NỘI SUY và xấp xỉ hàm (PHƯƠNG PHÁP TÍNH SLIDE)

ĐẶT BÀI TOÁN :Để tính giá trị của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm... Để đánh giá sai số

Chương 4

NỘI SUY VÀ XẤP

XỈ HÀM

I ĐẶT BÀI TOÁN :

Để tính giá trị của một hàm liên tục bất

kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm

II ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE:

Ta có

n = 2

Giải

Đa thức nội suy Lagrange

f(2) ≈ Ln(2) = -2/3

tích đường chéo

 Cách biểu diễn khác :

-6

Vậy f(-6) ≈ L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6

4

Vậy f(2) ≈ Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) = 2

 TH đặc biệt : các điểm nút cách đều với bước h = xk+1 – xk

Đặt

 Công thức đánh giá sai số :

Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục trên [a,b].

Đặt

Ta có công thức sai số

Ví dụ : Cho hàm f(x)=2 x trên đoạn [0,1] Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45

sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm nút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1

Giải

Ta có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x

⇒ M5 = max |f(5)(x)| = 2(ln2)5

công thức sai số

III ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON:

Tỉ sai phân cấp 2

Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p

0.620.460.28

-0.4667

0.5333

2 Đa thức nội suy Newton :

 Công thức Newton tiến

 Công thức Newton lùi

Để đánh giá sai số của đa thức nội suy Newton, ta dùng công thức sai số của đa thức nội suy Lagrange

2.7183

0.8663

0.6598

0.6483

0.2950

0.0164

-0.2786

Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân

Newton lùi Newton tiến

Ta có

Công thức Newton tiến

Công thức Newton lùi

Ví dụ : Cho hàm f và bảng số

x 30 35 40 45

y 0.5 0.5736 0.6428 0.7071

Tính gần đúng f(32) bằng Newton tiến và f(44) bằng Newton lùi

0.6428

0.7071

0.0736

0.0692

0.0643

0.0044

0.0049

0.0005

Newton lùi Newton tiến

 Tính gần đúng f(32) : dùng công thức Newton tiến

n = 3, xo = 30, q=(32-30)/5 = 0.4

n = 3, xn = 45, p=(44-45)/5 = -0.2

(i) g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b]

(ii) g(x)=gk(x) là 1 đa thức bậc 3 trên [xk,xk+1],

k=0,1, ,n-1

(iii) g(xk) = yk, k=0,1, …, n

Hệ số ck được tính theo công thức

Phương trình (4) là hệ pt tuyến tính gồm n-1 pt

dùng để xác định các hệ số ck

Phương trình (4) có số ẩn = n+1 > số pt = n-1

(thiếu 2 pt) nên chưa giải được, để giải được ta cần

bổ sung thêm 1 số điều kiện

3 Spline tự nhiên :

Giải thuật xác định spline tự nhiên :

Điều kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra co = cn = 0B1 Tính hk=xk+1- xk, k = 0, n-1

ak= yk, k = 0, n

B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, …, cn)t

B3 Tính các hệ số bk, dk.

Kết luận : spline tự nhiên

Ví dụ : Xây dựng spline tự nhiên nội suy hàm

Giải ta được co = c3 = 0, c1 = 2/5, c2 = 7/5

B3 Tính các hệ số bk, dk.

Kết luận : spline tự nhiên

B2 Giải hệ Ac = b tìm c = (co, c1, …, cn)t

B3 Tính các hệ số bk, dk

như spline tự nhiên

Ví dụ : Xây dựng spline ràng buộc nội suy hàm theo bảng số

B2 Giải hệ Ac = b với c = (c0, c1, c2)t

B3 Tính các hệ số bk, dk.

Kết luận : spline ràng buộc

V BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM :

Trong thực tế, các giá trị yk được xác định thông qua thực nghiệm hay đo đạc nên thường thiếu

chính xác Khi đó việc xây dựng một đa thức nội suy đi qua tất cả các điểm Mk(xk, yk) cũng không còn chính xác

Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : là tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(xk,yk)} theo phương pháp bình phương cực tiểu :

Hàm f tổng quát rất đa dạng Để đơn giản, ta tìm hàm f theo dạng :

f(x) = A1f1(x) + A2f2(x)+…

Các hàm f1(x), f2(x) … có thể là hàm lượng giác, lũy thừa, mũ hay loga …

1 Trường hợp f(x) = Af1(x)+ Bf2(x) :

Phương trình bình phương cực tiểu có dạng

Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 2 biến g(A,B)

Điểm dừng

Suy ra

2 Trường hợp

f(x) = Af1(x)+ Bf2(x)+Cf3(x):

Phương trình bình phương cực tiểu có dạng

Bài toán qui về tìm cực tiểu của hàm 3 biến g(A,B,C)

Điểm dừng

Suy ra