Đề thi đại học: Hình học giải tích trong không gian

Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng P, biết D đi qua A và vuông góc với d.. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO.[r]

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

ĐỀ THI ĐẠI HỌC:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1) A- 2011 Cho hai điểm A(2;0;1 , ) (B 0; 2;3- ) và mặt phẳng ( )P : 2x- - + =y z 4 0 Tìm tọa độ

điểm M thuộc (P) cho MA=MB=3

Bài giải:

Gọi M x y z( ; ; ), ta có MÎ( )P và ( ) ( )

2

ì - - + = ïï

= Ûí - + + - =

ï

ïî

Ûí + - + = Ûí =

î ïî

( ; ; ) (0;1;3)

7 7 7

= -ç ÷

Vậy ta có M(0;1;3) hoặc 6 4 12; ;

7 7 7

2) A- 2011 Cho mặt cầu ( ) 2 2 2

: + + -4 -4 -4 =0

S x y z x y z và điểm A(4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều

Bài giải:

(S) có tâm I(2;2;2 ,) bán kính R=2 3 Nhận xét: O và A cùng thuộc (S)

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp 4 2

=OA =

Khoảng cách: ( ( ) ) 2 2 2

d ,

3

(P) đi qua O có phương trình dạng: ( 2 2 2 )

+ + = + + >

(P) đi qua A, suy ra: 4a+4b= Þ = -0 b a

( )

3

+ +

Theo (*) suy ra (P): x- + =y z 0 hoặc x- - =y z 0

3) B- 2011 Cho đường thẳng : 2 1

-x y z và mặt phẳng ( )P :x+ + - =y z 3 0 Gọi I là giao điểm của D và ( )P Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với D và

4 14

=

Bài giải:

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ: 12 21 1 (1;1;1)

3 0

-í

ï + + - = î

I

Gọi M a b c( ; ; ), ta có: ( )

3 0

4 14

ì + + - = ï

^ D

=

ïî

MI

MI

ì =

-ïï

Ûí = - +

ï - + - + - + =

ïî

( ; ; ) (5;9; 11)

Û a b c = - hoặc (a b c; ; ) (= - -3; 7;13)

Vậy ta có M(5;9; 11- ) hoặc M(- -3; 7;13)

4) B- 2011 Cho đường thẳng : 2 1 5

và hai điểm A(-2;1;1 , ) (B - -3; 1;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

Bài giải:

Gọi MÎ D, suy ra tọa độ M có dạng M(- +2 t;1 3 ; 5 2 + t - - t)

;3 ; 6 2 ; 1; 2;1

0

12

D

Þ ë û = - - +

= é

= Û + + + + = Û + = Û ê =

-ë

 

MAB

t

t

Vậy M(-2;1; 5- ) và M(-14; 35;19- )

5) D- 2011 Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng : 1 3

-= -=

d Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox

Bài giải:

Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với d, có phương trình: 2x+ -y 2z+ =2 0

Gọi B là giao điểm của trục Ox với (P), suy ra D là đường thẳng đi qua các điểm A, B

Ta có: BÎOxÞ B b( ;0;0) thỏa mãn phương trình 2b+ = Þ2 0 B(-1;0;0 )

Phương trình

1 2

3 3

= + ì

ï

D í = +

ï = + î

6) D- 2011 Cho đường thẳng : 1 3

-D x = y = z và mặt phẳng ( )P : 2x- +y 2z=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng D, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp(P)

Bài giải:

Gọi I là tâm của mặt cầu Do IÎ D ÞI(1 2 ;3 4 ;+ t + t t)

Mặt cầu tiếp xúc với (P) ( ( ) ) 2 1 2( ) (3 4 ) 2 2

-ë

I P

t

Suy ra I(5;11;2) hoặc I(- - -1; 1; 1)

Chuyờn đề HèNH GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

Phương trỡnh mặt cầu: ( ) (2 ) (2 )2

7) A- 2010 Trong khụng gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 2

và mặt phẳng (P):

- + =

x y z Gọi C là giao điểm của D và (P), M là một điểm thuộc D Tớnh khoảng cỏch từ M

đến mp(P), biết MC = 6

mặt phẳng (P) cú vectơ phỏp tuyến n=(1; 2;1- )

Gọi H là hỡnh chiếu của M trờn (P), ta cú:

( )

cosHMC = cos v n ,

Ta cú:

( )

8) A- 2010 Cho điểm (0;0; 2)A - và : 2 2 3

D x = y = z Tớnh khoảng cỏch từ A đến D Viết phương trỡnh mặt cầu tõm A, cắt D tại hai điểm B, C sao cho BC =8

Bài giải:

Đường thẳng D đi qua điểm M(-2;2; 3- ), nhận v =(2;3;2) làm vectơ chỉ phương

Ta cú: =(2; 2;1- )ịộ , ự =(7;2; 10- )

4 9 4

+ +







v MA A

v

Gọi (S) là mặt cầu tõm A, cắt D tại B và C sao cho BC =8 Suy ra bỏn kớnh của (S) là:R=5

9) B- 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm (1;0;0), (0; ;0), (0;0; ), trong đó A B b C c

, 0 và mặt phẳng ( ) : 1 0 Xác định và , biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với

1 mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng

3

Bài giải:

Mặt phẳng (ABC) cú phương trỡnh: 1

1+ + =

Mặt phẳng (ABC) vuụng gúc với mặt phẳng (P): y- + =z 1 0, suy ra: 1- =1 0

b c (1)

1

(2)

Từ (1) và (2), do , b c>0 suy ra 1

2

= =

10) B- 2010 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 Xác định tọa độ

DDDD

M

H C

P

điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM.D

Bài giải:

Đường thẳng D đi qua điểm A(0;1;0) và cú vectơ chỉ phương v=(2;1;2)

Do M thuộc trục hoành, nờn M cú tọa độ (t;0;0), suy ra: AM =(t; 1;0- )

1

ị ở ỷ =

= -ộ + +

ở





t

t

Suy ra M(-1;0;0) hoặc M(2;0;0)

11) D- 2010 Trong không gian Oxyz, cho hai mp(P): x+ + - =y z 3 0 và (Q): x- + - =y z 1 0

Viết phương trình mp(R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2

Bài giải:

Ta cú vectơ phỏp tuyến của (P) và (Q) lần lượt là: nP =(1;1;1) và nQ =(1; 1;1- ), suy ra:

-ởn n P Qỷ là vectơ phỏp tuyến của (R)

Mặt phẳng (R) cú phương trỡnh dạng x- + =z D 0

Ta cú d( ,( ) )

2

= D

D

D hoặc D= -2 2 Vậy phương trỡnh mặt phẳng (R): x- +z 2 2 =0 hoặc x- -z 2 2 =0

3

1 2) D- 2010 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : và :

Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến bằng 1

= + ỡ

-ù

ù = ợ

y t

z t

Ta cú: + Mẻ D1, nờn M(3+t t t; ; )

+ D2 đi qua A(2;1;0) và cú vectơ chỉ phương v=(2;1;2)

Do đú: = +( 1; -1; ; ) ộ , ự =(2- ;2; -3 )

d ,

3







M

2

1 3

- + =

4

= ộ

Û - + = Û ờ =

ở

t

t

Suy ra M(4;1;1) hoặc M(7;4;4)

12) A- 2009 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x-2y- - =z 4 0và mặt

cầu( ) 2 2 2

S :x +y + -z 2x-4y-6z-11=0 Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo

một đường trũn Xỏc định tọa độ tõm và tớnh bỏn kớnh của đường trũn đú

Bài giải:

(S) cú tõm I(1;2;3), bỏn kớnh R=5

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

Khoảng cách từ I đến (P): ( ( ) ) 2 4 3 4

3

Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vuông góc của I

Tọa độ H x y z( ; ; ) thỏa mãn:

1 2

2 2 3

= + ì

ï = -ï

í = -ï

ï - - - = î

Giải hệ ta được H(3;0;2)

13) A-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P : x-2y+2z- =1 0 và 2

đường thẳng D1: 1 9

= =

-x y z Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt

phẳng (P) bằng nhau

Bài giải:

2

D qua A(1;3; 1- ) và có vectơ chỉ phương u=(2;1; 2- )

1

2

1 ; ; 9 6

2 ;3 ;8 6 , , 8 14;20 14 ; 4

Î D Þ - + - +

 

Khoảng cách từ M đến D2: ( ) 2

2

,

 



MA u

u

Khoảng cách từ M đến (P): ( ( ) )

( )2

3

+ - +

M P

1

11 20

3

35

= é

ê = ë

t t

t

14) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1 ,)

( 2;1;3 , ) (2; 1;1)

B - C - và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho

khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Bài giải:

Mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (P) đi qua A, B và song song với CD

Vec tơ pháp tuyến của (P): = ëé , ùû

 



( 3; 1;2 , ) ( 8; 4; 14) ( 8; 4; 14)

= - - = - - - Þ =

Phương trình (P): 4x+2y+7z-15=0

Trường hợp 2: (P) qua A, B và cắt CD Suy ra (P) cắt CD tại trung điểm I của CD

Ta có: I(1;1;1)ÞAI =(0; 1;0- ); vectơ pháp tuyến của (P): =é , ù =(2;0;3)

 



Phương trình (P): 2x+3z- =5 0

Vậy (P): 4x+2y+7z-15=0 hoặc (P): 2x+3z- =5 0

15) B-2009 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x-2y+2z- =5 0 và hai

điểm A(-3;0;1 , ) (B 1; 1;3- ) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết

phương trình đường thẳng mà khoản g cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Bài giải:

Gọi D là đường thẳng cần tìm; D nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P)

Phương trình (Q): x-2y+2z+ =1 0

K, H là hình chiếu của B lên D, (Q) Ta có BK ³BH

nên AH là đường thẳng cần tìm

Tọa độ H x y z( ; ; ) thỏa mãn:

1 11 7

; ;

9 9 9

ï - + + = î

H

26 11 2

; ;

=ç - ÷



16) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0 , ) (B 1;2;2 , ) (C 1;1;0) và

mặt phẳng ( )P :x+ + -y z 20=0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường

thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Bài giải:

( 1;1;2)

=

-

AB , phương trình

2

2

= -ì

ï = + í

ï = î

D thuộc đường thẳng ABÞ D(2-t;1+t t;2 )ÞCD= -(1 t t t ; ;2 )

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n =(1;1;1)

Ta có: C không thuộc mặt phẳng (P)

2

Û = Û - + + = Û =

2 2

æ - ö

17) D-2009 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: 2 2

+ = - =

phẳng( )P : x+2y 3z- + =4 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và

vuông góc với đường thẳng D

Bài giải:

Tọa độ giao điểm I của D với (P) thỏa mãn hệ: 12 12 1 ( 3;1;1)

-í

ï + - + = î

I

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n =(1;2; 3- ), vectơ chỉ phương của D:u=(1;1; 1- )

B

A Q

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v=[ ]n u , =(1; 2; 1- - )

Phương trình

3

1

= - + ì

ï = -í

ï = -î

18) A-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;5;3) và : 1 2

- = =

d

a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mp(a) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (a) lớn nhất

Bài giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(2;1;2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d,

suy ra H(1 2 ; ;2+ t t +2 ; t) AH=(2t-1;t-5;2t-1 )

Vì AH^d suy ra  AH u = Û0 2 2( t- + - +1) t 5 2 2( t- = Û =1) 0 t 1

Suy ra H(3;1;4)

b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( )a

Ta có: d A,( ( )a ) =AK £AH Do đó d A,( ( )a ) lớn nhấtÛ AK =AH, hay K ºH

Suy ra ( )a qua H và nhận AH=(1; 4;1- ) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình của ( )a là: 1(x- -3) (4 y- +1) (1 z-4) = Û -0 x 4y+ - =z 3 0

19) B-2008 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2 , ) (B 2; 2;1 , - ) (C -2;0;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+ - =z 3 0 sao cho MA MB MC= =

Bài giải:

a) Ta có: =(2; 3; 1 , - - ) = - - - Þ =( 2; 1; 1) é , ù=(2;4; 8- )

Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận n làm vetơ pháp tuyến nên có phương trình:

2 x- +0 4 y- -1 8 z-2 = Û +0 x 2y-4z+ =6 0

b) Ta có  AB AC =0 nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trung

điểm I(0; 1;1- ) của BC

Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình:

+ + - = ì

ï

í = + =

-î

Suy ra M(2;3; 7- )

20) D-2008 Trong không gian Oxyz ,cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài giải:

a) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng:

Thay tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*) ta được hệ phương trình:

+ + = -ì

ï + + = -ï

í + + = -ï

ï + + + = -î

Giải hệ phương trình trên và đối chiếu điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu:

+ + - - - =

b) Mặt cầu đi qua A, C, C, D có tâm 3 3 3; ;

2 2 2

Gọi phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là: ( 2 2 2 )

+ + + = + + >

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào phương trình ta được:

+ + = ì

ï + + = Þ = = = - ¹ í

ï + + = î

Do đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: x+ + - =y z 6 0

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là hình chiếu vuông góc H của điểm I trên mặt

phẳng (ABC)

Phương trình đường thẳng IH:

Tọa đọ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

6 0

+ + - = ì

ïï

ïî

Giải hệ trên ta được H(2;2;2)

21) Dự bị A 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

- = - =

- - + = ì

í - + - = î

d

a) Chứng minh rằng d và 1 d2cắt nhau

b) Gọi I là giao điểm của d và 1 d 2 Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d , 1 d sao cho 2

tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41

42

Bài giải:

a) Tọa độ giao điểm của d và 1 d 2 ( nếu có )là nghiệm của hệ phương trình:

1

ï - + - = ïî =

ï

î

x

Vậy d1 cắt d2tại giao điểm I(1;1;2)

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

b) d1 đi qua điểm M1(3;3;3) có vectơ chỉ phương u1 =(2;2;1);

2

d là giao tuyến hai mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến lần lượt là n1 =(5; 6; 6)- - ; n2 =(1; 6;6)- nên

có vectơ chỉ phương là [n n 1; 2]= -( 72; 36; 24- - ) Chọn vectơ chỉ phương là u2 =(6;3;2)

Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d và 1 d 2

1 2

u u

Giả sử IA=IB= >a 0 Diện tích của tam giác IAB là 1 2 41 41

Vậy A nằm trên mặt cầu (S) tâm I bán kính bằng 1:

(x-1) + -(y 1) + -(z 2) =1

Ta có A= Çd1 ( )S nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình

3 2

3 2 3

= + ì

ï = + ï

í = + ï

ï - + - + - = î

= +

ï

= - Þ = = = ê

î

và B =d2Ç( )S nên tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình

1 6

1 3

2 2

= +

ì

ï = +

í = +

ï

ï - + - + - =

î

(6 ) (3 ) (2 ) 1

= +

ê

î

Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:

5 5 7 13 10 16

A B hoặc 5 5 7; ; ; 1 4 12; ;

Hoặc 1 1 5; ; ; 13 10 16; ;

A B hoặc 1 1 5; ; ; 1 4 12; ;

22) Dự bị A 2-2008 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+3y-3z+ =1 0,

đường thẳng 1: 3 5

- = = +

d và 3 điểm A(4;0;3 , ) (B - -1; 1;3 , ) (C 3;2;6 )

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một

đường tròn có bán kính lớn nhất

Bài giải:

a) Gọi mặt cầu (S) cần tìm có phương trình 2 2 2

( ) :S x +y +z +2ax+2by+2cz+ =d 0

có tâm I(- - -a; b c; )

Ta có: A, B, C thuộc (S) và I thuộc (P) nên ta có hệ phương trình:

8 6 25 0

+ + + = ì

ï- - + + + =

í + + + + = ï

ï- - + + = î

í- + + + = í =

ï- - + + = ï =

Phương trình mặt cầu: 2 2 2

( ) :S x +y +z -2x-4y-6z+ =1 0 có tâm I(1;2;3) b) Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính lớn nhất là mặt phẳng đi qua tâm I của

mặt cầu

Đường thẳng d đi qua điểm M(3;0;–5) và có vectơ chỉ phương u=(2;9;1), IM=(2; 2; 8- - )

, 70; 18;22

IM u

é ù

Þ ë û =

-Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n=(35; 9;11- ) nên có phương trình

(Q): 35(x- -1) (9 y- +2) 11(z- = Û3) 0 35x-9y+11z-50=0

23) Dự bị B 1-2008 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1: 3 5

- = = +

(5;4;3 , ) (6;7;2 )

a) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua hai điểm A, B Chứng minh rằng hai đường

thẳng d và 1 d chéo nhau 2

b) Tìm điểm C thuộc d sao cho tam1 giác ABC có diện tích nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất

đó

Bài giải:

a) Đường thẳng d1 qua điểm M(3;0;5) và nhận u1=(2;9;1) làm vectơ chỉ phương

Đường thẳng d2 đi qua điểm A(5;4;3) và nhận u2 =AB=(1;3; 1)- làm vectơ chỉ phương nên có

phương trình 2: 5 4 3

- = - =

Ta có: MA=(2;4;8) và [u u 1, 2]= -( 12;3; 3)- Þ[u u 1, 2].MA= - +24 12 24- = -36¹0

Vậy hai đường thẳng d và 1 d chéo nhau 2

b) Ta có: C thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ (3 2 ;9 ; 5C + t t - +t và ) AC=(2t-2;9t-4;t-8)

2

Þ ë û = - - + + Þ ë û = - +

2

,

= ë û =

ABC

Diện tích nhỏ nhất khi 20 67;20; 25

t C và Smin = 22 (đ.v.d.t)

24) Dự bị B 2-2008 Cho 3 điểm A(1;0; 1 , - ) (B 2;3; 1 , - ) (C 1;3;1) và d: 1 0

4

- + = ì

í + + = î

a) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích của tứ diện ABCD bằng 1

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác ABC và

vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Bài giải:

Chuyên đề HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013

a) AB=(1;3;0); AC=(0;3;2)Þ éAB AC, ù =(6; 2;3)

Phương trình mặt phẳng (ABC): 6x-2y+3z- =3 0

Diện tích tam giác ABC : 1 , 7

= ë û =

ABC

Gọi h là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) : 3 6

7

ABC

V h S

Từ phương trình đường thẳng d: 1 0

4

- + = ì

í + + = î

Ta có M(0;1;3 , ) (N -1;0;5)ÞNM =(1;1; 2- )

Phương trình đường thẳng d: 1

3 2

= ì

ï = + í

ï = -î

Ta có: DÎ Þd D t( ;1+t;3 2- t) Do 6 | 4 2 | 6 5 (5;6; 7)

t h

b) Gọi H a b c( ; ; ) là tọa độ trực tâm tam giác ABC:

Ta có hệ phương trình

ì = ì- + + =

î ïî

 

 

Phương trình đường thẳng cần tìm

85 6 49 135 2 49 31 3 49

ì = + ï

ï

ï = -í

ï

-ï = + ïî

25) Dự bị D-2008 Cho mặt phẳng (a): 2x- +y 2z+ =1 0 và: : 1 1

- = - =

d

a) Tìm tọa độ giao điểm của d với (a) Tính sin của góc giữa d và (a)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) và (Oxy)

Bài giải:

a) Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mp(a) là nghiệm hệ phương trình :

3

2

ï - + + = ï - + + = ï =

d có VTCP u=(1;2; 2)- ; (a) có vectơ pháp tuyến n=(2; 1;2)-