Bài tập về Hệ thức lượng trong tam giác

Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho MA NB PC  .. Cho tam giác ABC cố định .Hãy tìm min của diện tích tam giác MNP MB NC PA..[r]

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Tam giác ABC có b 1 CMR:

c

2 b và CMR: Tam giác ABC đều

c

3 Tam giác ABC có tan tan 1 CMR:

2

a b

4 ABC hãy CMR: cot cot cot

r

5 ABC hãy CMR: tan tan tan tan tan tan 1

6 Cho a x 2 2x3;b x 2 1;c x 2 4x5

a) Tìm x để a b c, , là ba cạnh của một tam giác

b) CMR: tam giác đó bán kính đường tròn nội tiếp 3  2  2 

6

7 Cho a x 2  x 1;b2x1;c x 21

a) Tìm x để a b c, , là ba cạnh của một tam giác

b) CMR tam giác đó có một góc bằng 1200

8 Tam giác ABC có tính chất gì nếu: a) 1  

4

b)

2 2

1 cos 2



9 CMR tam giác ABC cân nếu 2 2  

cot cot



10 Cho tam giác ABC nhọn CMR: asin , sin , sinA b B c C là ba cạnh của một tam giác

11 ABC hãy CMR: cot cot cot 2 2 2

4

S

 

12 Tam giác ABC có a4 b4c4 CMR: tam giác ABC nhọn và 2sin2 Atan tanB C

13 Tam giác ABC có hai trung tuyến AA BB1, 1

CMR: AA1 BB1 cotA2 cot BcotC

14 Tam giác ABC có trọng tâm G

a) M là điểm bất kỳ CMR: MA2 MB2 MC2 3MG2 GA2 GB2 GC2

b) CMR a2 b2 c2 9R2

sin sin sin

4

15 ABC có B > C, là góc hợp bởi trung tuyến AM và đường thẳng BC hãy CMR: 

2cot cotCcotB

16 M là điểm trong ABC và các góc MAB MBC MCA   Cmr:

cot cotAcotBcotC

17 ABC có trọng tâm G ; các góc GAB,GBC ,GCA

cot cot cot

4

S

       

Lop10.com

18 ABC hãy CMR:  cot  cot  cot 0

19 ABC có a c 2b hãy CMR:

a) ac6Rr b) tan tan 1; c)

20 CMR ABC đều nếu

2 2

1 cos 2



     



21 ABC đều Trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp ABC lấy điểm M sao cho

tính MC

1, 2

22 CMR tam giác ABC cân nếu sin sin sin cot cot

23 ABC có trung tuyến AM Đặt góc AMB = ; AB = c; AC = b

a) CMR: ; b) Nếu CMR:

2 2 cot

4

S

    450 2 cot CcotB

24 ABC hãy CMR: 9

2

a b c

R

25 Trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước , tìm tam giác có

a) a2 b2c m2 ax; b) Smax

26 Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, tìm tam giác có Smin

cotA cotB cotB cotC cotC cotA A B C

28 CMR ABC đều a2 b2 c2 36r2

29 ABC hãy CMR: 27 3

8

a b c

R

30 Trong tam gi¸c ABC h·y CMR : ab+bc+ca = p2 r2  4rR

31 Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho

Cho tam giác ABC cố định Hãy tìm min của diện tích tam giác MNP

MB  NC  PA

Lop10.com

1 Tam giác ABC có các đường cao AA BB CC', ', 'và trực tâm H

CMR: HA HA ' HB HB ' HC HC '

2 Tam giác ABC không cân tại A AM, AD lần lượt là các trung tuyến và phân giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E và F

CMR: BE = CF

3 Cho nửa đường tròn đường kính AB; M là điểm trên nửa đường tròn đó Hạ MH  AB

tại H Đường tròn đường kính MH cắt nửa đường tròn trên tại N , cắt MA, MB tại E và F a) CMR: ABEF là tứ giác nội tiếp

b) CMR: AB, EF, MN đồng quy

4 Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC', ', 'và trực tâm H

2

5 Tam giác ABC đều cạnh a Một đường tròn cắt các cạnh AB tại H và F, cạnh BC tại I và

G, cạnh CA tại K và E ( AH < AF , BI < BG , CK < CE)

CMR: AH BI CK  AE BF CG 

6 Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định d là đường thẳng cố định không cắt (O) ; A

là điểm di chuyển trên d Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm)

Hạ OK d tại K; OKBC E

a) Tính OE.OK

b) CMR đường thẳng BC đi qua một điểm cố định

Lop10.com