Ôn tập TN THPT môn Hình (chương I - II)

Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 1 Mặt phẳng A'BC hợp với đáy ABC một góc 60o.. GV: Nguyễn Văn Khỏi.[r]

CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG:

M

G

a

A

Trọng tâm G của tam giác

là giao điểm ba đường trung

tuyến, vàAG AM .

3

2



h c

h b

H

h a

a

A

Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm

ba đường cao.

B

A

C

Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm

ba đường trung trực.

I r

a

A

Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm

ba đường phân giác trong.

1 Tam giác vuông ABC vuông tại A:

 Hệ thức lượng:

B 

A

C

sin = cos =

BC

AC

BC AB

tan = cot =

AB

AC

AC AB

 Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2

 Diện tích: S = AB.AC

2 1

M H B

A

C

 Nghịch đảo đường cao bình phương: 1 2 12 1 2

AC AB

 Độ dài đường trung tuyến AM = BC

2 1

 Công thức khác:

AB.AC = AH.BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB

2 Các công thức đặc biệt:

 Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2   Chiều cao tam giác đều: h = cạnh 

4

3

2 3

 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2

3 Hệ thức lượng trong tam giác:

 Định lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC

C

c B

b A

a

2 sin sin

4 Các công thức tính diện tích tam giác ABC:

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là ha, hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC; Gọi S là diện tích ABC:

2

1 2

1 2

2

1 sin 2

1 sin 2

R

abc

2

c b

a 

5 Diện tích các hình đặc biệt khác:

 Hình vuông: S = cạnh  cạnh  Hình thoi: S = (chép dài  chéo ngắn)

2 1

 Hình chữ nhật: S = dài  rộng  Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé)  chiều cao

2 1

6 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

N

P M

B

 ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau

 Nếu ABC ∽MNP thì

MP

MN

AC AB 

N

B

A

C M

BC

MN AC

AN AB

AM





II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG:

Hình chóp tứ giác đều

I

C B

S

Hình chóp có mp(SAB)  (ABC)

S

C H

Hình chóp tam giác đều

G

B S

Hình chóp S.ABC có cạnh bên

vuông góc mặt đáy.

A

B

C

S

Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo

với đáy một góc .







I

S

A

B C

Lăng trụ thường

C'

B'

B A'

Lăng trụ đứng

C'

B'

B A'

* Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng

trụ đứng có đáy là đa giác đều.

Hình hộp thường

C' B'

D'

D A

A'

Hình hộp chữ nhật

D'

C' B'

D A

B

C A'

* Chú ý: Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông.

III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:

1 Một số phương pháp chứng minh trong hình học không gian:

 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp(P) ta chứng minh 

vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong mp(P)

b a

P

A

Trình bày bài giải:

Ta có:



















) (

) (

P b

P a

   (P)

 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta

chứng minh  vuông góc với mp(P) chứa d

d



P

Trình bày bài giải:

Ta có:   (P)  d    d

 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

Phương pháp:

Để chứng minh mp(Q)  mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa một

đường thẳng  vuông góc mp(P)

 Q

P

Trình bày bài giải:

Ta có:















) (

) (

Q P

 (Q)  (P)

2 Hai định lí về quan hệ vuông góc:

 Định lí 1: Nếu mp(P) và mp(Q) cùng vuông góc

với mp() thì giao tuyến (nếu có) của chúng

vuông góc mp()





Q P

 Định lí 2: Cho mp(P) vuông góc mp(Q) Một đường thẳng d nằm trong mp(P) vuông góc với giao tuyến  của (P) và (Q) thì d vuông góc mp(Q)

Q

d P

3 Góc:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng  và mp() là góc

giữa  và hình chiếu ' của nó trên mp()





' H

 Trình bày bài giải:

 Ta có ' là hình chiếu của  trên mp()

 Suy ra: (,()) = (,') = 

Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (), () và cùng vuông góc với giao tuyến



Q

P I



d'

d

 Trình bày bài giải:

 Ta có



























 ' ) (

) (

) ( ) (

d Q

d P

Q P

 Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = 

4 Khoảng cách:

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng  và

mp() song song với nó là khoảng cách

từ một điểm M trên  đến mp()





H M

 Trình bày bài giải:

d(,()) = d(M,()) = MH

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ' chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của  và ' và bằng với khoảng cách giữa  và mp() chứa ' và song song với 

A

'



H

N M



 Trình bày bài giải:

d(,') = d(,()) = d(A,()) = AH

5 Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu:



 d'

d

H

Gọi d' là hình chiếu của d trên () Ta có:

  d'    d

S'

S





A'

C

B A

S' = Scos

 Ghi chú:

PHẦN II/ KIẾN THỨC CƠ BẢN LỚP 12

KHỐI ĐA DIỆN

I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V=B.h với B : diện tích đáy

h : chiều cao







a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương:

V=a3 với a là độ dài cạnh

b c

a a a

2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

V= Bh với 1

3

B : diện tích đáy

h : chiều cao







3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’

là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,

SB, SC ta cĩ:

SABC

SA ' B'C'

B A

C

S

C'

3 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:

h

3

với B, B' : diện tích hai đáy

h : chiều cao







B A

C

A' B'

C'

Chú ý:

- Đường chéo của hình vuơng cạnh a là a 2, Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3, Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là a2b2c2 ,

-Đường cao của tam giác đều cạnh a là 3

2

a

- Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)

- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều

- Khối đa diện thoả:

+ Mỗi mặt của nĩ là một đa giác đều p cạnh

+ Mỗi đỉnh của nĩ là đỉnh chung của đúng q mặt

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}

Người ta CM được: Chỉ cĩ 5 loại khối đa diện đều Đĩ là loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3}, loại {3; 5}

Loại{3; 3}-Tứ diện

đều

loại {4; 3}- Hình

lập phương

loại {3; 4}- Bát

diện đều loại {5; 3}-Thập nhị diên đều loại {3; 5}-Nhị thập diên đều

KHỐI TRỊN XOAY

1/Cơng thức tính diện tích và thể tích khối nĩn

1 Hình trụ-

2 trụ

R : bán kính đáy

S 2 Rl với

l : đườngsinh

R : bán kính đáy

V R h với

h : đường cao









R

2 Hình nĩn –

2 nón

R : bán kính đáy

S Rl với

l : đườngsinh

R : bán kính đáy 1

V R h với

3 h : đường cao







h

R

3.Hình nĩn cụt

– Khối nĩn cụt: xq

2 2 nóncụt

S (R R')l

1

3 R,R' : bán kính 2 đáy với l : đườngsinh

h : đường cao

  











R'

R

4 Mặt cầu –

Khối cầu:

2

3 cầu

S 4 R với R : bán kính mặt cầu

4

V R với R : bán kính khối cầu

3

 

 

R

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a

và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ.

2

Lời giải:

Ta có  ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA' AB   AA'B  AA'2  A'B AB 8a2 2  2  AA' 2a 2 

Vậy V = B.h = SABC AA' = a 23

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích

khối lăng trụ này

5a 4a

B' A'

B A

Lời giải:

ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên

BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD 3a  ABCD là hình vuông AB 3a

2

Suy ra B = SABCD = 9a2

4 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam

giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ.

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ? + Từ diện tích  A'BC suy ra cạnh nào ? tại sao ? + Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC đều nên

AB 3

3 &

2

AI 2 AI BC A'I BC(dl3 ) 

A'BC A'BC

2S 1

AA' (ABC)   AA' AI   AA'  A'I2 AI2  2

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= 8 3

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy

bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích hình hộp

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?

+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?

B'

A

B

C I

D

B'

C'

A'

C

D'

C'

B' B

D'

A

Lời giải:

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

và SABCD = 2SABD =

2

2 Theo đề bài BD' = AC = 2 a 3 a 3

DD'B  DD'  BD' BD   a 2



Vậy V = SABCD.DD' = a 63

2

Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình

vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp

này

D'

A'

C'

B' D

A

C

B

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm h = AA' ? Tại sao ? + Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ?

Giải

Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có

AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm

và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a Tính thể tích và

tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ ĐS: V a 33 ; S = 3a2

4



Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6  Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2a3

Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2

lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ Đs:V = 240cm3 và S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt

bên là 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao

lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3

Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ

bằng 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3

Bài 7.Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình

cộng các cạnh đáy Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2888

Bài 8 Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 Tính thể tích khối lập phương

Đs: V = 8 m3

Bài 9:Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp

là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3

Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5; 10; 13 Tính thể tích khối

Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC

= a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60 0 Tính thể tích lăng trụ.

*) Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)   A'A AB& AB  là hình chiếu của A'B trên đáy ABC

Vậy góc[A'B,(ABC)] ABA' 60  o

0

ABA'  AA' AB.tan 60   a 3



SABC = 1 BA.BC a2

Vậy V = SABC.AA' = a 33

2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a ,

= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30 0 Tính AC' và thể tích lăng trụ.



ACB

Phân tích *) Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C) Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?

*) Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

o a 3

ABC  AB AC.tan60  



Ta có: AB AC;AB AA'  AB (AA'C'C) nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C)

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = BC'A = 30o

o

AB

tan30



V = B.h = SABC.AA'

2 2

AA'C'AA' AC' A'C' 2a 2



ABC

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của

lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30 0 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ

Phân tích

*) Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ

*) Dựng BD' và BD ?

phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?

*) Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD DD' (ABCD) DD' BD

Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 30  0

3

 Vậy V = SABCD.DD' = a 63 S = 4SADD'A' =

3

2

4a 6 3

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 60 o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30 o Tính thể tích của hình hộp.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD) Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Dựng BD Suy ra ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào? D

+Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải  ABD đều cạnh a SABD a 32

4

SABCD 2SABD a 32

2

 ABB' vuông tạiB  BB' ABt an30  o  a 3 Vậy V B.h SABCD.BB' 3a3

2

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt bên

(AA'B'B) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Va 3 2 /16

Bài 2 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC)

một góc 30o Tính thể tích lăng trụ ĐS: Va 3 / 2 3

Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B')

một góc 30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ

ĐS: AB' a 3 ;Va 3 3 / 2

Bài 4 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và ACB 60 obiết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS 3 2

6;S 3a 3

V a

2





Bài 5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với

mặt phẳng (A'BC) một góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: V32a / 9 3

Bài 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một

góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o Tính thể tích của khối hộp chữ nhật Đs: Va 3 2 / 8

Bài 7 Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a

Tính thể tích của khối hộp khi:

1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương ĐS V2a 3 6 / 9

2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS V a 3 / 43

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o ĐS V4a 3 3 / 9

Bài 8 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a Tính thể tích lăng trụ trong

các trường hợp sau đây:

1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS V a 3 3 /16

2) BD' hợp với mặt (AA'D'D) một góc 30o ĐS V a 2 3 / 8

Bài 9 Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên

kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ Đs: V = a3 và S = 6a2