Ôn thi đại học cấp tốc môn Toán - Trường THPT Bình Giang

Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí Phương pháp khảo sát hàm số Néi dung c¸c bµi to¸n tiÕp tuyÕn, giíi thiÖu néi dung 3 bµi to¸n tiÕp tuyÕn Bài toán sự tương giao giữa các đồ thị của hàm số, điề[r]

Trang 1

Chuyên đề số 1: Khảo sát

hàm số và ứng dụng

Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu

hỏi phụ

Một số kiến thức cần nhớ

Phương pháp khảo sát hàm số

Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu

nội dung 3 bài toán tiếp tuyến

Bài toán sự tương giao giữa các đồ thị của

hàm số, điều kiện để 2 đường cong tiếp xúc

Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa

thức, hàm phân thức phương trình đường

thẳng đi qua các điểm cực trị

Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến

hay nghịch biến trên một khoảng hay một

đoạn

Các ví dụ

Bài 1: Cho hàm số

) 1 ( 3

6

2





x

m x x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số với m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(1;+)

) 1 ( 1

2 2 2









x

x x y

số

2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và

đối xứng nhau qua đường thẳng x-y+4=0

) 1 ( 1

2 2 2









x

mx x

y

số khi m=1

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B

CMR khi đó đường thẳng AB song song

với đường thẳng 2x-y-10=0

) 1 ( 3 ) (x m 3 x

y   1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số khi m=1

2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

điểm có hoành độ x=0

3) Tìm k để hệ sau có nghiêm





















1 ) 1 ( log 3

1 log

2 1

0 3

1

3 2

2 2

3

x x

k x x

) 1 ( 3

1 2 2 3

1 3  2   

y

1) Cho m =1/2 Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số , Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng D: y=4x+2

2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các

đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4

) 1 ( 3 1

2

m x

m mx

x y





 1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số m=1 2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về

2 phía của trục tung Bài 7: Cho hàm số

) 1 ( 1

) 2 ( 2









x

m x m x y

số m=-1 2) Tìm m để đường thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua

đường thẳng y=x Bài 8: Cho hàm số

) 1 ( 1

1







x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm 2) Tìm m để đường thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau

3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất

) 1 ( 1

1 2





x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

Trang 2

2) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận ủa (C

) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp

tuyến tại M vuông góc với dường thẳng IM

) 1 ( 1

2 2 2

x m x y

số khi m=1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm

cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông

cân

Bài 11 Cho hàm số

) 1 ( 1

2





x

x y

Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ được

2 tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tương

ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox

HD a -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt

Y1.y2<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1

Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm

số

Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên một

khoảng, một đoạn

Xác định tham số để các phương trình hoặc

bất phương trình có nghiệm VD

F(x)=m  m thuộc [MaxF(X);

minF(x)]

F(x)>m với mọi x <=>

m<minF(x)

F(x)>m có ngiệm <=>

m<MaxF(x)

Chú y khi đổi biến phải tìm ĐK của biến

mới có thể sử dụng phương pháp miền giá

trị

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên

đoạn [-1;2]

1

2 





x

x y

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên

đoạn [1;e3]

x

y ln2 Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên

đoạn [-1;1] y x6 4(1x2)3

Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có

nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]

) 3 5 2 ( )

3 ).(

2 1

HD Đặt t= (12x).(3x) Từ miền xác

đinh của x suy ra 













4

2 7

; 0

t

Biến đổi thành f(t)=t2+t>m+2 Tìm miền giá trị của VT m<-6 Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]

2 2

a

HD Đặt t=x2+x dùng miền giá trị suy ra a=-1

Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

m x

x x

x2  1 2  1

HD -1<m<1 Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x

0 12 24 36

cos 15 sin

36 3 cos 5 cos 3

2

2 4









m m

x x

HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2 Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên [-/2; /2]

2

) cos 1 ( 2 sin 2

Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm

x x

y2sin8 cos42

HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm

2x 2 x (4x 4 ) voi 0 x 1x

HD : 3 và 1/27

Bài 3: Tính giới hạn của hàm số, tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp tính giới hạn của hà số: các dạng vô định

Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục bên trái liên tục bên phải

Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm bên trái bên phải

Các ví dụ

Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số

1) Tìm giới hạn

x

x x

I

x

3 0

1 1





Trang 3

2) Tìm giới hạn 2 3 2

1

lim

1

x

I

x





 3) Tìm giới hạn

x

x x

I

1 2 1 3

3 2









3 2 0

0

3 4 7

lim

9 2

x

I

x

I

sinx

I

x





 

4

2

3 3

2 2 2

lim

2

2 3

1

lim

x

x x

I





 

 



  

 



2

lim 3 2 tach lam 2 chen them x

x







2 0

3 0

0

3

lim

1 cos 2 lim

.sin sin lim

1 cos cos 2 cos 3 lim

1 cos sin

3 lim

1 2 s

x

cosx I

tg x x I

x x tgx x I

x

I

x x

I

co x





 

















  



 8) Tìm giới hạn 6 2

1 ( 1 )

5 6 lim









x x I

x

3 2 2 0

3

2 1

1 1 lim

lim

1

x

x I

x

I

x



 





Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2

khi x 2

1 khi 2

x



  

 2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

1 cos 4

khi x<0 sin 2

( )

x+a khi 0 x+1

x

f x

x

 



 



3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

2

khi x=0

x

a

x







2 4 1( 2) ( )

x

f x

ax b x





 



số cá đạo hàm tại x=2 5) Cho ( ) ( 2 1). khi x>0

-x -ax+1 khi 0

x

f x

x



 



 





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 6) Cho ( ) ( 2 ). khi x<0

ax +bx+1 khi 0

bx

x a e

f x

x



 



 





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2

Trang 4

8) Cho hàm số CMR hàm

( )

3 1

f x

x





số liên tục tại x=-3 nhưng không có đạo

hàm tại x=-3

9) Cho

cos cos3 1

khi x 0 ( )

e

x





 



Tình đạo hàm của hàm số tại x=0

Bài tập áp dụng

1) Cho hàm số

) 1 ( 1

2







x

m x mx y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số m =-1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục

hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ

dương

2) Cho hàm số

) 1 ( 2

2 2









x

m x x y

hàm số khi m=1

b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến

trên đoạn [-1;0]

c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

0 1 2 3

)

2 (

91  1 t2  a t 1 t2  a 

3) Cho hàm số yx4 mx2 m 1 ( 1 ) Tìm

m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt

4) Cho hàm số

) 1 ( ) 1 ( 2

3 3 2









x

x x y

hàm số

b) Xác định m để đường thẳng y=m cắt

đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao

cho AB=1

5) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 2

4

2 2

1 1

1 2

) 2 1

1 (

x x

x

x x

m















6) CMR phương trình sau có 1 nghiệm

) 1 ( 0 1 2 2

5 x  x 

x

7) Cho hàm số

) 1 ( 1

1 )

1 ( 2





x

m x m x y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1

b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20

8) Cho hàm số

) 1 ( )

( 2

4 )

1 2

2

m x

m m x m x

y



 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của

đồ thị của hàm số

1

2 2 2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

b Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C )

và đối xứng nhau qua đường thẳng x-y-4=0

10) Cho hàm số

) 1 ( 2

3 2

2  

 x x y

Tìm trên đường thẳng y= - 2 các điểm từ

đó nhìn đường cong dưới một góc vuông

ĐS M(55/27;-2) 11) Cho hàm số ( 1 )

1

1 2







x

x x y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi

b) Một đường thẳng thayđổi song song với đường thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm số đã cho tại M,N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình

0 1 )

1 (

2  m x m 

x

12) Cho hàm sốyx4  4x2 m ( 1 ) Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau

HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1,

x2, x3, x4, là nghiệm

Trang 5

Strên= Sduói<=>

3

0

x

f x dx  f x dx

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly

viét m=20/9

2

9 2 2









x

x x y

hàm số

b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt

đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận

A(5,10) là trung điểm

14)Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

2

4 x

x

y  

2 2

4 3 2

x

x x y







 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số

b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau

qua đường thẳng y=x

16)Cho hàm số 2 2 1 (1)

1

x x y

x

 



 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số

b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc

(C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ

thuộc vào vị trí của M

17)Cho hàm số

(1) 1

y

x



 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của

hàm số m=1

b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng

cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5

Chuyên đề số 2: Đại số

Bài 1: Hệ phương trình phương

trình đại số

Một số dạng hệ phương trình thường gặp

1) Hệ phương trình bậc nhất : cách tính định

thưc

2) Hệ phương trình đối xứng loại 1 :hệ không

thay đổi khi ta thay x bởi y và ngược lại

3) Hệ phương trình đối xứng loại 2: nếu trao

đổi vai trò của x và y thì phương trình này

trở thành phương trình kia và ngược lại

4) Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 : Xét 2

trường hợp sau đó đặt x=t.y

5) Một số hệ phương trình khác

Các ví dụ

Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình















8

) 1 )(

1 (

2

2 y x y x

m y

x xy

a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm

2) Cho hệ phương trình

1 1

2

a

x y

  





   



Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

3) Cho hệ phương trình

1

x xy y







Tìm m để hệ có nghiệm 4) Cho hệ phương trình

















2 2

x

a y x

a) Giải hệ khi a=2 b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y)

là nghiệm của hệ 5) Cho hệ phương trình



















y m x

x m y

2

) 1 (

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 6)





















2 2

x y

y x

7)

















m y

x x

y y

x

y x

1 1

3 1 1

a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2:

(KB 2003)



















2 2 2 2

2 3

y

x x x

y y

HD:

Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm

Bài 3:















 35 8

15 2

3 3

2 2

y x

xy y x

Trang 6

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt

S=2x+y và P= 2x.y

Đs : (1,3) và (3/2 , 2)

Bài 4:



















) 2 ( 1

) 1 ( 3 3

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :

f t t3 3t trên [-1,1] áp dụng vào

phương trình (1)

Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm

duy nhất



















x

a x y

y

a y x

2 2

2

HD:













2 2 3

y x

xét f(x)2x3 x2 lập BBT suy ra KQ

Bài 6:





















2 2

x y

y x

HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2

Bài 7: xác định a để hệ có





















) 1 (

2

x a y xy

y a x xy

nghiệm duy nhất

HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Bài 8:



















) 2 ( 5

) 1 ( 20 10

2

y xy

x xy

y y

y

x5 2  5 

Cô si  5  y  2 5

y x

x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y





















2

) 1 (

3

y x y

x

y x y x

HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung

(1;1) (3/2;1/2)





















a y x

a y

x

3

2 1

nghiệm

HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được

hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu

Bài tập áp dụng 1)

















49 5

56 2

6

2 2

y xy x



















) ( 3

2 2

y x y

x

y y x x

3)



















0 9 5

18 ) 3 )(

2 (

2

y x x

y x x x

4)





















2

) ( 7

2 2

3 3

y x y x

y x y

x

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm



















m xy

x

y xy

26

12

2 2

nghiệm

6) dặt t=x/y có 2 nghiệm

















19

2 ) (

3 3

2

y x

y y x















6 4

9 ) 2 )(

2 (

x

y x x

x

Y=2x+y





















4

) 1 ( 2 2 2 2

x

y x y x

theo v,u từ phương trình số (1)



















2 2

3 3

3

6

19 1

x xy

y

x y

x

được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)





















1 2

1 1

3

x y

y

y x x

HD: x=y V xy=-1

Trang 7

CM x4  x20 vô nghiệm bằng cách

tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm

11) xác định a để hệ có



















a x y

a y x

2

) 1

(

) 1

(

nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần

và đủ





















3

3 2 2

xy y

x

y y

x



















78

1 7

xy y xy

x

xy x

y y

x

(1) với xy

Bài 2: Phương trình và bất phương trình

phương trình đại số

Một số dạng phương trình và bất phương

trình thường gặp

1) Bất phương trình bậc hai

Định ly về dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp hàm số

2) Phương trình ,bất phương trình chứa giá trị

tuyệt đối

B A B B

A

B A

B A B

A

B A B

A





























3) Phương trình ,bất phương trình chứa căn

thức

Liệt kê các dạng

Một số ví dụ

Bài 1: Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m

Tìm m để bất phương trình trên nghiệm

đúng với mọi x

HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2

Bài 2:

Tìm a để hệ sau có nghiệm





















2 )

1 ( 2

2

a y

x x

y

x

HD:

























) 2 ( 1 )

2 ( ) 1 (

) 1 ( 2

2

x

y x

TH1: a+1≤0 Hệ vô nghiệm TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là đường tròn còn (1) là miền gạch chéo : a≥-1/2

Bài 3: Giải các phương trình ,bất phương trình sau

1) 8x2 6x14x10

2) x4 1x  12x : x=0 3) 2 (x2  2x)  x2  2x 3  9  0 x 1  5 4) x x2  1  x x2  1  2 tích 2 nhân

tử bằng 1 suy ra cách giải 5) (x2 3x) x2 3x20 KD 2002 Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm

ĐS m>=4





















0 1

2

0 9 10

2

m x

x

x x

Bài 5: Giải bất phương trình

2 2

1

HD

 nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

 Biến đổi về BPT tích chú y ĐK

7 2

1 2 2

3

x

x x x

HD Đặt , 2 AD BĐT cô si suy

2

1





x x

t

ra ĐK

4 )

1 1

2







x

HD

 Xét 2 trường hợp chú y DK x>=-1

 Trong trường hợp x>=4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Bài 8: Cho phương trình

m x x x

x 9   2 9 

Tìm m để phương trình có nghiệm HD

 Bình phương 2 vế chú y ĐK

 Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t

 Sử dụng BBT suy ra KQ

Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004)

3

7 3 3

) 16 (











x

x x

Bài tập áp dụng

Trang 8

1) Tìm a để hệ có nghiệm

















0

1 2

2

a

y

x

x y

x

duy nhất Tìmnghiệm duy nhất đ

ĐS a=-1 và a=3

2) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

m x

x2 164 

4

3) x4 x4 2x122 x2 16

4) x12  x3 2x1

5) 2(1x) x2 2x1 x2 2x1

HD đặt t  x2 2x1 coi là phương trình

bậc hai ẩn t

6) (x 1 )x  ( 2 x)x  2 x2

7)

2

3 1

) 2 ( 1

x

8) Cho phương trình

m x

x x

x 4  4    4  

a)Giải phương trình khi m=6

b)Tìm m để phương trình có nghiệm

1

2





x

x x

10) x2  3x 4  2x 3  2  0

11) Tìm a để với mọi x

ĐS a>=4 V a<=0

3 2

)

2

(

)

f

Chuyên đề số 3: Lượng

giác Bài 1: Phương trình và hệ phương trình

lượng giác

 Các công thức biến đổi lượng giác

 Một số dạng phương trình cơ bản

 Phương trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số

lương giác

 Phương trình đẳng cấp bậc nhất với

sinx,cosx: asinx+bcosx=c

 Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx:

a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0

 Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx:

a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x=0 a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0

 Phương trình đối xứng với sinx,cosx a.(sinx±cosx)+b.sinx.cosx+c=0

 Phương trình đối xứng với tgx,cotgx

 Phương trình đối xứng với sin2nx,cos2nx

Các ví dụ

Bài 1:

x

x tgx

gx

2 sin

4 cos 2

HD: đặt ĐK x= ± pi/3 +k.pi

Bài 2:

) 1 (sin 2

1 3

2 cos

3









 













HD: Sử dụng công thức hạ bậc

x

3 cos ).

2 cos(

2

ĐS 3 họ nghiệm

Bài 3:

2 sin

2 sin 2 sin

sin

2

2 2

2





x

x x

x

HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm

Bài 4:

8 1 3

6

3 cos cos 3 sin















 











 





x tg x

tg

x x x

x

HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1

AD công thức nhân 3

ĐS x=-pi/6+k.pi

Bài 5:

0 cos 6 ) sin 2 (

HD: Biến đổi theo sin và cos

0 ) cos 2 1 ( sin ) cos 2 1 ( cos

ĐS x=± pi/3+k.pi

Bài 6:





















) sin(

6 sin 2 2

) sin(

2 sin 6 2 3

x y x

y tg

x y x

y tg

HD: nhân (1) với (2) rút gọn

đặt

y

tg2 4 sin 2











 2

2 y tg t

t=0, t= ± can 3

Bài 7:

Trang 9

x x

x x x

2

1 sin 4 cos 2

sin

.

3

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn

Bài 8:

2

1 5

cos 4

cos 3 cos 2

cos

cosx x x x x 

HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet

trường hợp bằng 0

NX: Trong bài toán chứa tổng

thực hiện rút gọn

nx x

x

T

nx x

x

T

sin

2 sin

sin

cos

2 cos

cos









bằng cách trên

Bài 9:

) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin

HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)

Bài 10

4 2 log

4

2

9











) (sin log

2 log

sin

x

x x

Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương

trình có tham số

 Phương pháp hàm số: Bài toán Max,Min

trên 1 khoảng và một đoạn

 Phương pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh

giá

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN

x x

2 4

cos 2 sin 3

sin 4 cos 3





HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn

M=8/5 m=4/3

tgx x

m

x cos 1 2

1) Giải phương trình khi m=1

2) Tìm m để phương trình có nghiện thuộc

đoạn [0; pi/3]

HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]

Lập BBT f(t) ĐS m(1 3) 1 3;1

Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN

x x

y2.sin8 cos42

HD: t=cos2x, -1≤t≤1 tìm Max,Min trên 1

đoạn f, t 08t3 (t1)3

M=3 m=1/27

Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN

1 cos sin sin

y

0 2

sin 2 4 cos ) cos (sin

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; pi/2]

HD: [-10/3;-2]

3 cos 2 sin

1 cos sin

2









x x

a

1) Giải phương trình khi a=1/3 2) Tìm a để phương trình có nghiệm

HD: Đưa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1

ĐS [-1/2,2]

Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)











 







4

3 cos

2 1 2 cos 3 2 sin

x x

x

Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác

*Một số phép biến đổi thường dùng + Cung liên kết

+ Công thức cần nhớ

2

2Sin A B Cos A B SinB

2 2

2Cos A B in A B SinB





2

2Cos A B Cos A B CosB

2 sin 2

2Sin A B A B CosB

2

1 SinB Cos A B Cos A B

2

1

2

1 CosB Cos A B Cos A B

*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ

Trang 10

2 2 2 4 SinB SinC Cos A Cos Cos C

2

sin 2

sin 2 sin 4 1

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

2 cot 2 cot 2

cot 2

cot

2

cotg A g B g C  g A g B g C

1 2 2 2

.

2

.

2 tg Btg B tg C tg C tg A

A

tg

cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1

sC CosACosBCo C

Sin B

Sin

A

Sin2  2  2  2  2

C B A C

Cos B Cos

A

Cos2  2  2  1  2 sin sin sin

Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC

Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC

Các ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR

1 2 2 2 2

.

2

.

2 tg B  tg B tg C tg C tg A 

A

tg

Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

3 3





tgA

dấu “=” xảy ra khi nào?

HD: áp dụng bđt cosin

3

3 tgA tgB tgC tgC

tgB

lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta được

đpcm.

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.

VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) –

cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC

thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,

cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm.

Bài 4:CMR với mọi tam giác ABC ta có

 1

2

sC CosACosBCo C

Cos B Cos A



Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi

2

2A Sin BSin C

Sin

Bài 5:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

2tgA=tgB + tgC CMR tgB.tgC = 3 Và Cos(B-C) = 2CosA









tgC tgB

tgC tgB C

B tg

1 ) (

Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)

đẳng thức (*)

Bài 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có











2

cot 2

cot 2 2 2 2 1

sin

1 sin

1

A g

C tg

B tg

A tg

C B

A

2

cot 2

cot 2 cot 2 cot 2 cotg A g B g C  g A g B g C

áp dụng công thức nhân đôi

Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có

C B A B

A C CCosA

B

C Sin B Sin A Sin

cos sin sin 2 cos sin sin sin

sin 2

2







Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C Thoả mãn đk 4A=2B=C CMR:

c b a

1 1 1





4

5

2ACos BCos C

Cos

Bài 9:CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:

C B

A R

r

cos cos

cos

Bài 10:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

, CMR tam giác ABC cân

bc

a A Sin

2

2 

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	369,79 KB