CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 1: ĐIỀN CHỮ SỐ Chuyên đề 2: ĐẾM SỐ, DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT Chuyên đề 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chuyên đề 4: CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ T[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS SỐ 2 PHƯỚC SƠN
ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỜNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6
HỌC KỲ I – NĂM HỌC: 2010 – 2011.
A Phần I: Số học
1 Các phép tính về số tự nhiên
a Kiến thức cơ bản:
- Các phép tính và tính chất cơ bản của các phép tính.
b Kiến thức nâng cao:
- Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ.
- Giai thừa.
- Các tính chất của phép trừ và phép chia
- Luỹ thừa:
+ Luỹ thừa của một tích.
+ Luỹ thừa của một luỹ thừa.
+ Luỹ thừa tầng.
+ Số chính phương.
2 Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên
a Định nghĩa phép chia hết.
b Các tính chất chung.
c Tính chất chia hết của một tổng và hiệu.
d Tính chất chia hết của một tích.
3 Các dấu hiệu chia hết
a Kiến thức cơ bản:
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9
b Kiến thức nâng cao:
Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25, cho 8, cho 11,
4 Số nguyên tố – hợp số
a Định nghĩa;
b Các định lý cơ bản;
c Một số định lý về số nguyên tố.
5 Ước chung lớn nhất – bội chung nhỏ nhất
a Ước & bội;
b Ước chung và ước chung lớn nhất;
c Bội chung và bội dung nhỏ nhất.
6 Các bài toán giải bằng phương pháp số học
- Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng;
- Phương pháp lựa chọn;
Trang 2- Phương pháp giả thiết tạm;
- Phương pháp suy luận logic
- Nguyên lí ĐI – RICH - LÊ
7 Số nguyên
Các chuyên đề nâng cao
Chuyên đề 1: Điền chữ số
Chuyên đề 2: Đếm số, dãy các số viết theo qui luật
Chuyên đề 3: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
Chuyên đề 4: Các vấn đề nâng cao về tính chất chia hết.
Chuyên đề 5: Số chính phương
B Phần II: Hình học
Chuyên đề: Tìm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng.
Phước Sơn, 15 tháng 10 năm 2010
Người lập
Hà Minh Hùng
Trang 3PHẦN I: SỐ HỌC
Chủ đề 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1 Thứ tự và cách ghi số trên N:
*) Ta xác định trên N một thứ tự như sau:
a) 0 là số tự nhiên nhỏ nhất;
b) a < b khi và chỉ khi điểm a điểm a ở bên trái điểm b trên tia số ( nằm ngang )
*) Trong hệ thập phân, ta có:
10
100 10
ab a b
………
2 Các phép tính về số tự nhiên:
- Giữa thứ tự và phép toán có quan hệ: a < b a +c < b + c và ac < bc ( với c > 0)
- Với mọi cặp số tự nhiên a và b bất kỳ (b 0), bao giờ cũng tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r sao cho a = b.q + r với 0 r < b.
+ Nếu r = 0 ta được phép chia hết, khi đó q là thương
+ Nếu r 0, ta được phép chia có dư, khi đó q là thương và r là số dư trong phép chia a cho b
3 Luỹ thừa với số mũ tự nhiên:
a) Định nghĩa: an = a a a a ( n 0) a gọi là cơ số ; n là số mũ
n thừa số
b) Các phép tính và tính chất:
+ Phép tính:
* Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Chia: am : an = am – n ( m > n )
* Luỹ thừa của một luỹ thừa: ( an)m = an.m
* Luỹ thưà của một tích: ( a.b)n = an.bn
* Luỹ thừa của một thương: ( a : b ) n = an: bn ( b 0 )
+ Tính chất:
- Quy ước: a0 = 1
a1 = a
- Ta có: an = am ( a 1) n = m
an > am ( a > 1) n > m
II BÀI TẬP:
Phép trừ:
Bài 1: So sánh A và B mà không tính giá trị cụ thể của chúng
a) A = 2002.2002 B = 2000.2004 b) A = 1998.1998 B = 1996.2000
Bài: So sánh:
a) 3111 với 1714 b) 10750 với 7375 c) 291 với 535 d) 544 với 2112
Trang 4Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 61991 b) 91991 c) 31991 d) 21991
Bài 3: a) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên
b) Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên
Bài 4: Tìm số ( chữ ) tự nhiên x, biết:
a) ( x – 5 ) (x – 7 ) = 0
b) x + ( x + 1 ) + ( x+ 2) + + ( x + 2010 ) = 2029099
c) 2 + 4 + 6 + 8 + + 2x = 210
d) (x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + + (x + 100) = 5750
e) 2x 2x 12x 2 2x 3 480
f) 2009 + chia hết cho 13 3x
Bài 5: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Bài 6: a) Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng minh rằng ababab là bội của 3
b) Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa luôn chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11
Bài 7: a) Tính tổng sau: S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 262 + 263
b) Viết tổng S = 22 + 22 + 23 + 24 + + 2100 dưới dạng luỹ thừa của 2
c) Chứng tỏ tổng P = 2 + 22 + 23 24 + + 259 + 260 chia hết cho 3
d) Cho A = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004 Chứng tỏ rằng A chia hết cho 126
va chia hết cho 65
e) Cho S = 1 + 5 + 52 + 53 +54 + … + 52010
Tìm số dư khi chia S cho 2, cho10, cho 13
f) Tìm số dư trong phép chia 7129 cho 50 và số dư trong phép chia 171994 cho 16
Bài 6: Cho M = 3 3 2 33 399 3100
a M cĩ chia hết cho 5, cho 12 khơng ? vì sao?
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
Bài 9:
a) Tìm số cĩ 3 chữ số, biết rằng số đĩ chia cho tổng các chữ số của nĩ được thương là
11 khơng dư
b)Hiệu của hai số là 862 chia số lớn cho số nhỏ ta được thương là 11 và dư 12 Tìm hai số đó
c) Tổng của hai số tự nhiên gấp ba lần hiệu của chúng Tìm thương của hai số tự nhiên ấy
Chủ đề 2 : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
I Tóm tắt lý thuyết:
1 Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0 Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q Khi đó ta còn nói a là bội của b, hoặc b là ước của a
2 Các tính chất:
a) Với mọi a 0 thì a a
b) Nếu a b và b c thì a c
c) Số 0 chia hết cho mọi số b 0
d) Bất kì số nào cũng chia hết cho 1
e) Nếu a m và b m thì a + b m, a – b m.
Trang 5* Hệ quả: Nếu a + b m và a m thì b m.
g) Nếu a m thì a.b m
h) Nếu a m và b n thì a.b m.n
* Hệ quả: Nếu a b thì a n b n
II Các ví dụ và bài tập:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Giải: Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp
Ta có: a + a + 1 + a + 2 = 3a + 3 chia hết cho 3
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a) ab ba chia hết cho 11; b) ab ba chia hết cho 9 với a > b
Giải:
a) ab ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b chia hết cho 11
b) ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b chia hết cho 9
Ví dụ 3: Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh rằng số bca chia hết cho 27
Giải: abc 27 abc 0 27 1000a + bc 0 27 999a + a + bc 0 27
27.37a + 27
Do: 27.37a 27 nên bca 27
Bài tập:
2 Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72 Biết rằng thương là 3 và dư bằng 8 Tìm số chia và số bị chia
3 Tìm các số tự nhiên a, biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15
4 Chứng tỏ rằng: a Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 2;
b Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3
5 Chứng minh rằng: a abcabc chia hết cho 7, 11 và 13;
b abcdeg chia hết cho 23 và 29, biết rằng abc2.deg
6 Chứng minh rằng nếu: ab cd eg chia hết cho 37 thì abcdeg chia hết cho 37
7 a Cho abcdeg chia hết cho 37 Chứng minh rằng abcdeg chia hết cho 37;
b Cho abcdeg chia hết cho 7 Chứng minh rằng abcdeg chia hết cho 7
8 a Tìm chữ số a biết rằng 20 20 20a a a chia hết cho 7;
b Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37
9 Tìm số tự nhiên n sao cho:
a n + 2 chia hết cho n – 1; b 2n + 7 chia hết cho n + 1;
c 2n + 1 chia hết cho 6 – n; d 3n chia hết cho 5 – 2n;
e 4n + 3 chia hết cho 2n + 6
Hướng dẫn giải: Căn cứ vào tính chất chia hết của một tổng, hiệu và tích, ta có thể rút ra
phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây:
Nếu A B thì ( m.A + n.B) B ( Với m, n N * )
9 Cho n là số tự nhiên Chứng tỏ rằng:
a ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia hết cho 2;
b n ( n + 1 )(n + 2) chia hết cho 2 và cho 3;
c n.( n + 1 ) (2n + 1) chia hết cho 2 và cho 3
Trang 610 Tìm số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a.
11 Khi chia một số tự nhiên cho 255 ta được số dư là 170 Hỏi số đó chia hết cho 85 không ? Tại sao ?
12 Chứng tỏ rằng:
a S = 5 + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia hết cho 6;
b S = 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 chia hết cho 31;
c S = 165 + 215 chia hết cho 33
13 Tổng các chữ số của một số tự nhiên có ba chữ số là 7 Chứng tỏ rằng số đó chia hết cho 7 khi và chỉ khi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau
14 a Cho ababab là số có 6 chữ số Chứng tỏ rằng: ababab là bội của 3;
b Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52004 Chứng tỏ rằng S chia hết cho 126 và chia hết cho 65
Chủ đề 3: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT
Chủ đề 4: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ
Chủ đề 5: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
1 ƯỚC & BỘI
2 ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
3 BỘI CHUNG VÀ BỘI DUNG NHỎ NHẤT
Chủ đề 6: CÁC BÀI TOÁN ĐỐ VỀ CHIA HẾT
Chủ đề 7: SỐ NGUYÊN
Trang 7CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 1: ĐIỀN CHỮ SỐ
Chuyên đề 2: ĐẾM SỐ, DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT
Chuyên đề 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA
Chuyên đề 4: CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT Chuyên đề 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
PHẦN II: HÌNH HỌC Chuyên đề: TÌM SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
I Phép chia hết:
1 Định nghĩa:
-Cho a, b là hai số nguyên và b khác 0 Ta nói a chia hết cho b và kí hiệu a b, nếu tồn tại số
nguyên q sao cho a = b q.
- Khi a chia hết cho b thì ta nói b là ước của a hay b chia hết a và kí hiệu là b\ a Ngoài ra
ta còn nói a là bội của b.
Lưu ý: Khi a chia hết cho b thì a cũng chia hết cho –b nên ta chỉ xét các ước nguyên
dương của a
Trang 8Ví dụ: Số 28 có các ước là: 1; 2; 4; 7; 14; 28 và chỉ xét các ước dương của 28 là 1, 2, 4, 7, 14 và 28
2 Một số tính chất:
a) Mọi số a 0 đều chia hết cho chính nó.
b) Nếu a b và b c thì a c
c) Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
d) Nếu a thì b ka b (k nguyên)
e) Nếu a b thì a b ; a( )b ; (a) ( ) b
g) Nếu a m b m ; thì a b m Đặc biệt ax by m .
h) Nếu a m thì
b m
ab m 0 r b
f) Nếu một trong những thừa số của tích chia hết cho m thì tích cũng chia hết cho m
i) Nếu a m thì a m x ( n N ).
II Phép chia có dư:
Trên đây, ta đã nói đến phép chia hết, tuy nhiên nếu cho trước hai số nguyên a và b thì không phải bao giờ cũng tìm được số nguyên q sao cho a = bq ( GV nêu ví dụ ) Người ta đã chứng minh được tính chất sau đây của phép chia
Tính chất:
Cho a, b là hai số nguyên và b khác 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp số ( q, r ) sao cho a = bq + r và 0 r b .
B Các bài toán về chia hết và phương hướng tìm lời giải:
Cho biểu thức A(n), phụ thuộc vào số n ( n Zhoặc n Z' một tập con của Z )
a) Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p, có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p (0, 1, , 1 ).
2
p
b) Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m, nói chung ta phải phân tích m ra thừa số Giả sử m= pq.
* Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q nguyên tố cùng nhau thì ta tìm cách chứng minh A(n) và p A n q( ) ( từ đó suy ra A n pq m( ) ).
** Nếu p và không nguyên tố cùng nhau thì ta phân tích A(n) ra thừa số, chẳng hạn A(n)= B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q ( suy ra A(n) = B(n).C(n) pq m ) c) Để chứng minh A(n) chia hết cho m, có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng chia hết cho m.
d) Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, có thể chứng minh một số hạng nào đó không chia hết cho m còn tất cả các số hạng khác đều chia hết cho m.
e) Thường sử dụng kết quả sau đây:
Nếu số dư khi chia a cho b, b> 0 là r (0 < r < b ) thì số dư khi chia a n (n > 1) cho b là số
dư khi chia r n cho b ( số dư này bằng r n nếu r n < b).
g) Có thể dùng các công thức sau ( GV chứng minh cho HS hiểu các đẳng thức).
+) a 2 – b 2 = ( a + b) ( a – b).
+) a 3 – b 3 = (a – b) ( a 2 + ab + b 2 ).
+) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2 ).
Một cách tổng quát:
(1) a n + b n = (a – b).M với n bất kì.
trong đó: M = a n-1 + a n-2 b +…+ ab n – 2 + b n – 1
Trang 9(2) a n – b n = (a + b).N với n chẵn.
trong đó: N = a n – 1 – a n – 2 b + ….+ ab n-2 – b n – 1 ( 3) a n + b n = ( a + b ) P với n lẻ.
Trong đó: P = a n-1 – a n – 2 b + …-ab n-2 + b n-1
Do đó, theo (1) và (2): a n – b n chia hết cho a – b ( nếu a b) với n bất kì.
a n – b n chia hết cho a + b (nếu a -b) với n chẵn.
Theo (3): a n + b n chia hết cho a + b (nếu a -b) với n lẻ.
h) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp ( trình bày sau)
C Bài tập vận dụng:
* Bài 1:
a) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3) (n + 6 ) 2 ( SBT- T.18 ).
b) Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 (SBT – T 17 )
c) Chứng tỏ rằng ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho 3
d) Chứng tỏ rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
e) Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 4
* Bài 2: Cho n là số tự nhiên, chứng tỏ rằng: ( N.CAO – T 17 )
a) ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia hết cho 2 và cho 3
b) n(n + 1 ) ( n + 2 ) chia hết cho 2 và cho 3
c) n ( n + 1 )( 2n + 1) chia hết cho 2 và cho 3
* Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì:
a) n3 + 11n 6.
b) mn( m2 – n2 ) 3
c) n( n + 1 ) ( 2n + 1 ) 6
* Bài 4: Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
* Bài 5: Chứng rằng trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết
cho 27
* Bài 6: Chứng tỏ rằng a5b - ab5 chia hết cho 30 với mọi a, b là hai số nguyên bất kì
(Trích toán 6 nâng cao – trang 96)
* Bài 7: Hãy tìm các chữ số thích hợp x, y, z để sao cho số: A = x54y199z chia hết cho
330 ( Trích toán 6 nâng cao – trang 96).
* Bài 8: Tìm tất cả giá trị n để n + 7 chia hết cho n + 2 ( Trích toán 6 nâng cao – trang 96)
* Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a ,b sao cho số A = a b19 chia hết 82 ( Trích toán 6 nâng cao – trang 31).
* Bài 10: Cho số tự nhiên A = dcba chứng tỏ rằng :
a) Nếu ( a + 2b) 4 thì A 4 và ngược lại.
b) Nếu ( a + 2b + 4c ) 8 thì A 8 và ngược lại.
( Trích toán 6 nâng cao – trang 31).
* Bài 11: Cho số A = n ( n2 + 1 ) ( n2 + 4 ) ( Trích toán 6 nâng cao – trang 47)
a) Chứng tỏ A chia hết cho 5 với mọi n N.
b) Tìm điều kiện của a để A chia hết 120
* Bài 12: Tìm điều kiện cho n N để n+ 7 chia hết cho n + 1
( Trích toán 6 nâng cao – trang 47)
* Bài 13:Cho số A = 34 5a b Tìm hai số tự nhiên a, b để A 36.
( Trích toán 6 nâng cao – trang 95).
* Bài 14:
* Bài 15:
Trang 10* Bài 16:
* Bài 17:
* Bài 18:
* Bài 19:
* Bài 20: