Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh một số tự nhiên [r]
Trang 1đầy đủ các dạng bài toán bồi giỏi 6
đã tổng hợp
Dãy các số viết theo qui luật Bài 1: Tính:
A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
HD:
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bài 2: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101
HD:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99)
Bài 3: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
HD:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99)
Bài 4: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
HD:
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101
Bài 5: Tính:
A = 12+22+32+ +992+1002
HD:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100)
Bài 6: Tính:
A = 22+42+62+ +982+1002
HD:
A = 22(12+22+32+ +492+502)
Bài 7: Tính:
A = 12+32+52+ +972+992
HD:
A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002)
A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502)
Bài 8: Tính:
Lop6.net
Trang 2A = 12-22+32-42+ +992-1002
HD:
A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002)
Bµi 9: TÝnh:
A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
HD:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99)
D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt Bµi 1: TÝnh:
A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100
HD:
3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bµi 2: TÝnh:
A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101
Bµi 3: TÝnh:
A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102
HD:
Bµi 4: TÝnh:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100
Bµi 5: TÝnh:
A = 12+22+32+ +992+1002
Bµi 6: TÝnh:
A = 22+42+62+ +982+1002
Bµi 7: TÝnh:
A = 12+32+52+ +972+992
Bµi 8: TÝnh:
A = 12-22+32-42+ +992-1002
Bµi 9: TÝnh:
A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992
CHUY£N §Ò ¦C - BC Bµi to¸n mÉu : Trong một số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b Việc chứng minh hệ
thức này không khó :
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*)
Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] (**)
Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6
Trang 3Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5
Bài toán 5 :
Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b)
CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT
D¹ng 1 : BÀI TOÁN TÍNH
Chúng ta cùng
Bài toán A :
Tính :
:
Vì 1 2 = 2 ; 2 3 = 6 ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn
chút xíu
Bài 1 : Tính :
Và
Bài 2 : Tìm x
,- ta có :
ta có bài toán
Bài 3 : 0 minh 1 :
Do 3456 cho ta bài toán !" #! khó”
Bài 4 : 0 7 1 :
không :; là = nguyên
Chúng ta 1 ; a2 ; ; a44 là các = B nhiên <C - 1 và khác nhau thì
Lop6.net
Trang 4Giúp ta $ 3C bài toán Hay và Khó sau :
Bài 5 : Tìm các = B nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 sao cho
Ta còn có các bài toán G "H 3C bài toán 5 % sau :
Bài 6 : Cho 44 = B nhiên a1 ; a2 ; ; a447 mãn
0 minh 16 trong 44 = này, K L hai = 1 nhau
Bài 7 : Tìm các = B nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a457 mãn a1 < a2 a3 < < a44 <
a45 và
Các
D¹ng 2: so s¸nh
Bài 1 : #/ minh 12 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2
nhau Ta
Cách 1 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2)
(1) và (2) => :
A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2
Cách 2 : Ta có :
1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3)
1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4)
(3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2
Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5)
1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6)
(5), (6) => : A < 1 + 1 = 2
Cách 4 : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = 1 (7)
1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8)
Tơ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2
Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9)
1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10)
1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11)
Tơ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2
78 9: ; 6 NÂNG CAO
1
Trang 5a)
= hàng - 3P là 3
b)
2 * Ghi
b) n c) ** Ghi
b) n c)
3 +%S ta 3$ liên $: các = B nhiên thành dãy = sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ''',7
a)
b)
4 iO kí N thích &: vào ô vuông:
d) {2;1; 6} {1; 2; 6} h) 0 N*
5 Trong & thi "Bông hoa U) 10" ) ngày Nhà giáo N Nam - oC: 6/1 có 45 L L 1 U) 10 T lên, 38 L L 2 U) 10 T lên, 15 L L 3 U) 10 T lên, 9 L L 4 U) 10, không có ai L trên 4 U) 10 ,7 trong & thi /6 <C: 6/1
có
6 Trong
sinh thích bóng
thích bóng
lông và
7
Lop6.net
Trang 68
9 Tìm
10 Tìm
11 Em hãy
ghép chúng
12 Tìm
hai
13
là 7 Tìm = P chia và = chia
14 So sánh: 21000 và 5400
15 Tìm n N, $
a) 2n 8 = 512 b) (2n + 1)3 = 729
16 Tính giá
a) 39 : 37 + 5 22 b) 23 32 - 516 : 514
17 Tìm x, y N, $ 1 2x + 242 = 3y
18 Tìm x N, $
a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 24 3
b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0
19 Tính giá
a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 215 : 213
b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 190
16 + 28
d)
213 + 25
Trang 7c) 5 {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15}
d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 316 : 312
20 Tìm x $
a) (x - 15) : 5 + 22 = 24
b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6
c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]} x = 86
21 Xét xem:
a) 20022003 + 20032004 có chia $ cho 2 không?
b) 34n - 6 có chia $ cho 5 không? (n N*)
c) 20012002 - 1 có chia $ cho 10 không?
22 Tìm x, y U = 30xy chia
23
NANG CAO
Bài 1 Cho
M khi 3$ h%C hL = 4: phân 2
Bài 2: Em hãy thay
nhau thì thay
# gì không? 2
Bài 3 : r BÀI TOÁN TÍNH +D 3
Bài 1 : 0 minh 1 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < 2 4
Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + 4
a)
b)
Bài 4(1) : Cho 6 = B nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 ; mãn : 5
2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 5
1)
2)
Bài 5(1) :
) h *) U phép toán ' 5
Lop6.net
Trang 8Bài 1(4) : Cho = :
6
Bài 2(5) : Phân = Ai 4: 7
cách ?7
Bài 3(5) : So sánh A và B $ : 8
A = (20032002 + 20022002)2003 8
B = (20032003 + 20022003)2002 8
Bài 1(6) : Cho a, b là các = nguyên h%- 7 mãn p = a2 + b2 là = nguyên =6 p - 5 chia $ cho 8 D; d các = nguyên x, y 7 mãn ax2 - by2 chia $ cho p 0 minh
8 Bài 2(6) : Cho
theo
8 = T 8 1 nhau ?9
Bài 2(8) : Cho dãy = B nhiên liêp $: : 150 O 149 O 148 O … O 51 O 50 0 minh
2003 9
Bài 3(9) : Trong
và
J cùng = 4' 9
Bài 1(11) : Phân tích
Bài 2(11) : Tìm = nguyên a <C sao cho = T = 427 + 41016 + 4a là = chính
:%-' 10
Bài 3(11) :
làm ' 10
Bài toán thách : So sánh 5255 và 2572 11
Bài 3(13) : Cho 25
a) 0 minh 1 : Trong 25 = có ít 22 = h%-'11
Bài 2(14) : 0 minh 1 :%- trình sau không có N) nguyên x, y : 12 36x2 + 144y2 - 276x - 120y + 25 = 0 (*) 12
Trang 9Bài 1(18) : Có bao nhiêu
và không <C - 2004 ? 13
Bài 2(20) : Tìm
Bài 1(21) : Cho ba = chính :%- A, B, C 0 7 1 : 14
(A - B)(B - C)(C - A) chia $ cho 12 14
Bài 1(22) : D; d (a1 ; a2 ; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) là 3 = nguyên
các = a = 1/3(ak + al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; K S là các
= nguyên 14
Bài 2(24) : K L hay không = nguyên n 7 mãn n3 + 2003n = 20052005 + 1 ? 15 r 2+D TOÁN o+ VÀ BCNN
Trong
và chung 7 (BCNN), các L u: hL toán tìm hai = nguyên h%- khi $ ) = 5$ = trong / có các h 8N 3O o+ và BCNN
q%- pháp chung U ; :
1/ 2B vào P # o+ U U h hai = :; tìm, liên N 3C các 5$ = J cho
U tìm hai ='
2/ Trong
tích
[a, b] là BCNN
(*)
(*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa
Bài toán 1 : Tìm hai = nguyên h%- a, b $ [a, b] = 240 và (a, b) = 16 oS ; : Do vai trò
+ ; (m, n) =
1
Theo P # BCNN :
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15
Chú ý : Ta có
mn.162 = 240.16 suyy ra mn = 15
Bài toán 2 : Tìm hai = nguyên h%- a, b $ ab = 216 và (a, b) = 6
: o4: <4 % bài 1, ; d a b
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n + ; (m, n) = 1 ; m n
Vì 345 : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 %- %- mn = 6 %- %- m = 1, n = 6
Bài toán 3 : Tìm hai = nguyên h%- a, b $ ab = 180, [a, b] = 60
:
(**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3
Tìm
Lop6.net
Trang 10Chú ý : Ta có
có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3
Bài toán 4 : Tìm hai = nguyên h%- a, b $ a/b = 2,6 và (a, b) = 5
+ ; (m, n) = 1
Vì 345 : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 %- %- 3C m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b
= 25
Chú ý : phân
Bài toán 5 :
Tìm a, b $ a/b = 4/5 và [a, b] = 140
: iu (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , )u khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d
o% ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35
Bài toán 6 : Tìm hai = nguyên h%- a, b $ a + b = 128 và (a, b) = 16
: o4: <4 % bài 1, ; d a b
Ta có : a = 16m ; b = 16n + ; (m, n) = 1 ; m n
Vì 345 : a + b = 128 %- %- 16(m + n) = 128 %- %- m + n = 8
Bài toán 7 : Tìm a, b $ a + b = 42 và [a, b] = 72
+ ; (m, n) = 1
Không ) tính quát, ; d a b => m n
Do / : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là
=> m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4
= 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán 8 : Tìm a, b $ a - b = 7, [a, b] = 140
+ ; (m, n) = 1
Do / : a - b = d(m - n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d là
Thay
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
45 d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28
Bài HI J :
1/ Tìm hai = a, b $ 7a = 11b và (a, b) = 45
2/ Tìm hai
3/ Cho hai
hai = luôn chia $ cho = còn <L'
,+D MINH r w KHÔNG q,} LÀ w CHÍNH q,+D
Trang 11Trong
chia
1 ; 4 ; 9 ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)
1 Nhìn D#L MN H cùng
Vì
I#!Q I# có D#L MN H cùng là 0S trong các D#L MN 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 / các
em có
Bài toán 1 : 0 minh = : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012
không :; là = chính :%-'
:%-'
Chú ý :
% 3 không :; là = chính :%-' Khi / các L :; <% ý thêm ) chút :
WX MN chính I#!Q chia #W cho MN nguyên N p thì I# chia #W cho p 2
Bài toán 2 : 0 minh = 1234567890 không :; là = chính :%-'
không chia
= chính :%-'
Chú ý : Có
chia
Bài toán 3 :
:; là = chính :%-'
chia
do / = này không :; là = chính :%-'
2 Dùng tính D#Z D[( MN \!
X L các em u: bài toán sau |5 :
Bài toán 4 :
:%-'
cho
cho 9
: Vì MN chính I#!Q khi chia cho 3 D#] có MN \! là 0 #^D 1 mà thôi (coi %
bài
cho 3 h% 2 0 7 = J cho không :; là = chính :%-'
Bài toán 5 : 0 minh các = B nhiên liên $: 1 $ 2005 không :; là = chính :%-'
Bài toán 6 : 0 minh = :
n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là = chính :%-'
Lop6.net
Trang 12Bây S các em theo dõi bài toán sau U # C ) “tình =H )C'
Bài toán 7 : 0 minh = :
n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là = chính :%-'
chia cho 4
3 *cI& MN L( hai MN chính I#!Q “liên WI&
Các em có U 5 1 : +$ n là = B nhiên và = B nhiên k 7 mãn n2 < k < (n + 1)2
thì k không là
Bài toán 8 : 0 minh = 4014025 không là = chính :%-'
theo ) %C khác
: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042
0 7 4014025 không là = chính :%-'
Bài toán 9 : 0 minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là = chính :%- 3C )V
= B nhiên n khác 0
là
: Ta có : A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2
ru khác :
(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
iO này U nhiên vì n 1 0 7 : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2 =>
A không là = chính :%-'
Các em có U rèn <5N 1 cách d ; bài toán sau :
Bài toán 10 : Hãy tìm = B nhiên n sao cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là = chính :%-' D& ý : +# $ (n2 - n + 1)2
Bài toán 11 : 0 minh = 235 + 2312 + 232003 không là = chính :%-'
Bài toán 12 : Có 1000
các = 2 $ 1001 sao cho không có hai ); nào ghi = = nhau 0 minh
Bài toán 13 :
không U là = chính :%-'
D& ý : +# C phép chia cho 4
Bài toán 14 : 0 minh 1 = 333333 + 555555 + 777777 không là = chính :%-'
Bài toán 15 : Lúc
Trang 13THCS và cho tôi
dùng U … :W P !) / các quý 5 cô có U sáng L thêm O bài toán thú 3P khác
Mong các em và quý
tìm U 8# - 3O = chính :%-'
,+D MINH r w
LÀ w CHÍNH q,+D
Các
minh ) = là = chính :%-'
d#!Q pháp 1 : J( vào fg# #h(5
Ta
này, ta có U P %C ; 5$ các bài toán
Bài toán 1 : 0 minh : C )V = B nhiên n thì
an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là = chính :%-'
: Ta có :
an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1
= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
C n là = B nhiên thì n2 + 3n + 1 n là = chính :%-'
Bài toán 2 : 0 minh = :
là = chính :%-'
:
Ta có :
Lop6.net
Trang 1445 : là = chính :%-'
d#!Q pháp 2 : J( vào tính D#Z f^D =i5
Ta có
cùng nhau và a.b là ) = chính :%- thì a và b O là các = chính :%-H'
Bài toán 3 : 0 minh 1 : +$ m, n là các = B nhiên 7 mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 O là = chính :%-'
:
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
%- %- 3C 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
$ cho d => 8m + 1 chí $ cho d
ru khác, (*) ta có : m2 chia $ cho d2 => m chia $ cho d
8m + 1 chia $ cho d và m chia $ cho d ta có 1 chia $ cho d => d = 1
45 m - n và 4m + 4n + 1 là các = B nhiên nguyên = cùng nhau, 7 mãn (*) nên chúng O là các = chính :%-' = cùng xin d C các L ) = bài toán thú 3P 3O = chính :%- :
1) 0 minh các = sau |5 là = chính :%- :
2) Cho các = nguyên h%- a, b, c 9 ) nguyên = cùng nhau, 7 mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho $ a + b có là = chính :%- hay không ?
3) 0 minh 16 3C )V = B nhiên n thì 3n + 4 không là = chính :%-'
...Cách :1/5 + 1 /6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = (5)
1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = (6)
(5), (6) => : A < + =
Cách : 1 /6 + 1/7 + + 1/11 < 6. 1 /6 = (7) ...
Bài Cho
M 3$ h%C hL = 4: phân
Bài 2: Em thay
nhau thay
# khơng?
Bài : r BÀI TỐN TÍNH +D
Bài : 0 minh 1 : 1/5 + 1 /6 + 1/7... ab = 2 16 (a, b) =
: o4: <4 % 1, ; d a b
Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n + ; (m, n) = ; m n
Vì 345 : ab = 6m.6n = 36mn =>