Chứng minh rằng: SO⊥ABCD... Chứng minh rằng: AK⊥SBC... Chứng minh rằng: BD⊥SAC.
Trang 1Phần Hình Học Cho hình lăng tru ̣ tam giác ABC A B C ' ' ', đă ̣t uuur r uuur r uuur rAA a AB b AC c'= , = , = Go ̣i I là trung điểm của B’C’.
a Phân tích véctơ uurAI theo các vétơ a b cr r r, , .
b Phân tích vétơ uuurAO theo các véctơ r r ra b c, , , với O là tâm của hình bình hành BB’C’C.
c Phân tích vétơ uuurAG theo các véctơ r r ra b c, , , với G là tro ̣ng tâm của ∆A B C' ' '.
d Chứng minh rằng: uuuur=1(uuuur uuuuur'+ ' ') (=1 uuur uuuuur'+ ' ')
MN AC A B AB A C , với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’.
e Chứng minh rằng: uuur= 1(uuur uuur uuuur uuur+ '+ '+ )
4
AO AB AB AC AC
AI = AB +AC = a b a c+ + + = +a b+ c
'
1
'
AO a c b
uuur uuuur uuur r r r
uuur r r r uuur uuur uuuur r r r
= + +
d/Chứng minh rằng: uuuur=1(uuuur uuuuur'+ ' ') (=1 uuur uuuuur'+ ' ')
MN AC A B AB A C , với M, N lần lượt là trung điểm của AA’, B’C’
Chứng minh:
AC A B AB A C AC A B AC A C
AC AB A C A B B C B C
uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur
uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
2/
3/ Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2, SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi mô ̣t vuông góc Go ̣i H là trực tâm của ∆ABC.
a Chứng minh rằng: SA BC SB AC⊥ , ⊥
b Chứng minh rằng: SH ⊥(ABC).
c Tính góc giữa SA và mă ̣t phẳng (ABC).
a/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Ta có
SB =SC suy ra SN ⊥BC, AH ⊥BC suy ra BC ⊥SA
Tương tự AC ⊥SB
Ta có SN BC BC SH
AH BC
Trang 2Tương tự AB⊥SH
b/ Từ câu a Suy ra SH ⊥(ABC)
c Tính góc giữa SA và mă ̣t phẳng (ABC)
Ta có HS ⊥( ABC) suy ra AH là hình chiếu của AS lên (ABC)
Suy ra góc giữa SA và mă ̣t phẳng (ABC) là góc giữa AH và SA
3
3 3
cos
3
b
SAH
a
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng
trong đó α là góc sao cho cos 3
2
b a
α =
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O ca ̣nh a, SA⊥(ABCD), SA = a, BAD· = 120 °.
a Tính số đo góc của BD và SC.
b Go ̣i H là trung điểm của SC Chứng minh rằng: OH ⊥(ABCD)
c Tính số đo của góc SB và CD.
a/ Vì ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
SA⊥ ABCD ⇒AC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Suy ra góc giữa chúng bằng 900
b/ Ta có OH là đường trung bình của tam giác CSA suy ra HO // SA
mà
SA⊥ ABCD ⇒OH ⊥ ABCD
c/ CD//AB suy ra góc giữa SB và CD là góc giữa SB và AB
bằng 450 vì tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A
5/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, BAC· = °30 ,
SA SB SC SD a.
a Chứng minh rằng: SO⊥(ABCD).
b Ti ́nh góc giữa SC và (ABCD).
c Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng: MN ⊥(SBD) .
d Ti ́nh khoảng cách giữa SB và AC.
a/ Vì O là trong điểm của AC và BD; SA= SB =SC = SD Nên
SO AC
SO ABCD
SO BD
b/ Ta có SO⊥(ABCD) suy ra OC là hình chiếu của SC lên (ACBD)
Trang 3vì · 0
30
BCA= suy ra tam giác ACD là tam giác đều suy ra 3
2
a
CO=
·
( ) 3 · 0
2
OC
SC
= = ⇒ = Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng 300
c/ Ta có
( )
SO ABCD SO BD
BD SO
BD SAB
DB AC
BD SAB
MN SAB
MN AC
P
d/ Gọi H là hình chiếu của O lên SB
Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC⊥HO Đoạn thẳng OH là đoạn
vuông góc chung của AC và SB
Ta có tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O suy ra OH =
2
a
7/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và AH= a, góc BAC· =120°, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a= 3 Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.
a Chứng minh rằng: AK⊥(SBC).
b Ti ́nh góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).
c Ti ́nh khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có SA⊥( ABC) ⇒SA BC⊥
HA là đường cao của tg ABC suy ra AH ⊥BC
AH BC
BC SAH
SA BC
BC SAH
BC AK
AK SAH
K là hình chiếu của A lên SH suy ra AK ⊥SH
AK SH
BC SH H
b/
( ) ( ) ( (· ) (, ) ) (· , ) ·
,
AH ACB
SH SBC
ABC SBC SH AH AHS SBC ABC BC
SH AH BC
0
AH
Trang 4Ta có AH là đoạn vuông góc chung của SA và BC vậy k/c giữa SA và BC bằng a
8/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ca ̣nh a, góc ·BAD= ° 60 , = 3
2
a
SA Hình chiếu H của S lên mă ̣t phẳng (ABCD) trùng với tro ̣ng tâm của ∆ABD.
a Chứng minh rằng: BD⊥(SAC) Tính SH, SC.
b Go ̣i α là góc của (SBD) và (ABCD) Tính tanα
c Tính khoảng cách giữa DC và SA.
a/ Vì H là hình chiếu của S lên (BCD) suy ra SH ⊥BD
ABCD là hình thoi suy ra AC⊥BD
SH BD
SH AC H
ABCD là hình thoi cạnh a và góc · 0
60
BAD= nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a 3; 3
OH = OA OC= =
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
5
12
3
2
SH a
a
SC
= − = ÷÷ − ÷ = ÷ ÷ − ÷÷ = − =
b/ Ta có
·
( , )
SAC BD
SAC ABCD AC OH SO
SAC SBD SO
SH
a
α
α
9/ Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC đều ca ̣nh 2a, SA⊥(ABC), SA = a Go ̣i I là trung điểm của BC.
a Chứng minh rằng: BC⊥( )SAI
b Tính khoảng cách từ A đến mă ̣t phẳng (SBC).
c Tính góc giữa hai mă ̣t phẳng (SBC) và (ABC)
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
b/ Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)
Trang 5( ) ( )
SBC SAI
H SI SBC SAI SI
Xét tam giác vuông SAI có:
2 2 2 2 2
a AH
AH = AI +SA ⇒ AH = a ⇒ =
c/ Ta có:
( )
(· ) ( )
¶
3
3 3 2 2
BC SAI
ABC ABC BC
SBC ABC SI AI SIA SBC SAI SI
ABC SAI AI
SA a
AI
a
10/ Cho hình chóp S.ABC, SA⊥(ABC), ∆ABC đều Go ̣i I là hình chiếu của S lên BC, H là hình chiếu của A lên SI và SA=2 3,a AB=2a.
a Chứng minh rằng: AH ⊥(SBC).
b Tính góc giữa hai mă ̣t phẳng: (SBC) và (ABC)
c Tính khoảng cách giữa SA và BC.
a/ Ta có SA⊥(ABC)⇒SA⊥BC(1)
ABC là tam giác đều, I là trung điểm của BC nên AI ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC⊥ (SAI)
( )
( )
BC SAI
SA AH
AH SAI
H là hình chiếu của A lên SI nên AH ⊥SI
SA AH
SI BC I
b/
( )
(· ) ( )
3 2 2
BC SAI
AI SBC SAI SI
a ABC SAI AI
α
Trong đó α là góc sao cho tan α = 2
c/ khoảng cách giữa SA và BC là độ dài đoạn AI = 2a 3
Trang 611: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC vuông cân với AB = BC = a, SA⊥(ABC), SA = a Go ̣i I là trung điểm của AC.
a Chứng minh rằng: BI ⊥(SAC)
b Tính số đo của góc giữa 2 mă ̣t phẳng (SAC) và (SBC).
c Tính khoảng cách giữa SB và AC.
