phương trình bậc hai
nghiệm z z1, 2 thì :
b
z z
a
z z1 2 c
a
Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số z z1, 2 có tổng
z z S z z1 2 P z z1, 2 của phương trình : z2 Sz P 0
Trang 6HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 sin = AB (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cos = (KỀ chia HUYỀN)
BC
3 tan = AB (ĐỐI chia KỀ) 4 cot = (KỀ chia ĐỐI)
AB
II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC
4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 12 12
AH AB AC
III ĐỊNH LÍ CÔSIN
1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC
IV ĐỊNH LÍ SIN a b c
2R sin A sin B sin C
V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC
a) AM AN MN; b)
AB AC BC AM AN
MB NC
VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1 Tam giác thường:
a) S = 1 b) S = (Công thức Hê-rông)
ah
c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3; b) S =
2
2
a 3 4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3 Tam giác vuông: a) S = 1ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S = 1a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a
5 Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o
b) BC = 2AB c) AC = a 3 d) S =
2
2
a 3 8
6 Tam giác cân: a) S = 1 (h: đường cao; a: cạnh đáy)
ah 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8 Hình thoi: S = 1d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2
9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2
10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11 Đường tròn: a) C = 2 R (R: bán kính đường tròn)
b) S = R 2 (R: bán kính đường tròn)
VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
B
A
N M
C B
A
60 o 30 o
C B
A
G
P
N M
C B
A
Trang 7a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
b) * BG = 2BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
1 3
2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)
Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Chân đường cao trùng
với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3 Đường thẳng d vuông góc với mp():
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là: d ( )
a b a,b
( ) ( )
( ) ( ) a
c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp()
4 Góc giữa đt d và mp( ): d cắt () tại O và A d
Nếu AH ( ) thì góc giữa d và ( ) là hay =
H ( )
ˆ AOH
5 Góc giữa 2 mp() và mp( ):
Nếu
( ) ( ) AB
thì góc giữa () và ( ) là hay EMF ˆ =
6 Khoảng cách từ điểm A đến mp():
Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ( ))
IX KHỐI ĐA DIỆN:
1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2 Thể tích khối chóp: V = 1 (diện tích đáy là đa giác)
Bh 3
3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C
S.ABC
4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1 (diện tích đáy là đường tròn)
Bh 3
6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = R2h ( h: chiều cao khối trụ)
8 Diện tích của mặt cầu: S = 4 R2 (R: bk mặt cầu )
9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3(R: bán kính mặt cầu)
R
3
F
E
M B
A
H
A
d' d
Trang 8PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN
I CƠNG THỨC VECTƠ:
Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho
a a1; a2; a3
b b1; b2; b3 và
R
k
Ta cĩ:
1) a b a1 b1; a2 b2; a3 b3
2) k a ka1; ka2; ka3
3) a b a1b1 a2b2 a3b3
4) a a12 a22 a32
5) Tích cĩ hướng của hai vectơ và làa b
2 1
2 1
1 3
1 3
3 2
3
,
b b
a a b b
a a b b
a a b
a
6) a , b a . b . Sin a , b
7)
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a b
a
8) a cùng phương b , 0
9) a a b hay
,
b a b
,
10) , , đồng phẳng a b
c a , b c 0
11) a b a1b1 a2b2 a3b3 0
Ứng dụng của vectơ:
S ABC AB , AC
2
1
VHộpABCD A B C D
VTứdiệnAB CD AB , AC AD
6
1
II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog khơng gian Oxyz cho A xA; yA; zA
B xB; yB; zB
1) AB xB xA; yB yA; zB zA
A B A
B A
x
3) G là trọng tâm ABC, ta cĩ:
3 3 3
C B A G
C B A G
C B A
G
z z z z
y y y y
x x x x
4) G là trọng tâm tứ diện ABCD
0
4 4 4
D C B A G
D C B A G
D C
B A G
z z z z z
y y y y y
X x
x x x
5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta cĩ:
,
k
kz z
z
k
ky y
y
k
kx x
x
B A
M
B A
M
B A
M
1 1
1
1
k
6) I là trung điểm của đoạn AB thì:
2 2 2
2
z z z
y y y
x x x
A I
B A I
B A I
III MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp cĩ cặp VTCP là :
a a1; a2; a3
b b1; b2; b3
Nên cĩ VTPT là:
n
2 1
2 1
1 3
1 3
3 2
3
,
b b
a a b b
a a b b
a a b
a
2) Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 Với A2 B2 C2 0 ; trong đĩ n A ; B ; C
là VTPT của mp
3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:
(Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
(Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:
1 : A1x B1y C1z D1 0
2 : A2x B2y C2z D2 0
P.tr của chùm mp xác định bởi 1 và 2 là:
A x B y C z D A x B y C z D
với 2 2 0
5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp:
Tìm VTPT n A ; B ; C và điểm đi qua
0 0 0
0 x ; y ; z M
Trang 9 dạng:
x x0 B y y0 C z z0 0
A
Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba
điểm A, B, C
P.Pháp:
Tính AB, AC
Mp (ABC) có VTPT là n AB , AC và
qua A
Kết luận
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp đi qua điểm
A và vuông góc BC
P.Pháp:Mp BC Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:
Trục Ox chứa i 1 ; 0 ; 0
Trục Oy chứa j 0 ; 1 ; 0
Trục Oz chứa k 0 ; 0 ; 1
Vấn Đề 4: Viết phương tình mp là mặt phẳng
trung trực của AB.
P.Pháp:
Mp AB Nên có VTPT là AB đi qua I
là trung điểm của AB
Kết luận
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
0 0 0
0 x ; y ; z
M
: Ax By Cz D 0
P.pháp:
// Nên phương trình có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0/
M
Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi qua hai
điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
P.Pháp:
Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT của
(Q) là nQ
Mp (P) có VTPT là n AB , n Qvà qua A
Kết luận
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp đi qua các
điểm là hình chiếu của điểm M x0; y0; z0 trên
các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của
điểm M trên Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0)
, M3(0;0;x0)
* Phương trình mp là: 1
0 0
z
z y
y x x
Vấn Đề 8: Viết phương trình mp đi qua điểm
M 0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q).
P.Pháp:
(P) có VTPT là nP
(Q) có VTPT là nQ
Mp có VTPT là n ,P nQ và qua M o
Kết luận
Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
Xác định tâm I của mặt cầu (S)
Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT :
IA
Viết phương trình tổng quát
IV ĐƯỜNG THẲNG:
Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
D z C y B x A
D z C y B x A
với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2
2) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm M0 x0; y0; z0 có VTCP
là:
a1; a2; a3
a
t a z z
t a y y
t a x x
3 0
2 0
1 0
t R
3) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua
điểm M0 có VTCP: a a1; a2; a3 là
Với 3
0
2
0
1
0
a
z
z a
y
y a
x
0
2 3
2 2
2
a
Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng tổng
quát.
:
0
0
2 2 2 2
1 1 1 1
D z C y B x A
D z C y B x A
P.Pháp:
có VTCP là :
2 1
1 1 2 2
1 1 2 2
1
B A
B A A C
A C C B
C B a
Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng :
P.Pháp:
Cần biết VTCP a a1; a2; a3 và điểm
0 0 0
0 x ; y ; z
Viết phương trình tham số theo công thức (2)
Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)
Viết phương trình tổng quát thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:
Trang 10
3
0
1 0
2
0
1 0
a
z
z a
x x
a
y
y a
x x
Rút gọn về dạng (1)
Chú ý:
Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số
Hoặc chính tắc Ta tìm:
- VTCP u a1; a2; a3 bằng vấn đề 11
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó
Giải hệ tìm x, y => z
- Có điểm thuộc đường thẳng
- Kết luận
Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
0 0 0
0 x ; y ; z
M
: Ax By Cz D 0
P.Pháp:
Mp có VTPT là n A ; B ; C
Đường thẳng đi qua điểm M 0 và có VTCP là n
Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát
Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d
trên mp
P.Pháp:
Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp
Gọi là mặt phẳng chứa d và
Nên có cặp VTCP là
VTCP của d là ud và n là VTPT của mặt
phẳng
Mp có VTPT n u d, n
Mp đi qua điểm M0 d
Viết phương trình tổng quát của Mp
Phương trình đường thẳng d/:
:
:
Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d
qua điểm M0 x0; y0; z0 và vuông góc với hai
đường 1 và 2
P.Pháp:
1 có VTCP u1
2 có VTCP u2
d vuông góc với 1 và 2 Nên d có VTCP là
u1,u2
u d
Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A và cắt cả hai đường 1 và 2
P.Pháp:
Thay toạ độ A vào phương trình 1 và 2
2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 1
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 2
P.tr đường thẳng d:
:
:
Q P
Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d
cắt cả hai đường và
P
P.Pháp:
Gọi A 1 P
Gọi B 2 P
Đường thẳng chính là đường thẳng AB
Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d //
d 1 và cắt cả hai đường 1 và 2 P.Pháp
Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 và (P) // d1
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và (Q) // d1
d P Q
Phương trình đường thẳng d
:
:
Q
P
Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 P.Pháp:
Gọi và u1 u2lần lượt là VTCP của 1 và 2
Gọi v u 1,u 2
Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 và có một VTCP
là Nên có VTPT là v n P u , v phương
1
trình mặt phẳng (P)
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 2 và có một VTCP
là Nên có VTPT là v n Q u , v phương
2
trình mặt phẳng (Q)
Phương trình đường vuông góc chung của 1 và
: 2
:
:
Q P
Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d
vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng 1 và 2
P.Pháp:
Gọi là mặt phẳng chứa 1 và có một VTCP
là nP ( VTPT của (P) )
Gọi là mặt phẳng chứa 2 và có một VTCP
là nP ( VTPT của (P) )
Đường thẳng d
Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm M 0 vuông góc với đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2
P.Pháp: