Bài 1.44. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam lẫn nữ và có cả nhà toán học lẫn vật lý. Một nhóm có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 học sinh tru[r]
Trang 1Tổ hợp - Xác suất
Huỳnh Văn Quy
Ngày 15 tháng 10 năm 2015
Trang 31 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM 5
1.1 Bài toán số học 5
1.2 Bài toán chọn người, sắp xếp người 14
1.3 Bài toán chọn thẻ, chọn bi 20
1.4 Bài toán có yếu tố hình học 21
1.5 Bài toán tập hợp 22
2 XÁC SUẤT 25 2.1 Bài toán số 25
2.2 Bài toán chọn bi 27
2.3 Bài toán chọn người 29
2.4 Bài toán kiểm tra 32
Trang 4Lời nói đầu
Tài liệu nhỏ này được biên soạn trong thời gian rất ngắn nhằmgiúp các em học sinh có thêm bài tập nhằm khắc sâu thêm cáckiến thức về phần tổ hợp xác suất Tài liệu này chỉ gồm hai phầnnhỏ là các bài toán đếm và xác suất Mảng nhị thức Newton đãđược phổ biến một cách rộng rãi ở một tài liệu khác mà các em
đã được phát ra trước đó nên GV không đưa vào Ngay ở mảngxác suất (phần 2) thì bài toán gieo đồng tiền và con súc xắc cũngkhông được đưa vào, vì mục đích của tập tài liệu này là cung cấpthêm một số bài tập hay, đòi hỏi suy nghĩ nhiều, thậm chí có một
số bài đòi hỏi ở mức độ tư duy rất cao Nếu được vào nhiều quá thìdẫn đến tâm lí choáng ngợp trước sự đồ sộ về số lượng Trong quátrình biên soạn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mongbạn đọc và các em học sinh thông cảm Tài liệu có tham khảo bàitập từ rất nhiều nguồn trên mạng
Trang 5CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
1.1 Bài toán số học
Bài 1.1 Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu
số chẵn, mỗi số có năm chữ số khác nhau
Gợi ý: Chia ra 2 trường hợp Có 1260 số
Bài 1.2 Cho các số 1,2,5,7,8 Có bao nhiêu cách lập ra một sốgồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho:
Trang 6Bài 1.3 Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ
số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 số trên?
Gợi ý: Chữ số cuối cùng (hàng đơn vị) được chọn từ 1, 3, 5, 7,
9 Chữ số đầu tiên (hàng triệu) được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 Còn 4chữ số ở giữa được chọn từ 8 chữ số còn lại: có 𝐴48 = 1680 cách.Nếu chữ số cuối cùng được chọn từ 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ
số đầu tiên có 5 cách chọn Vậy có 2.5.1680 = 16800 cách chọn.Nếu chữ số cuối được chọn từ 1, 3, 5 (3 cách chọn) thì chữ số cuối
∙ Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, hoặc 6, hoặc 8, hoặc 9thì có 5 cách chọn Ba số còn lại có 1 số 5 có 1 cách chọn
và 2 số còn lại có 𝐴2
5 = 20 cách chọn, vậy có 5.1.20 = 100số
Vậy có tất cả 120 + 100 = 220 số
Bài 1.5 Có bao nhiêu số tự nhiên:
Trang 7a) Có 5 chữ số và nhất thiết có mặt chữ số 0.
b) Chia hết cho 5 và có 5 chữ số khác nhau
c) Có 5 chữ số khác nhau mà một trong ba chữ số đầu tiên là 1.d) Có 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó có đúng 3 chữ số chẵn
n) Có 6 chữ số khác nhau mà 5 và 6 không đồng thời có mặt.o) Có 12 chữ số trong dó 1 và 2 xuất hiện đúng hai lần, còn cácchữ số khác xuất hiện đúng một lần
Bài 1.6 Cho tập hợp 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
a) Có bao nhiêu tập con 𝑋 của tập 𝐴 thỏa mãn điều kiện 𝑋 chứa
1 và không chứa 2
Trang 8b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhaulấy từ tập 𝐴 và không bắt đầu bởi 123.
Bài 1.7 Cho tập 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được baonhiêu số 𝑛 gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ 𝑋 (chữ số đầu tiênphải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
a) 𝑛 là một số chẵn
b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1
Bài 1.8 Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu,sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng
1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
Bài 1.9 (Học viện BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trongcác chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1
Bài 1.10 (ĐHQG Hà Nội 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lậpđược bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho5?
Bài 1.11 (Đại học Huế 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từcác chữ số đã cho ta có thể lập được:
1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhautừng đôi một
2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đókhác nhau từng đôi một
3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đókhác nhau từng đôi một
Trang 9Bài 1.12 (Đại học Cần Thơ, khối D, 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6
ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khácnhau từng đôi một Hỏi:
1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2
2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6
Bài 1.13 (ĐH Thái Nguyên 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ sốsao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ
Bài 1.14 (ĐH Thái Nguyên, khối D, 2000) Từ 3 chữ số 2,3,4 cóthể tạo ra được nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số, trong đó phải
có mặt đủ 3 chữ số trên
Bài 1.15 (ĐH sư phạm Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên
có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơnchữ số đứng liền trước
Bài 1.16 (ĐH Cảnh sát Nhân dân khối G, 2000) Có bao nhiêu
Tóm lại trường hợp 𝑎 = 7 có 24 số thỏa đề
Trang 102 𝑎 < 7 ⇒ 𝑎 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∙ Nếu 𝑎 chẵn thì 𝑎 có 3 cách chọn, 𝑐 chẵn nên 𝑐 có 3 cáchchọn, 𝑏 có 7 cách vậy có 3.3.7 = 63 số
Bài 1.20 (ĐH Quốc gia TP HCM 2001)
1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau,trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2
có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ sốcòn lại có mặt không quá một lần
Bài 1.21 (CĐ Tài chính - hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu
số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có măt đúng 2 lần,chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân biệt?Bài 1.22 (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4,5 cóthể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau vàtrong đó phải có mặt chữ số 0
Bài 1.23 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khácnhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
Trang 11Bài 1.24 (ĐH kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5
Bài 1.25 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được baonhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiếtphải có hai chữ số 1 và 5
Bài 1.26 (ĐH Huế 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ sốsao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
Bài 1.27 (Học viện Ngân hàng TP HCM 2001)
1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôimột?
2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7 có thể lập được bao nhiêu
số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Bài 1.28 (ĐH ngoại thương TP HCM 2001) Từ các chữ số 1, 2,
3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau
mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
Bài 1.29 (HV quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9đứng ở vị trí chính giữa?
Gợi ý: Số các số có 9 chữ số tạo ra là số hoán vị của 9 phần tửnên là 𝑃 9 = 9! = 362880 số
Số các số có 9 chữ số khác nhau mà số 9 đứng chính giữa là sốhoán vị của 8 phần tử nên là 𝑃 8 = 8! = 40320 số
Bài 1.30 (ĐHSP Hà Nội 2, năm 2001) Tính tổng tất cả các số
tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 1,
3, 4, 5, 7, 8
Bài 1.31 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta lập các số có 6 chữ sốkhác nhau Tính tổng tất cả các số lập được
Trang 12Gợi ý: Gọi 𝑋 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 là số lập được.
Số cách chọn 𝑎 là 5, số cách chọn các số 𝑏, 𝑐, 𝑑 là 𝐴3
5.Vậy số các số lập được là: 5 × 𝐴3
Ở cột hàng nghìn: số lần xuất hiện các số 1, 3, 4, 6, 7 là 𝐴3
5 lần
Do đó tổng cột hàng nghìn là (1 + 3 + 4 + 6 + 7).𝐴3
5 = 1260Vậy tổng các số lập được là: 1260 + 1008(100 + 10 + 1) = 1371888.Bài 1.33 (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006) Có bao nhiêu số tựnhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các
Trang 13Bài 1.35 (ĐH Thái Nguyên khối D năm 2001)
1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành
từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5
2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từcác chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn 345
Bài 1.36 (ĐH Y Hà Nội 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau vàkhông lớn hơn 789
Bài 1.41 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5,
9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?Bài 1.42 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàngngàn bằng 8
Trang 141.2 Bài toán chọn người, sắp xếp người
Bài 1.43 Trong một buổi liên hoan có 6 cặp nam nữ, trong đó
có 3 cặp là vợ chồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người saocho không có cặp vợ chồng nào
Bài 1.44 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhàvật lí nam Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác gồm 3người sao cho có cả nam lẫn nữ và có cả nhà toán học lẫn vật lý.Bài 1.45 Một nhóm có 3 học sinh giỏi, 4 học sinh khá và 3 họcsinh trung bình Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh sao cho:a) Không có học sinh trung bình
b) Mỗi loại học sinh có ít nhất một
Bài 1.46 Có 12 nam trong đó có anh A và 12 nữ trong đó cóchị B Chọn ra 5 người với yêu cầu sau khi chọn phải có ít nhất 2nam, 2 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Có cả anh A và chị B
b) Không có anh A và chị B
c) Anh A và chị B không đồng thời có mặt
Bài 1.47 Từ một nhóm có 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối
B và 5 học sinh khối C, ta chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất
5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C Tìm số cách chọn.Bài 1.48 Một nhóm có 10 nam và 14 nữ có bao nhiêu cách chọn
8 người sao cho:
a) Có ít nhất một nam
b) Có ít nhất 3 nữ
c) Có ít nhất 1 nam, 1 nữ
Trang 15d) Có ít nhất 2 nam, 2 nữ.
Bài 1.49 Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ chọn ra
6 học sinh để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 1.52 Một trường có 5 học sinh khối mười hai, 3 học sinh khốimười một và hai học sinh khối 10 là các học sinh xuất sắc Hỏi cóbao nhiêu cách chọn 5 học sinh xuất sắc của trường đó tham giamột đoàn đại biểu sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.Bài 1.53 (Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tìnhnguyện gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công độithanh niên tình nguyện trền về 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh
có 4 nam và 1 nữ
Bài 1.54 Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông
có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 𝐴, 4 học sinh lớp 𝐵 và 3 họcsinh lớp 𝐶
Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh nàythuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọnnhư vậy?
Gợi ý: 𝑛(Ω) = 𝐶124 = 495
Ta tính số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học
Trang 16sinh Chia ra 3 trường hợp: (Lớp A có 2 học sinh, lớp B 1 họcsinh, lớp C có 1 học sinh; )
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Số cách chọn phải tìm là: 495 − 270 = 225
Bài 1.55 (Đề thi ĐH khối B năm 2005) Một đội thanh niên tìnhnguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cáchphân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miềnnúi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
Gợi ý: Có 𝐶31.𝐶124 cách phân công các thanh niên tình nguyện vềtỉnh thứ nhất
Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứnhất thì có 𝐶1
Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêucầu bài toán là: 𝐶1
Gợi ý: Chia ra 3 trường hợp: Vd: TH1 có 2 dễ+1TB+ 2 khó: có
𝐶152 𝐶101 𝐶52 = 10500 (đề);
Theo quy tắc cộng có: 𝐶152 𝐶101 𝐶52 + 𝐶152 𝐶102 𝐶51 + 𝐶153 𝐶101 𝐶51 =
56875 đề
Trang 17Bài 1.57 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,trong đó 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối
10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hèHùng Vương sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn
Gợi ý: Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh của độ tuyển là:
Bài 1.59 Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp.Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội thanh niêncủa trường sao cho 3 người đó phải có ít nhất một cán bộ lớp.Bài 1.60 (CĐSP Mẫu giáo TW1 2000) Một lớp học mẫu giáogồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ Cô giáo chủ nhiệmmuốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam
và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 1.61 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm 10 học sinh, trong đó
có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trênthành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.Bài 1.62 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10người, trong đó có 6 nữ và 4 nam
Trang 181 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có sốngười bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau,
2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá
1 nam
Bài 1.63 Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáocần chọn ra 5 em tham dự lễ mitting tại trường với yêu cầu có cảnam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 1.64 (HV Kĩ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số họcsinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có họcsinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá
Bài 1.65 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác "Mùa hèxanh" Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải
có ít nhất:
1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam
2 Một học sinh nữ và một học sinh nam
Bài 1.66 (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi củamột trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 11, 5 học sinhkhối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại
hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn
Bài 1.67 (ĐH khối B 2003 dự bị 1 ) Từ một tổ gồm 7 học sinh
nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữphải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Bài 1.68 Có 5 học sinh gồm 3 nam 2 nữ ngồi vào 5 ghế theo mộtdãy Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Ngồi như thế nào cũng được?
Trang 19b) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau?
c) Nếu 2 nữ muốn ngồi gần nhau và 3 nam muốn ngồi gần nhau
Gợi ý: a) Số cách xếp 5 bạn học sinh vào 5 ghế là số hoán vị của
2 Hai bạn 𝐴 và 𝐸 ngồi ở hai đầu ghế
Bài 1.70 Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3học sinh nữ vào một bàn tròn sao cho:
a) 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau
b) không có 2 học sinh nữ nào cạnh nhau
Bài 1.71 Có 7 em nam và 3 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếpcác em trên theo một hàng dọc sao cho:
1 giữa hai em nữ bất kì không có em nam nào
2 hai em vị trí đầu và cuối là nam và không có em nữ nào đứngliên tiếp nhau
Trang 20Bài 1.72 (ĐH Nông nghiệp HN 2001) Có 6 học sinh nam và 3học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp
để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổichỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới)
Bài 1.77 Có 5 bi xanh giống nhau, 4 bi trắng giống nhau và 3
bi vàng khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách xếp số bi trên vào 12 ôtheo một hàng dọc sao cho mỗi ô có đúng một bi
Bài 1.78 Có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi khác nhau vào 5 hộpkhác nhau mà mỗi hộp:
1 có thể không có viên bi nào
Trang 211 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên
bi đỏ
2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng
số bi đỏ
Bài 1.81 (Đại học Huế, 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên
bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả
3 màu
Bài 1.82 (Học viện quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kínhkhác nhau và 3 viên xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống Hỏi:
1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếpcạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
1.4 Bài toán có yếu tố hình học
Bài 1.83 Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách từ 8 cuốn sáchtoán, 6 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hóa sao cho mỗi loại có ít nhất
1 cuốn
Bài 1.84 Thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 5cuốn văn học, 4 cuốn âm nhạc và 3 cuốn hội họa Ông lấy 6 cuốntặng cho 6 học sinh, mỗi người một cuốn Hỏi có bao nhiêu cáchtặng nếu:
1 Thầy giáo chỉ tặng sách văn học và âm nhạc
2 Sau khi tặng xong, mỗi loại còn ít nhất một cuốn
Bài 1.85 Trên đường tròn cho 𝑛 điểm Gọi 𝑇𝑛 là số tam giác cócác đỉnh lấy từ 𝑛 điểm đã cho, 𝐶𝑛 là số đoạn thẳng có 2 đầu mútlấy từ 𝑛 điểm đã cho Tìm 𝑛 biết 𝑇𝑛 = 20𝐶𝑛