Ta có AC’ là đường cao trong tam giác cân SAC Nên C’ thuộc đoạn SC, S là góc nhọn vì vậy OC < SO Tứ giác AB’C’D’ có các đường chéo AC’ và B’D’ vuông góc với nhau.. Vậy C’ là trung điểm c[r]
Trang 1ĐỀ SỐ 1
4 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ bằng a Chứng minh rằng hoành độ giao
điểm của d và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình:(x – a)2(x2 + 2ax + 3a2 – 6) = 0
3/ Tìm a để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P,Q khác M Tìm quỹ tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ Câu II 1/ Cho phương trình : x 3 x 1 4 x 3 x 1 m (1)
x 3
a/ Giải phương trình (1) khi m = –3
b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thực x
2/ Tìm các nghiệm x (0 ; 2) của phương trình : sin 3x sin x sin 2x cos 2x
1 cos 2x
3/ Tìm a để bất phương trình a.4x + (a – 1).2x+2 + a – 1 > 0 đúng với mọi số thực x
Câu III 1/ Tính tích phân
1
0
3x 1
x 3x 3x 1
2/ Chứng minh rằng :
a/ 1 2 với mọi số thực x không âm
2
b/ n 1 với mọi số nguyên dương n và x (0 ; 1), trong đó e là cơ số của lôgarit tự nhiên
x 1 x
2ne
3/ Cho diện tích H là hình phẳng giới hạn bởi y sin x cos x6 6 , trục hoành và hai đường thẳng
x = 0, x Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay H quanh trục Ox
2
4/ Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x y 1 y x 1
Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, đường chéo AC = 4a, BD = 2a chúng cắt
nhau tại O, đường cao SO = h Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Xác định h để tam giác B’C’D’ đều và xác định vị trí của C’
Câu V 1/ Cho (P) : y2 = 16x và đường thẳng : 4x + 3y + 46 = 0 Tim M (P), N sao cho độ dài của MN là ngắn nhất
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0 ; 1 ; 2) và hai đường thẳng :
và
1
:
x 1 t : y 1 2t
z 2 t
a/ Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với hai đường thẳng 1 và 2
b/ Tìm P 1, Q 2 sao cho A, P, Q thẳng hàng
Câu VI Chứng minh rằng tam giác ABC nếu thỏa sin A sin B 2sin C thì tam giác ABC đều
cos A cos B 2cos C
================= HẾT =================
HƯỚNG DẪN
Trang 2Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d : 3 a4 2 5
3x
Biến đổi (x – a)2(x2 + 2ax + 3a2 – 6) = 0 đ.p.c.m
I.3 d cắt (C) tại hai điểm pbiệt khác M x2 + 2ax + 3a2 – 6 = 0 có 2 ngiệm phân biệt khác a
3 a 3,a 1
Tọa độ trung điểm K là : K P Q
K
1
Vậy quỹ tích trung điểm K của PQ là tập hợp điểm thuộc đồ thị
,
II/1.b Điều kiện x > 3 hoặc x ≤ –1
Đặt t x 3 x 1 t2 = (x – 3)(x + 1) x2 – 2x – (3 + t2) = 0 (*)
x 3
Ta có phương trình : t2 + 4t – m = 0 Điều kiện có nghiệm t là : m ≥ –4
Nếu x > 3 thì (*) có nghiệm x 1 4 t 2
Nếu x ≤ –1 thì (*) có nghiệm x 1 4 t 2
Tóm lại : Phương trình (1) có nghiệm khi m ≥ – 4
2
4
Điều kiện : sinx ≠ 0 x ≠ k, k Z
* Nếu 0 < x < (1) cos 2x cos(2x ) nghiệm
4
* Nếu < x < 2 (1) cos 2x cos(2x ) nghiệm
4
II/3 Đặt t = 2x > 0 ta cần tìm a để f(t) = at2 + 4(a + 1)t + a – 1 > 0 t > 0
Cách 1 Dùng định lí Vièt
Cách 2 Xét a = 0, không thỏa
a < 0 ta có , nên tồn tại t đủ lớn để f(t) < 0 nên a < 0 không thỏa
tlim f (t)
Xét 0 < a < 1 thì f(t) = 0 có 2 ngiệm t1 < t2 và t t1 2 a 1 0 nên tồn tại 0 < t < t2 sao cho f(t) < 0
a
Khi a > 1 thì f(t) = at2 + 49a – 1)t + a – 1 ≥ at2 > 0 nên a ≥ 1 thỏa điều kiện bài toán
Cách 3 at2 + 4(a + 1)t + a – 1 > 0 t > 0 a(t2 + 4t + 1) > 1 – 4t a 21 4t vì t2 + 4t + 1 > 0
Xét f (t) 21 4t , lập bảng biến thiên a ≥ 1
III/1
2
b Đặt f(x) = x2n(1 – x), f’(x) = x2n–1[2n – (2n + 1)x], xét bảng biến thiên trên khoảng (0 ; 1) ta có
Trang 3B' D'
C'
O
C
A
B D
S
Suy ra Vậy ta cần chứng minh :
2n 2n 1 (0;1)
(2n) max f (x) M
(2n 1)
,m = 2n
m 1
1
m
Theo (1) ta có
2
Vì m = 2n > 1 Suy ra đpcm
III/4 Áp dụng bất đẳng thức Buniakopski ta có
A2 ≤ (x2 + y2)(2 x + y) = 2 + x + y ≤ 2 (1 1)(x 2y ) 22 2
Vậy A lớn nhất bằng 2 2 khi x y 2
2
IV Ta có AC’ là đường cao trong tam giác cân SAC
Nên C’ thuộc đoạn SC, S là góc nhọn vì vậy OC < SO
Tứ giác AB’C’D’ có các đường chéo AC’ và B’D’
vuông góc với nhau
Gọi K = AC’ B’D’ ta có SO.AC = AC’.SC = AC ' h24a2
4ah
AC '
Mp(AB’C’D’) cắt BC tại B1 ta có AB1//BD và AB1 = 2a
Tam giác B’C’D’ đều AB1C’ là nửa tam giác đều
AC ' AB 3 1 h 2a 3
Khi đó SO = h = OA 3 SAC đều Vậy C’ là trung điểm của SC
V/1 Chú ý lý luận d không cắt (P), tìm ’// , ’ là tiếp tuyến của (P), M là tiếp điểm của ’ và (P) Gọi ’’ là đường thẳng qua M, ’’ , N là giao ’’ với
V/2.b M(2m ; 1 + m ; –1 – m) ; N(1 + n ; –1 – 2n ; 2 + n) Tìm m, n sao cho
AM; AN 0 m 0, n 1
VI Tam giác ABC luôn có sinC > 0 và từ sinA + sinB ≥ sinC a + b ≥ 2c c ≤ a hoặc c ≤ b C nhọn cosC > 0 Vậy
sin A sin B 2sin C sin A 2sin A.sin B sin B 4sin C cos A cos B 2cos C cos A 2cos A.cosB + cos B 4cos C
Cộng vế theo vế ta có cos(A – B) ≥ 1 cos(A – B) = 1 A = B
Thế A = B vào đề bài ta có 2sin A 2sin C A C Vậy tam giác ABC đều
2cos A 2cos C
x 0 2n 1
2n 1
f’(x) + 0 –
M
f(x)
0 0