Sóng âm và ứng dụng trong địa chấn

MỞ ĐẦUÂm học là một nhánh của vật lý học, nghiên cứu về sự lan truyền củasóng âm thanh trong các môi trường khác nhau và sự tác động qua lại củachúng với môi trường vật chất.. người quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 2014

Mục lục

1 Cơ sở vật lý của sóng âm 4

1.1 Khái niệm 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng 4

1.2 Hiệu ứng Doppler và ứng dụng 6

1.2.1 Hiện tượng Doppler 6

1.2.2 Tần số Doppler 7

1.2.3 Súng bắn tốc độ 7

1.2.4 Siêu âm Doppler 8

1.3 Các sóng AM và FM 9

1.3.1 Nguyên lý phát và thu sóng AM 9

1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM 10

1.4 Các sóng siêu âm và hạ âm 11

1.4.1 Sóng siêu âm 11

1.4.2 Sóng hạ âm 11

2 Phương trình sóng âm Sóng âm điều hòa Địa chấn khúc xạ 14 2.1 Các định luật và phương trình sóng âm 14

2.1.1 Các ký hiệu toán học 14

2.1.2 Các ký hiệu cơ học 15

2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law) 15

2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law) 15

2.2 Phương trình sóng âm (Acoustic Wave Equation) 16

2.3 Sóng âm điều hoà 16

2.3.1 Sóng điều hoà một chiều trong môi trường đồng nhất 16

2.3.2 Sóng hai chiều trong môi trường đồng nhất 17

2.3.3 Sóng ba chiều trong môi trường đồng nhất 17

2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm 18

2.4.1 Vận tốc pha 18

2.4.2 Vận tốc nhóm 20

2.5 Năng lượng của quá trình truyền sóng âm 20

2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi 20

2.5.2 Véctơ mật độ năng thông (mật độ dòng năng lượng ) 21

2.6 Truyền sóng phẳng trong hai nửa không gian 21

2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách 21

2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách Định luật Snell (Snell’s Law) 23

2.6.3 Hệ số phản xạ của vận tốc hạt 26

2.7 Phương pháp địa chấn khúc xạ nghiên cứu môi trường địa tầng 28 2.7.1 Khái niệm 28

2.7.2 Môi trường hai lớp song song 29

2.7.3 Môi trường ba lớp song song 31

3 Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng 33 3.1 Hàm suy rộng 33

3.1.1 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm suy rộng 33

3.1.2 Các không gian hàm cơ bản D và S 34

3.1.3 Không gian hàm suy rộng D0 và S0 35

3.1.4 Đạo hàm của các hàm suy rộng 36

3.2 Biến đổi Fourier 36

3.2.1 Biến đổi Fourier của các hàm thông thường 36

3.2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng 37

3.3 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng và ứng dụng 37

3.3.1 Nghiệm cơ bản của toán tử sóng 37

3.3.2 Nghiệm suy rộng của bài toán Cauchy đối với toán tử sóng 38 3.3.3 Nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy 39

4 Phương pháp sai phân giải các phương trình sóng 41 4.1 Phép tính gần đúng sai phân hữu hạn 41

4.2 Các thuật toán số cho phương trình sóng 46

Tài liệu tham khảo 54

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc - Đại họcThái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy NguyễnVăn Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quátrình hoàn thành luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo TrườngĐại học Khoa học, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân

đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế, nên bản luận vănchắc không tránh khỏi những khiếm khuyết Kính mong nhận được ý kiếnđóng góp của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn đượchoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 08 năm 2014

Tác giả

Phạm Thị Thu Hương

MỞ ĐẦU

Âm học là một nhánh của vật lý học, nghiên cứu về sự lan truyền củasóng âm thanh trong các môi trường khác nhau và sự tác động qua lại củachúng với môi trường vật chất

Âm thanh phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như tiếng nói của người,tiếng động vật kêu, tiếng trống tiếng đàn phát ra từ các nhạc cụ v.v Nóichung, âm thanh được phát ra khi có sự va chạm giữa các vật Trong thực

tế, âm thanh được tạo ra từ nhiều cách khác nhau Trong không gian rộng

mở sóng âm thanh truyền đi tự do theo mọi hướng Trong không gian hạnhẹp hay bị vật cản, sóng âm thanh sẽ bị phản hồi và sẽ giao thoa với cácsóng khác, tạo nên giao thoa sóng

Sóng âm được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật và y học Người

ta sử dụng sóng âm để tìm vị trí của các dị tật trong một khối nào đó,

vị trí của các mỏ trong lòng đất Sóng âm khi bị một vật cản sẽ bị phản

xạ, sóng phản xạ cho biết vị trí của các vật bên trong một khối hay tronglòng Quả Đất Các sóng hạ âm và siêu âm được ứng dụng nhiều trong yhọc và kỹ thuật cao

Âm học đóng vai trò quan trọng trong hệ thống thông tin viễn thông,như radio, tivi, điện thoại, máy tính, v.v Một trong những ứng dụngquan trọng của âm học là phương pháp địa chấn khúc xạ để nghiên cứubên trong lòng Quả Đất

Các hiện tượng âm được mô tả bởi phương trình toán học

trong đóP = P (x, t), x = (x1, x2, , xn) biểu thị áp suất trong môi trường

do sóng âm gây ra, c là vận tốc truyền âm của môi trường Phương trình(1) là một trong những phương trình cơ bản và quan trọng của vật lý toán.Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học tập sâu thêm về các hiện

tượng âm và những ứng dụng của chúng trong địa chấn,tìm hiểu các phươngpháp toán học hữu hiệu giải phương trình sóng âm.

Bố cục của luận văn gồm Mở đầu, bốn chương nội dung, Kết luận vàTài liệu tham khảo

Chương 1 : Cơ sở vật lý của sóng âm

Chương này trình bày cơ sở vật lý của sóng âm, bao gồm các khái niệm

về âm học, các đặc trưng vật lý của sóng âm, hiệu ứng Doppler và ứngdụng Nguyên lý phát và thu sóng AM và FM Các sóng siêu âm và hạ âmv.v

Chương 2 : Phương trình sóng âm Sóng âm điều hòa Địa chấnkhúc xạ

Chương này trình bày Định luật Hooke, Định luật hai Newton và thànhlập phương trình sóng âm trên cơ sở hai định luật trên đây Xét phươngtrình sóng âm điều hòa, các định luật về sóng khúc xạ và phản xạ, vậntốc pha, vận tốc nhóm, năng lượng sóng v.v Các ứng dụng của sóng âmtrong địa chấn học

Chương 3 : Bài toán Cauchy đối với phương trình sóng

Chương này trình bày bài toán Cauchy cho phương trình sóng âm Đãtiếp cận lý thuyết hàm suy rộng và biến đổi tích phân Fourier trình bàynghiệm suy rộng và nghiệm cổ điển tường minh của bài toán Cauchy đốivới phương trình sóng với các số chiều n = 1, 2 và 3

Chương 4 : Phương pháp sai phân giải các phương trình sóngChương này trình bày phương pháp sai phân hữu hạn giải gần đúng bàitoán biên giá trị ban đầu của phương trình sóng một chiều trên khoảnghữu hạn

Chương 1

Cơ sở vật lý của sóng âm

Chương này trình bày những cơ sở vật lý của các hiện tượng âm và nhữngứng dụng thường nhật của các hiện tượng âm Nội dung của chương nàyđược hình thành từ nhiều tài liệu khác nhau, đặc biệt là tài liệu [2]

1.1.1 Định nghĩa

Sóng âm là sóng áp suất trong môi trường vật chất(sóng cơ học) daođộng nén-giãn theo phương truyền sóng (sóng dọc) Tai người chỉ cảmnhận được những sóng âm có tần số từ 16 Hz đến 20000 Hz Sóng có tần

số dưới 16 Hz gọi là sóng hạ âm (ví dụ, sóng địa chấn, các sóng sinh học,v.v ) Sóng có tần số cao hơn 20 000 Hz gọi là sóng siêu âm Tai ngườinghe thính với các âm có tần số từ 1000 Hz đến 5 000 Hz

1.1.2 Các đặc trưng vật lý của sóng

Khoảng thời gian ngắn nhất để thực hiện một dao động(động toàn phần)gọi là chu kỳ (period) và được hiệu là T, đơn vị của chu kỳ là giây (s) Sốlần dao động thực hiện trong một giây gọi là tần số (frequency) và ký hiệu

là f Đơn vị của chu kỳ là hec (Hz) Như vậy :

Khoảng cách giữa hai điểm gần nhất của môi trường dao động đồng phatrên một phương truyền sóng gọi là bước sóng (wavelength) Bước sóng

ký hiệu là λ và có đơn vị là mét (m) Nếu c là vận tốc của sóng (vận tốctruyền pha dao động: wave propagation velocity) thì

D khối lượng của một đơn vị dài(kg/m)

• Vận tốc của sóng âm trong chất lưu:

273

√

τ , τ nhiệt độ tuyệt đối (Ko),

• Vận tốc trung bình của sóng âm trong một số chất:

Độ rời cực đại của phần tử dao động so với vị trí cân bằng gọi là biên

độ (biên độ sóng) Biên độ sóng ký hiệu là A (Amplitute), có đơn vị làmét (m)

Năng lượng của sóng không định cứ tại một chỗ, nó luôn được truyền từchỗ này đến chỗ khác Do đó người ta đưa ra khái niệm " cường độ âm" làlượng năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích vuông góc với véctơ vậntốc sóng trong một đơn vị thời gian Như vậy, cường độ âm có thứ nguyên

là oát/mét vuông Dòng năng lượng của sóng được cho bởi công thức

• Tiếng nói thì thầm: I ≈ 10−6w/m2

• Tiếng còi ô tô: I ≈ 10−3w/m2

• Tiếng còi báo động: I ≈ 1w/m2

Mức cường độ âm tại một điểm là đại lượng vật lý được xác định theocông thức



I0 = 10−12w/m2 cường độ âm chuẩn,

I −cường độ âm tại điểm được xét (1.5)

Đơn vị của mức cường độ âm là ben (B) Thông thường người ta đo mứccường độ âm là dexiben (dB): 1B=10 dB.

• Tiếng nói thì thầm: L ≈ 20dB

• Tiếng chân người đi: L ≈ 48dB

• Tiếng nói to: L ≈ 80dB

Sóng âm có mức cường độ âm càng cao thì nghe càng rõ Khi mức cường

độ của một âm lớn đến mức nào đó sẽ gây ra cảm giác đau trong tai Độ

to của một âm nằm trong phạm vi từ ngưỡng nghe đến ngưỡng đau

1.2.1 Hiện tượng Doppler

Khi chúng ta di chuyển, hoặc khi nguồn phát ra âm thanh di chuyển,chúng ta chúng ta sẽ nghe thấy sự thay đổi âm thanh (cao, thấp) truyềnđến tai Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Doppler Hiện tượng vật lýnày được đặt theo tên của nhà vật lý người Áo, Christian Andreas (Johann)Doppler, là người đã phát hiện ra hiện tượng trên

Doppler cho rằng, nếu tiếng động đi đến gần bạn, thì có thể là do nguồnphát ra nó tiến lại gần bạn, hoặc bạn đi về phía phát ra âm thanh, thìcường độ của nó có vẻ như tăng lên hơn cường độ thật sự của nó Ngượclại, khi nguồn phát ra âm thanh đi ra xa, hoặc bạn đi ra xa nguồn âm, thì

âm thanh mà bạn nghe được có vẻ như có cường độ của thật nó

Hiện tượng Doppler xảy ra do khoảng cách đến nguồn âm thay đổi và

độ dài ngắn của thời gian nghe âm thanh Nếu bạn nghe một sóng âm cótần số không đổi trong khoảng thời gian ngắn hoặc dài, thì bạn sẽ có cảmgiác âm thanh đó có tần số, cao thấp khác nhau

Biểu diễn toán học của hiệu ứng Doppler

Đối với sóng chuyển động trong môi trường, như sóng âm, nguồn sóng vàngười quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường Hiệuứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi haichuyển động này

Công thức biểu thị giữa tần số thật của sóng âm và tần số cuả âm do

người quan sát cảm nhận được như sau:

f là tần số của âm mà tai người quan sát cảm nhận được,

c là vận tốc lan truyền của sóng trong môi trường,

vr là vận tốc tương đối của người quan sát đối với môi trường, nhậngiá trị dương, nếu người quan sát tiến lại nguồn âm,

vs là vận tốc tương đối của nguồn âm đối với môi trường, nhận giátrị dương nếu nguồn dịch chuyển ra xa người quan sát

Nếu người quan sát đứng yên, thì công thức trên đây sẽ có dạng

Hiệu số giữa sóng tới và sóng phản xạ được gọi là tần số Doppler Tần

số Doppler được cho bởi công thức

Từ các tần số fr, fi là các khoảng cách thu được súng laser đến phươngtiện giao thông, máy sẽ tính được vận tốc thực v của phương tiện giaothông cần quan tâm.

Súng bắn tốc độ sử dụng tia laser đo thời gian kể từ lúc phát ra tiasáng hồng ngoại đến khi tia sáng tiếp xúc với xe và phản hồi lại

Để tính toán khoảng cách, hệ thống laser sẽ phát đi liên tục nhữngtia laser hồng ngoại trong một khoảng thời gian ngắn để có các khoảngcách khác nhau Bằng cách so sánh những khoảng cách thu được này, hệthống laser có thể tính toán chính xác tốc độ thực của xe

Những hệ thống sử dụng tia laser này có thể ghi nhận hàng trămkhoảng cách khác nhau chỉ trong khoảng thời gian nửa giây

1.2.4 Siêu âm Doppler

Siêu âm Doppler là phương pháp ứng dụng hiệu ứng Doppler Người

ta phát sóng siêu âm tới bộ phận cần khảo sát và thu hồi sóng phản xạ

Từ sự khác biệt tần số tới và tần số phản hồi ta sẽ có các thiết bị xử lý vàhiển thị lên màn ảnh Ảnh này cho biết chức năng hoạt động của các cơquan ra sao ?

Về mặt kỹ thuật, người ta quan tâm tới hai vấn đề:

Một là, phân tích sóng phản hồi để tính tần số Doppler, nhờ đó tínhtoán khảo sát được sự chuyển động của vật cần khảo sát

Hai là, hiển thị lên màn ảnh sự phân bố của các chuyển động đó.Khi đánh giá tín hiệu phản hồi của dòng chảy, các vận tốc của dòng chảyhướng về phía đầu dò được mã màu đỏ trên Doppler màu,còn các vận tốccủa dòng chảy hướng ra xa đầu dò sẽ được mã màu xanh

Siêu âm Doppler được ứng dụng trong khá nhiều hợp, như:

• Khảo sát các mạch máu

• Xem xét tình hình phát triển của thai nhi

• Khảo sát bệnh lý của gan, thận

từ trường của nam châm sẽ dao động Tại hai đầu cuộn dây ta thu đươcmột điện áp cảm ứng Đó chính là tín hiệu âm tần.

Tín hiệu âm tần có dải tần từ 20Hz đến 20KHz và không có khả năngbức xạ thành sóng điện từ để truyền trong không gian đi xa Do đó để cótín hiệu âm tần đi xa hàng trăm, hàng ngàn km, người ta phải đưa tínhiệu âm tần vào sóng cao tần, gọi là sóng mang Sau đó cho sóng mangbức xạ thành sóng điện từ truyền đi xa với vận tốc ánh sáng

• Tín hiệu cao tần và sóng điện từ

Tín hiệu cao tần là các tín hiệu có tần số trên 30KHz Tín hiệu caotần có tính chất bức xạ thành sóng điện từ Sóng điện từ là sóng truyềntrong không gian với vận tốc ánh sáng, có tần số từ 30KHz đến hàng ngànMHz Con người đã sử dụng sóng điện từ trong các lĩnh vực thông tin,như truyền thanh, truyền hình, trong đó Radio là lĩnh vực truyền thanhchiếm dải tần 30KHz đến 16MHz với các sóng điều chế AM, và từ 76MHzđến 130MHz với các sóng điều chế FM

• Quá trình điều chế AM (Amplitude Modulation)

Điều chế (biến điệu) AM là quá trình điều chế tín hiệu tần số thấp (nhưtín hiệu âm tần, tín hiệu video) vào tín hiệu cao tần theo phương thứcbiến đổi biên độ của tín hiệu cao tần theo dạng hình sin của tín hiệu âmtần Tín hiệu cao tần với biên độ âm tần thu được, được gọi là sóng mang

• Phát và thu sóng AM

Tín hiệu sau khi được điều chế thành sóng mang được khuếch đại lêncông suất hàng ngàn Wat sau đó được truyền ra Anten phát Sóng AMphát ra từ Anten được truyền đi trong không gian với vận tốc ánh sáng,

có thể truyền đi xa hàng ngàn km theo đường thẳng và cũng có tính chất

phản xạ, khúc xạ như ánh sáng.

Đối với các đài phát ở xa cách chúng ta nửa vòng Trái Đất, như đàiBBC, phát đi từ Anh Quốc, sóng điện từ truyền theo đường thẳng, gặptầng điện ly chúng phản xạ xuống Trái Đất rồi lại phản xạ ngược lên nhiềulần mới đến được máy thu, vì vậy tín hiệu ở máy thu thường rất yếu vàkhông ổn định Đặc điểm của sóng AM là dễ bị can nhiễu, dải tần âmthanh bị cắt xén do đặc điểm của mạch tách sóng điều biên, do đó chấtlượng âm thanh bị hạn chế

1.3.2 Nguyên lý phát và thu sóng FM

• Mạch điều chế FM

FM là chữ viết tắt của Frequency Modulation ( điều chế tần số, haybiến điệu tần số) Điều chế tần số là phương thức làm thay đổi tần số củatín hiệu cao tần theo biên độ của tín hiệu âm tần, khoảng tần số biến đổi

là 150KHz Sóng FM là sóng cực ngắn đối với tín hiệu Radio và thườngđược phát ở dải tần từ 76MHz đến 108MHz

Với mạch điều chế tần số, thì sóng mang có biên độ không đổi, nhưng

có tần số thay đổi theo biên độ của tín hiệu âm tần Khi biên độ của tínhiệu âm tần tăng thì tần số cao tần tăng, khi biên độ âm tần giảm thì tần

số của tín hiệu cao tần giảm Như vậy sóng mang FM có tần số tăng, giảmtheo tín hiệu âm tần và giới hạn tăng giảm thường vào khoảng 300KHz.Thí dụ, Đài Tiếng nói Việt Nam phát trên sóng FM 100MHz thì nótruyền đi một dải tần từ 99,85 MHz đến 100, 15 MHz

• Quá trình phát sóng FM

Quá trình phát sóng FM tương tự như quá trình phát sóng AM, sóngmang sau khi điều chế cũng được khuếch đại rồi đưa ra Anten để phát xạtruyền đi xa

• Đặc điểm của sóng FM

Sóng FM có nhiều ưu điểm về mặt tần số, dải tần âm thanh sau khitách sóng điều tần có chất lượng tốt, cho âm thanh trung thực và có thểtruyền âm thanh theo Stereo Sóng FM ít bị can nhiễu hơn so với sóngAM

Nhược điểm của sóng FM là cự ly truyền sóng ngắn, chỉ vào khoảng vài

chục đến vài trăm km, do đó sóng FM thường được sử dụng làm sóng phátthanh trên các đài địa phương.

1.4.1 Sóng siêu âm

Siêu âm là âm thanh có tần số cao hơn tần số tối đa mà tai người nghethấy được Tần số tối đa này tùy vào từng người, nhưng thông thường nóvào cỡ 20 000 Hz Ngược lại với siêu âm, các âm thanh có tần số thấp hơnngưỡng nghe được bởi tai người là hạ âm (thường vào khoảng 20 HZ).Sóng siêu âm có thể lan truyền trong nhiều môi trường ( tương tự nhưmôi trường lan truyền của âm thanh )như không khí, các chất lỏng, chấtkhí và chất rắn với tốc độ gần bằng tốc độ của âm thanh Do cùng tốc độlan truyền, trong khi tần số cao hơn, bước sóng của siêu âm ngắn hơn rấtnhiều của âm thanh

Nhờ bước sóng ngắn, độ phân giải của ảnh chụp siêu âm thường đủ đểphân biệt các vật thể ở kích thước cỡ centimet, hoặc milimet Do đó sóngsiêu âm được ứng dụng trong chẩn đoán hình ảnh y khoa (siêu âm y khoa),hoặc chụp ảnh bên trong các cấu trúc cơ khí trong kiểm tra không pháhủy Nhờ khả năng không bị nhận biết bởi con người, sóng siêu âm cònđược dùng trong các ứng dụng quan trọng khác, như đo khoảng cách hayvận tốc, làm sạch siêu âm, hàn siêu âm, v.v Sóng siêu âm ứng dụng trongsiêu chẩn đoán thuộc loại sóng ngang

Siêu âm có thể được tạo ra từ một số loài hoa, hay từ dao động của tinhthể áp điện Nhiều loài động vật có thể tạo ra, hoặc cảm nhận được siêu

âm, chẳng hạn như Dơi là loài có thị giác kém phát triển, nhưng lại tạo

ra và cảm nhận được siêu âm để xác định các vật thể xung quanh trongkhông gian

1.4.2 Sóng hạ âm

•Khái niệm về sóng hạ âm và nguồn gốc phát sinh

Sóng hạ âm là sóng âm có tần số rất thấp, dưới 20 Hz, tai người khôngnghe thấy được Nguồn phát sinh ra sóng hạ âm có thể là do tự nhiên và

do nhân tạo Nguồn phát ra hạ âm tự nhiên là do mưa to gió lớn, tiếngsấm sét, ánh chớp, mưa thiên thạch, núi lửa v.v Tần số của những sóng

hạ âm này thường dưới 0,1 Hz

Sóng hạ âm do con người gây ra là máy bay bay qua, xe chạy với tốc

độ cao, phóng tên lửa, thử bom nguyên tử, v.v Tần số của những sóng

hạ âm này vào khoảng 1-5 Hz

Bản thân con người cũng sinh ra sóng hạ âm, chẳng hạn như tiếng hítthở gây ra sóng hạ âm có tần số khoản 0.25-0,30 Hz, nhịp tim đập gây rasóng hạ âm với tần số khoảng 1,2 Hz

•Đặc điểm của sóng hạ âm

Một đặc điểm quan trọng của sóng hạ âm là trong quá trình lantruyền chúng ít bị suy giảm, khó bị không khí và nước hấp thụ Sóng hạ

âm có bước sóng dài hàng trăm, thậm chí hàng nghìn mét Theo nguyên

lý nhiễu xạ sóng, các sóng hạ âm rất dễ chạy vòng qua các vật cản Sóng

hạ âm thâm nhập vào tất cả các công trình kiến trúc, tàu ngầm v.v

•Ảnh hưởng của sóng hạ âm tới sức khỏe con người

Sóng hạ âm là một loại sóng âm, so với âm thanh bình thường nó rungđộng chậm hơn khá nhiều, mỗi giây rung chưa đến 20 lần Do nó rung độngquá chậm nên tai người không nghe thấy Tuy không nghe thấy nhưng đốivới cơ thể con người sóng hạ âm rất có hại vì tổ chức và lục phủ ngũ tạngtrong thân thể người vô cùng nhạy bén với sóng hạ âm, hấp thụ rất dễdàng năng lượng chấn động của sóng hạ âm để rồi rung động mãnh liệtlên

Năm 1948 một tàu chở hàng của Hà Lan khi đi vào eo biển Malaca củaMalaysia, toàn thể thủy thủ đoàn khỏe mạnh và một con chó ở trên tàu

đã đột ngột chết Vụ án li kỳ này đã làm xôn xao dư luận thời bấy giờ.Mấy chục năm đã trôi qua, công tác điều tra về vụ án trên không có mộtchút tiến triển nào Mãi đến gần đây vụ án này mới có một số manh mối,hung thủ tìm thấy được chính là sóng hạ âm

Dưới sự kích thích không ngừng của sóng hạ âm bên ngoài, tim ngườihấp thụ năng lượng cúa sóng hạ âm này, bị cộng hưởng để rồi rung động

dữ dội, mạch máu bị vỡ rồi chết

Trong sinh hoạt hàng ngày người ta thường bị ảnh hưởng của những

rung động bên ngoài, như chịu ảnh hưởng của sự lúc lắc khi ngồi trong xe,

sự rung động của các động cơ, tiếng ồn v.v Khi mà những rung động đóphù hợp với những sóng hạ âm do con người phát ra thì nó ảnh hưởng tớicon người càng cao Nó có thể làm cho con người bị say xe, say tàu, nônmửa Tình hình cũng xảy ra tương tự đối với con người khi trong phòngtàu vũ trụ

• Giảm thiểu tác động của sóng hạ âm

Trong thiết kế ô tô, tàu thuyền, máy bay,nhất là tàu vũ trụ, đều phảitính toán kỹ lưỡng và dùng những biện pháp hiệu quả để giảm hoặc tiêutrừ rung động Ngoài ra, khống chế nghiêm ngặt tiếng ồn trong môi trườngcũng là biện pháp quan trọng để giảm thiểu sự nguy hại của sóng hạ âmđối với con người

Chương 2

Phương trình sóng âm Sóng âm

điều hòa Địa chấn khúc xạ

Chương này trình bày về cách thiết lập phương trình sóng âm, sóng âmđiều hòa, hiện tượng khúc xạ, phản xạ và ứng dụng của sóng âm.Nội dungcủa chương này được hình thành dựa trên các tài liệu [3] và [4]

2.1.1 Các ký hiệu toán học

Ký hiệu : Rn là không gian Euclid n chiều (n=1, 2, 3),

Xoáy (Whirl)

rotu = ∇ × u =

Một đồng nhất thức

2.1.2 Các ký hiệu cơ học

Ký hiệu P (rM, t) là ứng suất, áp suất (trong chất lưu)tại điểm M của

Rn ở thời điểm t Đơn vị của ứng suất là N/m2, hay P a (Paxcan) Xét

tác dụng của các lực, ở trạng thái cân bằng điểm M sẽ dịch chuyển (rấtnhỏ) đến điểm M0(x0, y0, z0) Véc tơ −→u

M = −−−→

M M0 được gọi là véc tơ chuyển

vị của điểm M : uM = u(x, y, z; t) Ta có hệ thức:

2.1.3 Định luật Hooke (The Hooke’s Law)

trong đó

u là véc tơ chuyển vị của điểm (x, y, z) ở thời điểm t,

γ là hệ số trọng tải (bulk modulus)đối với điểm (x, y, x) của môitrường và có đơn vị của ứng suất,

phụ thuộc vào chuyển vị

2.1.4 Định luật hai Newton (The Second Newton’s Law)

Trên cơ sở của Định luật hai Newton có thể nhận được phương trìnhsau đây:

2u

trong đó ρ(x, y, z) là khối lượng riêng tại điểm (x, y, z) Đại lượng ∂2u

véc tơ gia tốc hạt vật chất (particle acceleration vector)

Sử dụng các định luật Hooke và Newton nêu trên, ta có phương trìnhsau đây, gọi là phương trình sóng áp suất âm:

Khi không có nguồn bên trong môi trường ta có phương trình

2P

được gọi là phương trình thuần nhất của sóng âm

2.3.1 Sóng điều hoà một chiều trong môi trường đồng nhất

Sóng điều hoà một chiều với biên độ không đổi được tìm ở dạng

trong đó Ao và k là các hằng số chưa biết

Đưa (2.6) vào vế trái của (2.5), ta được

Hàm φ = (kx − ωt) được gọi là hàm pha.

Khi x − tω

giá trị không đổi dọc theo đường đặc trưng

2.3.2 Sóng hai chiều trong môi trường đồng nhất

2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm

2.4.1 Vận tốc pha

• Khái niệm Vận tốc pha là vận tốc dịch chuyển của điểm có pha daođộng không đổi trong không gian theo hướng cho trước, thường được xemtrùng với hướng của véc tơ sóng

Khái niệm vận tốc pha chỉ được sử dụng khi mô tả sóng điều hòa, haycòn gọi là sóng đơn sắc (sóng có một tần số duy nhất, tức là sóng có dạng

• Công thức Chúng ta biết rằng, đối với các sóng điều hòa với vận tốctruyền sóng c

• Vận tốc pha của sóng De Broglie Sóng De Broglie là sóng đượcsinh ra do các hạt chuyển động với vận tốc cao Khi đó vận tốc pha đượctính theo công thức

trong đó G là modun trượt, còn ρ là mật độ của môi trường.

- Vận tốc của sóng dọc trong một thanh mỏng

•Vận tốc pha có thể vượt quá vận tôc ánh sáng trong chân không

- Vận tốc pha trong nhiều trường hợp có thể vượt quá vận tốc ánh sángtrong chân không Điều này không hề trái với định luật về sự giới hạn củavận tốc ánh sáng Bản chất của vấn đề ở chỗ định luật tương đối chỉ ra giớihạn vận tốc lan truyền của các vật có khả năng truyền đi thông tin Vậntốc pha không phải là vận tốc của các vật có khả năng truyền đi thông tinnhư vậy Sóng đơn sắc tuyệt đối truyền đi với vận tốc vô hạn theo khônggian, thời gian và không thể truyền thômg tin

- Dễ thấy rằng vận tốc sóng De Broglie luôn lớn hơn vận tốc ánh sángtrong chân không Thật vậy

- Vận tốc pha (theo phương bất kỳ không trùng với véctơ sóng và phươnglan truyền sóng) không là vận tốc chuyển động của các đối tượng vật lý,tức là các đối tượng mà trạng thái trong các khoảnh khắc thời gian tiếptheo được quy định bởi trạng thái ở thời điểm trước điểm trước đó, màtheo bản chất vận tốc pha chỉ đặc trưng cho một trạng thái của trường

dao động trong những điểm được lựa chọn Do đó, vận tốc pha của sóngbất kỳ có thể vượt quá vận tốc ánh sáng.

2.4.2 Vận tốc nhóm

• Để mô tả sóng không điều hòa, đặc biệt là các chùm sóng, ngoài kháiniệm vận tốc pha, người ta còn sử dụng khái niệm vận tốc nhóm để mô tảchuyển động không phải của những ngọn sóng riêng biệt, mà là của mộtnhóm sóng, hay bó sóng( các sóng điều hòa có tần số gần bằng nhau)

• Vận tốc nhóm Vận tốc nhóm là sự mở rộng của vận tốc pha và đượcxác định theo công thức :

• Nếu tần số góc là tuyến tính đối với số sóng, thì vận tốc pha và vận tốcnhóm trùng nhau Hàm ω(k) biểu thị sự biến đổi của tần số góc theo sốsóng k được gọi là mối quan hệ của sự tán sắc ánh sáng Sự tán sắc ánhsáng được biểu thị bởi sự phụ thuộc của vận tốc nhóm vào bước sóng

2.5.1 Mật độ năng lượng của sóng đàn hồi

Mật độ năng lượng sóng (gọi tắt là năng lượng sóng)là tổng năng lượngcủa các phần tử vật chất trong một đơn vị thể tích của môi trường có sóngtruyền qua Năng lượng của dao động do sóng tạo nên bao gồm động năngchuyển động của các hạt và thế năng biến dạng của chúng Với sóng áp

2+ 12

Số hạng thứ nhất trong (2.13) biểu thị động năng của các hạt dao động,còn số hạng thứ hai thì biểu thị thế năng tương tác đàn hồi giữa chúng (w cóthứ nguyên là j/m3] = kg/ms2.) Đối với sóng phẳng điều hoà, trên kia ta

đã thấy ρc = Pu˙ Do đó, trong trường hợp này công thức (2.13) có dạng

2.5.2 Véctơ mật độ năng thông (mật độ dòng năng lượng )

Quá trình sóng là quá trình truyền năng lượng.Vận tốc truyền nănglượng là vận tốc dịch chuyển của mặt sóng có năng lượng không đổi Vớisóng hình sin thì vận tốc đó bằng vận tốc pha vp Ký hiệu Φ là năng thôngcủa sóng qua mặt S, được xác định theo công thức

2.6.1 Sóng tới thẳng góc với bề mặt phân cách

Xét sóng phẳng điều hoà được truyền trong hai nửa không gian: z+(z >

mặt phẳng z = 0 Sóng tới (Incident wave) được truyền theo phương củatrục Oz thẳng góc với bề mặt phân cách, tạo nên sóng phản xạ (Reflectedwave) và sóng khúc xạ (Transmited wave) Trong các nửa không gian z±

Xét ví dụ, sóng phẳng đàn hồi một chiều P = eikx−iωt Vận tốc hạt vậtchất

2.6.2 Sóng tới xiên góc với bề mặt phân cách Định luật Snell (Snell’s Law)

tức là sin góc tới trên sin góc phản xạ bằng chiết suất của môi trường thứhai đối với môi trường thứ nhất.

Khi nào thì số sóng trong môi trường trên bằng số sóng trong môi trườngdưới ? Điều này xảy ra khi vận tốc theo phương ngang song song với bềmặt phân cách bằng nhau (vx = ω

c0, giải để tìm Rp trong phương trình (2.20) và

(2.22), hệ số phản xạ và hệ số khúc xạ của sóng tới phẳng trên mặt phẳng:

Ví dụ, áp lực trung bình tác dụng lên môi trường đồng nhất của sóngphẳng điều hòa tính bằng P = eikx−iωt và vận tốc hạt là ˙u = kP

Khi giảm độ nhám của môi trường thì vận tốc hạt lớn hơn trong khi đó

áp lực đàn hồi trên bề mặt của một khối lập phương là cố định Đây là

kỳ vọng của chúng ta về một môi trường mềm hơn: chuyển vị lớn hơn đốivới các loại đá mềm hơn, đó là một trong những nguyên nhân giải thích lý

do mà trong trận động đất rung động tại lớp trầm tích ở các rãnh bề mặtlớn hơn lớp đá nền xung quanh Ngược lại, các môi trường có độ cứng thìchuyển vị nhỏ nên áp lực đàn hồi là xác định

Chú ý:

Hệ số phản xạ là âm nếu độ nhám của môi trường chứa sóng tới lớnhơn so với môi trường chứa sóng khúc xạ, tức là ρc > ρ0c0 Do đó lớp cátchứa khí (có tốc độ thấp hơn muối cát ngâm phía dưới) có phản xạ phâncực âm

Hệ số phản xạ của bề mặt tự do(mặt thoáng) do sóng tới là Rp = −1vì

độ nhám của lớp sóng tới lớn hơn của không khí (độ nhám của không khí

Khái niệm vận tốc pha sử dụng mô tả sóng điều hịa, haycịn gọi sóng đơn sắc (sóng có tần số nhất, tức sóng có dạng

• Cơng thức Chúng ta biết rằng, sóng điều hịa... gọi phương trình sóng áp suất âm:

Khi khơng có nguồn bên mơi trường ta có phương trình

2P

được gọi phương trình sóng âm

2.3.1 Sóng điều hồ chiều... Mật độ lượng sóng đàn hồi

Mật độ lượng sóng (gọi tắt lượng sóng) là tổng lượngcủa phần tử vật chất đơn vị thể tích mơi trường có sóngtruyền qua Năng lượng dao động sóng tạo nên