CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN1/.. PP Tính trực tiếp :Aùp dụng các tính chất, biến đổi fx dưới dấu tích phân thành tổng rồi áp dụng các công thức.. d Hàm số có chứa một phần nào phức tạ
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1/ PP Tính trực tiếp :Aùp dụng các tính chất, biến đổi f(x) dưới dấu tích phân thành tổng rồi
áp dụng các công thức
2/ PP Đổi biến số :Mục đích đặt u = ϕ(x)để biến đổi f(x) = f(u) = u’.um vì ∫ = ++
1 '.
1
m
u du u u
m m
: Phương pháp này thường áp dụng vào hàm số gồm 2 phần mà ta đã đặt 1 phần là u thì phần còn lại phải chứa u’
Các bước tiến hành :
a) Đặt u = ϕ(x) => x theo u
b) Lấy vi phân hai vế : du = ϕ ' (x) dx -> dx theo du
c) Thay x và dx vào f(x)dx để có f(u)du
d) Aùp dụng công thức thích hợp để tính tích phân theo u ( u được xem như biến tích phân)
e) Thay u = ϕ(x) để có đáp số
Cách chọn u = ϕ(x)
a) Hàm số chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa :Đặt u là phần trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất Vd:I =∫( 2x− 4 )(x+ 3 ) 7dx đặt u = x + 3
b) Hàm số có chứa mẫu số ( Hữu tỷ ) : Đặt u là mẫu số Vd : I =∫tgxdx đặt u = cosx c) Hàm số có chứa căn (vô tỷ ) : Đặt u là phần trong căn
d) Hàm số có chứa một phần nào phức tạp : Đặt u là phần phức tạp đó Vd :
∫
=
x
dx e I
x
3 đặt u = 3 x
e) Mẫu số của hàm số có dạng 2 2 2 2
*
*
a x
hay x
a
x hay a
x
sin
= f) Mẫu số của hàm số có dạng 2 2
*
x
a + Đặt t tg x dx a( 1 tg t)dt
2
2
+
=
⇒
= g) Hàm số có dạng * − 3 * Đặt x=u6 ⇒ 3 x= 3 u6 =u2 ⇒ x= u6 =u3
h) Hàm số có dạng 1 −Ln2x Đặt u = Lnx
i) Hàm số có dạng 1 e− 2 Đặt u = ex hoặc u = 1 – ex nhưng u = 1 −e x hay hơn cả
3/.PP Tích phân từng phần :Mục đích biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng u.dv từ đó
tính được tích phân của hàm dưới dấu tích phân là : ∫udv =u.v−∫vdu
Các bước tiến hành : Ta chia f(x) thành hai phần: một phần là u còn phần kia là dv Có hai cách đặt :
∫
= f x dx
∫
= u dx
dv dv Đặt u = => du = u’dx ( Thường u là phần có tích phân rắc rối hơn)
Và dv = dx => v là nguyên hàm của khi c = 0
Nhưng không phải bài nào cũng có thể giải bằng hai cách, do đó nếu đặt một phần là u mà thấy không thể nào làm ra thì đổi phần kia là u
Cách chọn : Với P(x) là một đa thức
Trang 2∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
dx Lnmx K
g
dx Lnx x P
f
dx bx e
e
dx ax e
d
dx bx x
P
c
axdx x
P
b
dx e x P
a
ax
ax ax
.
)
) ( )
cos )
sin )
cos ).
( )
sin ).
( )
) ( )
Một số lưu ý về tích phân của hàm hữu tỷ:
a)Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu : Ta lấy tử chia cho mẫu để đưa về dạng bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu
b)Nếu tử có chứa đạo hàm của mẫu : dùng PP đổi biến số
b)Hàm số có dạng x n(x−c)
1
ta phân tích làm cho mẫu thức sụt bậc dần cho đến khi còn bậc 1 (PP đồng nhất thức)
1
2 3
D x
C x
B x
A x
x hoặc ( −121)( +43)3 = −1+( +3)3 +( +3)2 +( +3)
+
x
B x
B x
B x
A x
x x
Tích phân các hàm số lượng giác:
Đặt u = P(x), dv là phần còn lại
Đặt u = Lnx, P(x)dx = dv