Tài liệu Ôn thi đại học cấp tốc môn Toán

Bài 2: Phương trình và bất phương trình phương trình đại số Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp 1 Bất phương trình bậc hai §Þnh ly vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai Phương [r]

Trang 1

Chuyên đề số 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng

Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu hỏi

phụ

Một số kiến thức cần nhớ

 pháp khảo sát hàm số

 Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu nội

dung 3 bài toán tiếp tuyến

 Bài toán sự giao giữa các đồ thị của hàm

số, điều kiện để 2 %, cong tiếp xúc

 Các bài toán về cực trị của hàm số: Hàm đa

đi qua các điểm cực trị

 Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến hay

nghịch biến trên một khoảng hay một đoạn

Các ví dụ

Bài 1: Cho hàm số

) 1 ( 3

6

2





x

m x x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số

với m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(1;+)

) 1 ( 1

2 2

2









x

x x y

2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối

xứng nhau qua %, thẳng x-y+4=0

) 1 ( 1

2 2

2









x

mx x

y

khi m=1

2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B

CMR khi đó %, thẳng AB song song với

%, thẳng 2x-y-10=0

) 1 ( 3 ) (x m 3 x

khi m=1

2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm

có hoành độ x=0

3) Tìm k để hệ sau có nghiêm





















1 ) 1 ( log 3

1 log

2

1

0 3

1

3 2

2

3

x x

k x x

) 1 ( 3

1 2 2 3





y

1) Cho m =1/2 Khảo sát sự biến thiên của đồ thị

đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song với %, thẳng D: y=4x+2

2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các

%, thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4

) 1 ( 3 1

2

m x

m mx

x y





 1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=1

2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung

) 1 ( 1

) 2 (

2









x

m x m x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=-1

2) Tìm m để %, thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm

số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua %, thẳng y=x

) 1 ( 1

1







x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm 2) Tìm m để %, thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại

2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau

3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 %, tiệm cận là ngắn nhất

) 1 ( 1

1 2





x

x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số 2) Gọi I là giao điểm 2 %, tiệm cận ủa (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại

M vuông góc với , thẳng IM Bài 10: Cho hàm số

) 1 ( 1

2 2 2

x m x y

1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1

2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Bài 11 Cho hàm số

) 1 ( 1

2





x

x y

Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ %b 2

Trang 2

tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm ứng

nằm về 2 phía đối với trục Ox

HD a -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt

Y1.y2<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1

Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm số

 pháp tìm GTLN,GTNN trên một

khoảng, một đoạn

F(x)=m  m thuộc [MaxF(X);

minF(x)]

F(x)>m với mọi x <=> m<minF(x)

F(x)>m có ngiệm <=> m<MaxF(x)

 Chú y khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

[-1;2]

1

2 





x

x y

[1;e3]

x

x y

2

ln



) 1 (

x

với mọi x thuộc [-1/2;3]

) 3 5 2 ( )

3 ).(

2

1

HD Đặt t= (12x).(3x) Từ miền xác đinh













4

2 7

; 0

t

Biến đổi thành f(t)=t2+t>m+2

Tìm miền giá trị của VT m<-6

thoả mãn với mọi x thuộc [0;1]

2 2

2

) 1 (

) 1

a

HD Đặt t=x2+x dùng miền giá trị suy ra a=-1

m x

x x

x2  1 2  1

HD -1<m<1

với mọi x

0 12 24

36

cos 15 sin

36 3 cos 5 cos

3

2

2 4









m m

x x

HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2

[-/2; /2]

2

) cos 1 ( 2 sin 2

Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm

x x

y2sin8 cos42

HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm

2x 2 x (4x 4 ) voi 0x x 1

HD : 3 và 1/27

Bài 3: Tính giới hạn của hàm số, tính

đạo hàm bằng định nghĩa

 pháp tính giới hạn của hà số: các dạng vô định

 Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục bên trái liên tục bên phải

 Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm bên trái bên phải

Các ví dụ

Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số

1) Tìm giới hạn

x

x x

I

x

3 0

1 1





3 2 2 1

lim

1

x

I

x





 3) Tìm giới hạn

x

x x

I

1 2 1 3 lim

2

3 2









3 2 0

0

3 4 7

lim

x

I

x

I

sinx

I

x





  5) Tìm giới hạn

4 2

3 3 2 2 2

lim

2

2 3

1

2 3 lim

lim

x

I





 

 



  

 



Trang 3

2

x







2 0

3 0

0

3

lim

1 cos 2 lim

.sin sin lim

1 cos cos 2 cos 3 lim

1 cos sin

3 lim

x

cosx I

tg x x I

I

x

I

x x

I

co x

























6

1 ( 1)

5 6 lim









x x I

x

3 2 2 0

3

2 1

1 1 lim

lim

1

x

x I

x

I

x



 





Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2

khi x 2

x



 2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

1 cos 4

khi x<0 sin 2

( )

x+a khi 0 x+1

x

f x

x

 



 



3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0

2

khi x=0

x

a

x







2

4 1( 2) ( )

x

f x

ax b x





 



số cá đạo hàm tại x=2 5) Cho

2

( 1) khi x>0 ( )

-x -ax+1 khi 0

x

f x

x



 



 





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 6) Cho

2

( ) khi x<0 ( )

ax +bx+1 khi 0

bx

x a e

f x

x



 



 





Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0 7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2

( )

f x

x





số liên tục tại x=-3 không có đạo hàm tại x=-3

9) Cho

cos cos3

1 khi x 0 ( )

e

x







 

 Tình đạo hàm của hàm số tại x=0

Bài tập áp dụng

1) Cho hàm số

) 1 ( 1

2







x

m x mx y

a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số m =-1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ 2) Cho hàm số

) 1 ( 2

2









x

m x x y

số khi m=1 b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên

đoạn [-1;0]

0 1 2 3

)

2 (

a

t

3) Cho hàm số y x4 mx2 m1 (1) Tìm

m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt 4) Cho hàm số

) 1 ( ) 1 ( 2

3 3

2









x

x x y

số b) Xác định m để %, thẳng y=m cắt đồ

Trang 4

thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho

AB=1

2 2

4

2 2

1 1

1 2

) 2 1

1 (

x x

x

x x

m















) 1 ( 0 1 2 2

5 x  x 

x

7) Cho hàm số

) 1 ( 1

1 )

1 (

2





x

m x m x y

số khi m=1

b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn

có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2

điểm đó bằng 20

8) Cho hàm số

) 1 ( )

( 2

4 )

1 2

2

m x

m m x m x

y





số

b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng

cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị của

hàm số

1

2 2

2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số

b Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và

đối xứng nhau qua %, thẳng x-y-4=0

10) Cho hàm số

) 1 ( 2

3 2

 x x y

Tìm trên %, thẳng y= - 2 các điểm từ đó

nhìn %, cong một góc vuông

ĐS M(55/27;-2)

1

2







x

x x y

số khi

b) Một %, thẳng thayđổi song song với

%, thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm số

đã cho tại M,N Tìm quỹ tích trung điểm I

của MN

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm

0 1 )

1 (

2  m x m 

x

12) Cho hàm sốy x4 4x2 m (1)

Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía đối với trục hoành bằng nhau

HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2,

x3, x4, là nghiệm

Strên= Sduói<=>

3 0

x

f x dx  f x dx

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9

2

9 2

2









x

x x y

số b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận A(5,10)

là trung điểm 14) Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

2

x

y  

2 2

4 3

2

x

x x y







 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau qua

%, thẳng y=x 16) Cho hàm số

2

(1) 1

x x y

x

 



 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M

17) Cho hàm số

2

(1) 1

y

x



 a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm

số m=1 b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5

Chuyên đề số 2: Đại số Bài 1: Hệ phương trình phương trình

đại số

Một số dạng hệ phương trình thường gặp

thay đổi khi ta thay x bởi y và b lại

Trang 5

hợp sau đó đặt x=t.y

Các ví dụ

Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản















8

) 1 )(

1 (

2

2 y x y x

m y

x xy

a) Giải hệ khi m=12

b) Tìm m để hệ có nghiệm

2

a

x y

  





   

 phân biệt

1

x xy y







Tìm m để hệ có nghiệm

















2 2

2

y x

a y x

a) Giải hệ khi a=2

b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là

nghiệm của hệ



















y m x

x m y

2 2

) 1 (

) 1 ( Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

6)





















2 2

x y

y x

7)

















m y

x x

y y

x

y x

1 1

3 1 1

a) Giải hệ khi m=6

b) Tìm m để hệ có nghiệm

Bài 2:

(KB 2003)



















2 2 2 2

2 3

y

x x

x

y y

HD:

Th1 x=y suy ra x=y=1

TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm

Bài 3:















 35 8

15 2

3 3

2 2

y x

xy y x

HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt

S=2x+y và P= 2x.y

Đs : (1,3) và (3/2 , 2)

Bài 4:



















) 2 ( 1

) 1 ( 3 3

6 6

3 3

y x

y y x x

HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :

f t t3 3t

trình (1) nhất



















x

a x y

y

a y x

2 2

HD:













2 2 3

y x

2 )

Bài 6:





















2 2

x y

y x





















) 1 (

2 2

x a y xy

y a x xy

nghiệm duy nhất

HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Bài 8:



















) 2 ( 5

) 1 ( 20 10

2 2

y xy

x xy

HD : Rut ra y

y y

y

x5 2  5 

Cô si  5  y 2 5

y x

x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y





















2

) 1 (

3

y x y x

HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)

Trang 6

Bài 10: Tìm a để hệ có





















a y x

a y

x

3

2 1

nghiệm

HD: từ (1) đặt u x1,v y2 "=> hệ

dối xứng với u, - v

Chỉ ra hệ có nghiệm thì E=F trình bậc hai

=F ứng có 2 nghiệm trái dấu

1)

















49 5

56 2

6

2 2

y xy x



















) ( 3

2 2

y x y

x

y y x x

3)



















0 9 5

18 ) 3 )(

2 (

2

y x x

y x x x

4)





















2

) ( 7

2 2

3 3

y x y x

y x y

x

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm



















m xy

x

y xy

26

12

2

nghiệm

6) dặt t=x/y có 2 nghiệm

















19

2 ) (

3 3

2

y x

y y x















6 4

9 ) 2 )(

2 (

2

y x x

x

Y=2x+y





















4

) 1 ( 2

2 2 2 2

y x y x

v,u từ E=F trình số (1)



















2 2

3 3

3

6

19 1

x xy

y

x y

x

hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)





















1 2

1 1

3

x y

y

y x x

HD: x=y V xy=-1

CM x4  x20 vô nghiệm bằng cách

tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm



















a x y

a y x

2 2

) 1 (

nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và

đủ





















3

3 2 2

xy y x

x

y y

x



















78

1 7

xy y xy x

xy x

y y x

(1) với xy

Bài 2: Phương trình và bất phương trình

phương trình đại số

Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp

Định ly về dấu của tam thức bậc hai

pháp hàm số tuyệt đối

B A B B

A

B A

B A B A





























Liệt kê các dạng

Một số ví dụ

Bài 1: Tìm m để (x1)(x3)(x2 4x6)m

với mọi x HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2 Bài 2:

Tìm a để hệ sau có nghiệm





















2 )

1 ( 2

2

a y

x x y

y x

HD:

























) 2 ( 1 )

2 ( ) 1 (

) 1 ( 2

2

x

y x

TH1: a+1≤0 Hệ vô nghiệm TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là "=U tròn còn (1) là miền gạch chéo : a≥-1/2

1) 8x2 6x14x10

Trang 7

2) x4 1x  12x : x=0

3) 2(x2 2x) x2 2x390 x1 5

4) x x2 1 x x2 1 2 tích 2 nhân

tử bằng 1 suy ra cách giải

5) (x2 3x) x2 3x2 0 KD 2002

Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm

ĐS m>=4





















0 1

2

0 9 10

2

m x

x

x x

2 2

1

HD

 nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT

 Biến đổi về BPT tích chú y ĐK

7 2

1 2 2

3

x

x x x

2

1





x x

t

ra ĐK

4 )

1 1

2







x

HD

 Xét 2 =U hợp chú y DK x>=-1

 Trong =U hợp x>=4 tiến hành nhân và

chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

m x x x

x 9   2 9 

HD

 Bình E=F 2 vế chú y ĐK

 Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t

 Sử dụng BBT suy ra KQ

3

7 3 3

)

16

(











x

x x

x

















0

1 2

2

a

y

x

x y

x

nhất Tìmnghiệm duy nhất đ

ĐS a=-1 và a=3

2)

m x

x2 164 

4

3) x4 x4 2x122 x2 16 4) x12  x3 2x1

5) 2(1x) x2 2x1 x2 2x1

HD đặt t  x2 2x1 coi là E=F trình bậc hai ẩn t

2 ) 2 ( ) 1

7)

2

3 1

) 2 ( 1

x

m x

x x

x4 4   4

1

2





x

x x

10) x2 3x4 2x3 20 11) Tìm a để với mọi x

ĐS a>=4 V a<=0 3

2 ) 2 ( )

f

Chuyên đề số 3: Lượng giác Bài 1: Phương trình và hệ phương trình lượng

giác

 Các công thức biến đổi Zb giác

 trình bậc 2,bậc 3 theo một hàm số Z giác

 trình đẳng cấp bậc nhất với sinx,cosx: asinx+bcosx=c

 trình đẳng cấp bậc 2 với sinx,cosx: a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0

 trình đẳng cấp bậc 3 với sinx,cosx: a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x=0 a.sin3x+b.sin2x.cosx+

c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0

 trình đối xứng với sinx,cosx a.(sinx±cosx)+b.sinx.cosx+c=0

 trình đối xứng với tgx,cotgx

 trình đối xứng với sin2nx,cos2nx

Các ví dụ

Bài 1:

x

x tgx

gx

2 sin

4 cos 2

HD: đặt ĐK x= ± pi/3 +k.pi

Bài 2:

Trang 8

) 1 (sin 2

1 3

2 cos

3









 













HD: Sử dụng công thức hạ bậc

x

3 cos )

2 cos(

2

ĐS 3 họ nghiệm

Bài 3:

2 sin

2 sin 2 sin

sin

2 2 2

2





x

x x

x

HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm

Bài 4:

8 1 3

6

3 cos cos 3 sin















 











 





x tg x

tg

x x x

x

HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1

AD công thức nhân 3

ĐS x=-pi/6+k.pi

Bài 5:

0 cos 6 ) sin 2 (

HD: Biến đổi theo sin và cos

0 ) cos 2 1 ( sin ) cos 2 1

(

cos

ĐS x=± pi/3+k.pi

Bài 6:





















) sin(

6 sin 2 2

) sin(

2 sin 6 2

3

x y x

y tg

x y x

y tg

HD: nhân (1) với (2) rút gọn tg2 y 4sin2 y

2 













2

2 y tg

t

t=0, t= ± can 3

Bài 7:

x x

x x x

2

1 sin 4 cos 2

sin

3

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn

Bài 8:

2

1 5

cos 4

cos 3 cos 2

cos

HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet =U

hợp bằng 0

NX: Trong bài toán chứa tổng

thực hiện rút gọn nx

x x

T

nx x

x

T

sin

2 sin

sin

cos

2 cos

cos









bằng cách trên

Bài 9:

) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin

HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)

Bài 10

4 2 log

4

sin 2

9 cos













x



) (sin log

2 log

sin

x

x x

Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình

có tham số

 pháp hàm số: Bài toán Max,Min trên 1 khoảng và một đoạn

 pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá

Các ví dụ

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN

x x

y

2 4

cos 2 sin 3

sin 4 cos 3





HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn M=8/5 m=4/3

tgx x

m

x cos 1 2

[0; pi/3]

HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]

Lập BBT f(t) ĐS m(1 3) 1 3;1 Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN

x x

y2.sin8 cos4 2

HD: t=cos2x, -1≤t≤1 tìm Max,Min trên 1

đoạn f, t 08t3 (t1)3

M=3 m=1/27

Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN

1 cos sin sin

y

0 2

sin 2 4 cos ) cos (sin

thuộc đoạn [0; pi/2]

HD: [-10/3;-2]

3 cos 2 sin

1 cos sin

2









x x

a

HD: )= về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1

ĐS [-1/2,2]

Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)











 







4

3 cos

2 1 2 cos 3 2 sin

x x

x

Trang 9

Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác

*Một số phép biến đổi , dùng

+ Cung liên kết

+ Công thức cần nhớ

2

SinB





2 2

SinB

2

CosB

2 sin 2

CosB

2

1

 sin( ) ( ) 

2

1

.CosB A B Sin A B

2

1 CosB Cos A B Cos A B

*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ

2 2 2 4 SinB SinC Cos A Cos Cos C

2

sin 2

sin 2 sin 4 1

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

2 cot 2 cot 2

cot 2

cot

2

1 2 2 2

.

2

.

2tg Btg B tg C tg C tg A

A

tg

cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1

sC CosACosBCo C

Sin B

Sin

A

Sin2  2  2 22

C B A C

Cos B Cos

A

Cos2  2  2 12sin sin sin

Sin2A+Sin2B+Sin2C=4SinA.SinB.SinC

Cos2A+Cos2B+Cos2C=-1-4CosACosBCosC

Các ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR

1 2 2 2 2

2

2 tg B  tg B tg C tg C tg A 

A

tg

Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:

tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC

3 3





tgA

dấu “=” xảy ra khi nào?

HD: áp dụng bđt cosin

3 tgA tgB tgC tgC

tgB

lập E=F hai vế thay trở lại E=F trình đầu

ta "=> đpcm.

Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có

HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.

VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) –

cos(A+B)].cosC

=Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C.

thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C … sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm.

Bài 4:CMR với mọi tam giác ABC ta có

 1

2

1Cos2ACos2BCos2C  CosACosBCo sC

Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi

2

2A Sin BSin C

Sin

Bài 5:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

2tgA=tgB + tgC CMR tgB.tgC = 3 Và Cos(B-C) = 2CosA









tgC tgB

tgC tgB C

B tg

1 ) (

Từ tgB.tgC=3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)

Mà cos(B-C) =2.cos[  (BC)] khai triển suy ra đẳng thức (*)

Bài 6:CMR với mọi tam giác ABC ta có

Trang 10









2

cot 2

cot 2 2

2

1

sin

1 sin

1

sin

1

A g

C tg

B

tg

A

tg

C B

A

HD: thay

2

cot 2

cot 2 cot

.

2

cot

.

2

cotg A g B g C  g A g B g C

áp dụng công thức nhân đôi

Bài 7:CMR trong mọi tam giác ABC ta có

C B A B

A C CCosA

B

C Sin B

Sin

A

Sin

cos sin sin 2 cos sin sin sin

sin

2







Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C

Thoả mãn đk 4A=2B=C CMR:

c

b

a

1





4

5

2A Cos BCos C 

Cos

Bài 9:CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:

C B

A

R

r

cos cos

cos

Bài 10:Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

, CMR tam giác ABC cân

bc

a

A

Sin

2

2 

Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk

2 2

.tgB tg A tg B

CMR tam giác ABC cân

Bài 12CMR nếu tam giác ABC có

thì tam giác vuông

a

c b C



 cos

cos

Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b,

AB=c

CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và

chỉ khi

2

C B tg c

b

c







Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn

đk:

3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15 CMR tam giác vuông

Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk

2

1 2 sin 2 sin 2

sin 2 cos 2 cos 2 cosA B C A B C 

CMR tam giác ABC vuông

Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

 





























2 4

2 sin

cos 1

1 )

(

2 2

3 3 3 2

b a

b a C

C

a c b a c b a

CMR tam giác ABC đều

Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:

gC gB

C

1 sin

1

CMR tam giác ABC là tam giác đều Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk

CMR

2

sin 2

sin 2 sin

tam giác ABC là tam giác đều Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ

2 2

2

2 2

2 A Cotg BCotg C 

Cotg

Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có

2

cos 2

cos sin

sin

thì tam giác đều Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

8(p-a)(p-b)(p-c)=abc CMR tam giác đều Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk

gC gB gA

C B A

C g B g A g

cot cot cot

2 cos 1 2 cos 1 2 cos

1 2 cot 2 cot 2 cot





















Bài 23: tg8Atg8Btg8C 9tgA.tg2B.tg2C

Bài 24: tg6Atg6Btg6C81

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	363,02 KB