Sóng đàn hồi và ứng dụng trong địa chấn

Mục lục1 Thiết lập phương trình sóng đàn hồi 4 1.1 Biến dạng và ứng suất đàn hồi.. Lý thuyết đàn hồi LTĐH là môn học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong vật th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1 Thiết lập phương trình sóng đàn hồi 4

1.1 Biến dạng và ứng suất đàn hồi 4

1.1.1 Trạng thái đàn hồi của vật 4

1.1.2 Khái niệm về ứng suất (Stress) 4

1.1.3 Khái niệm về sự biến dạng (Strain) 5

1.2 Các hằng số đàn hồi và định luật Hooke suy rộng 6

1.2.1 Các hằng số đàn hồi 6

1.2.2 Định luật Hooke suy rộng 7

1.3 Mật độ năng lượng biến dạng 8

1.4 Phương trình cân bằng sóng đàn hồi 8

1.4.1 Lực tạo bởi ứng suất 8

1.4.2 Định luật hai Newton Hệ phương trình cân bằng Navier -Cauchy - Hệ phương trình Lame 9

1.4.3 Tọa độ trụ 10

1.4.4 Tọa độ cầu 10

1.5 Điều kiện đầu, điều kiện biên và các bài toán liên quan của các phương trình sóng đàn hồi Định lý về duy nhất nghiệm 11

1.5.1 Điều kiện đầu 11

1.5.2 Điều kiện biên 11

1.5.3 Bài toán Cauchy 12

1.5.4 Bài toán biên-giá trị ban đầu 12

1.5.5 Định lý về duy nhất nghiệm 12

2 Sóng điều hòa-Các sóng đàn hồi điều hòa cơ bản 13 2.1 Một số kiến thức bổ trợ 13

2.1.1 Khái niệm về sóng điều hòa 13

2.1.2 Khái niệm về δ hàm Dirac và hàm Heaviside H(x) 14

2.2 Biểu diễn nghiệm của phương trình sóng đàn hồi 15

2.2.1 Hệ không có nguồn 15

2.2.2 Hệ có nguồn 17

2.3 Sóng P, sóng S, sóng SV, sóng SH và sóng PSV 19

2.3.1 Sóng P và sóng S (P-sóng và S-sóng) 19

2.3.2 Sóng SV, sóng SH và sóng PSV 20

2.4 Vận tốc pha và vận tốc nhóm 20

2.4.1 Vận tốc pha 20

2.4.2 Vận tốc nhóm 21

2.4.3 Vận tốc tốc pha và vận tốc nhóm của một số môi trường 22

2.5 Sóng khối phẳng 22

2.5.1 Phát biểu bài toán 22

2.5.2 Bài toán giá trị ban đầu (Bài toán Cauchy)đối với sóng khối phẳng 23

2.5.3 Bài toán giá trị biên đơn giản của sóng phẳng 24

2.6 Sóng cầu đối xứng sinh bởi hệ thuần nhất 25

2.7 Sóng cầu được sinh bởi nguồn điểm đơn 28

2.7.1 Các thế vị của nguồn 28

2.7.2 Phương trình của các thế vị 29

2.7.3 Công thức của các chuyển vị 30

3 Sự phản xạ và khúc xạ của các sóng đàn hồi phẳng 34 3.1 Các phương trình cơ bản 34

3.1.1 Các phương trình liên quan tới hai nửa không gian 34

3.1.2 Thế vị phẳng điều hòa 35

3.2 Phản xạ và khúc xạ của sóng SH 36

3.2.1 Hệ số phản xạ và khúc xạ 36

3.2.2 Phản xạ toàn phần 39

3.3 Phản xạ của sóng P tại một bề mặt tự do 40

Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

Dưới tác dụng của ngoại lực một vật rắn nào đó bị biến dạng Nếu vật có thểkhôi phục được hình dạng và kích thước ban đầu thì trạng thái biến dạng nóitrên được gọi là trạng thái đàn hồi Ngược lại, trạng thái biến dạng được gọi làdẻo, hay là dư

Lý thuyết đàn hồi (LTĐH) là môn học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng

và ứng suất xuất hiện trong vật thể đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng, hay vachạm với các vật khác Nội dung của LTĐH bao gồm các vấn đề chính sau đây:

• Thiết lập quy luật vật lý cơ bản của LTĐH (Định luật Hooke) giữa ứng suất

và biến dạng

• Thiết lập các phương trình cơ bản của LTĐH, các điều kiện biên và điều kiệnđầu

• Năng lượng đàn hồi

• Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm, v.v

Lý thuyết đàn hồi là cơ sở để tính toán độ bền biến dạng và ổn định trong

kỹ thuật xây dựng, trong chế tạo máy, khai khoáng và các lĩnh vực khác của kỹthuật, cũng như trong địa chấn v.v

Một trong những ứng dụng quan trọng của việc nghiên cứu sóng đàn hồi làứng dụng trong địa chấn học Sóng địa chấn là những dạng sóng năng lượng hìnhthành và lan truyền bởi sự va chạm của lớp địa tầng khi xảy ra động đất Sóngđịa chấn có nhiều dạng với nhiều cách lan truyền khác nhau, trong đó có thểphân ra hai nhóm lớn là sóng khối và sóng bề mặt Sóng khối có thể lan truyềntrong các tầng đất phía sâu, còn sóng bề mặt chỉ lan truyền ở lớp đất phía trêncủa vỏ trái đất Có hai dạng sóng khối chính là sóng P (premier wave-sóng sơcấp) và sóng S (secondary wave-sóng thứ cấp)

Thăm dò địa chấn là phương pháp địa vật lý nghiên cứu đặc điểm trườngsóng dao động đàn hồi trong môi trường đất đá nhằm giải quyết các nhiệm vụđịa chất khác nhau, như nghiên cứu cấu trúc vỏ quả đất, tìm kiếm thăm dò dầukhí và tài nguyên khoáng sản, nghiên cứu nền móng công trình Trong thăm dò

địa chấn, bằng các kích động nhân tạo như nổ mìn, rung, đập người ta kíchthích vào môi trường địa chất các xung lực Sự kích thích lực làm đất đá rungđộng và làm xuất hiện sóng đàn hồi Các sóng này truyền qua hay phản xạ trêncác lớp đất đá và các máy thu sẽ ghi nhận thời gian các sóng phản xạ truyềnđến ở dạng các băng địa chấn phản ánh các thông tin về lớp đất cần thăm dò.Luận văn tập trung nghiên cứu về bản chất của sóng đàn hồi, các loại sóngđàn hồi và một số ứng dụng trong các vấn đề của của địa chấn học Bố cục luậnvăn gồm có 3 chương:

Chương 1: Thiết lập phương trình sóng đàn hồi tuyến tính cổ điển Trongchương này có trình bày một số kiến thức về biến dạng và ứng suất đàn hồi,định luật Hooke, mật độ năng lượng và vấn đề cơ bản nhất của chương này, đó

là phương trình cân bằng của sóng đàn hồi Đã trình bày các điều kiện biên vàđiều kiện đầu đối với hệ phương trình sóng đàn hồi

Chương 2: Sóng điều hòa - Các sóng đàn hồi cơ bản Nội dung chính củachương này gồm có các phần sau đây

• Phần thứ nhất trình bày cách tìm nghiệm của hệ phương trình sóng đànhồi bằng phương pháp thế vị, đưa hệ phương trình đàn hồi về các phương trìnhsóng tuyến tính cấp hai thuộc lớp phương trình hyperbolic của lý thuyết cácphương trình đạo hàm riêng

• Phần thứ hai trình bày về sóng điều hòa và các loại sóng đàn hồi, như sóng

P (sóng sơ cấp), sóng S (sóng thư cấp), các sóng thứ cấp đứng ( SV), thứ cấpngang ( SH), sóng sơ-thứ cấp đứng (PSV), v.v

• Phần thứ ba trình bày ba bài toán cơ bản của phương trình sóng Đó là bàitoán Cauchy và bài toán biên giá trị ban đầu đối với sóng khối phẳng; bài toánbiên giá trị ban đầu đối với sóng cầu đối xứng thuần nhất khi biết các điều kiệnđầu và các điều kiện biên trên một mặt cầu nhỏ cho trước; bài toán Cauchy đốivới sóng cầu có nguồn điểm ở gốc tọa độ

Chương 3: Sự phản xạ và khúc xạ của sóng đàn hồi phẳng Chương này trìnhbày sự phản xạ và khúc xạ của sóng SH, sóng P và sóng SV trên bề mặt phâncách z = 0 cửa hai nửa không gian là những môi trường đàn hồi khác nhau.Các vấn đề được đề cập trong luận văn này có thể tìm thấy những ứng dụngcủa địa chấn học và chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]

và [6]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS Nguyễn Văn Ngọc, ngườiThầy đã hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiêncứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin, PhòngĐào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế , các bạn học viên lớp Cao học ToánK6B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp

đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiêncứu tại trường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luônkhuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy

cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 9 năm 2014

Học viên

Phạm Thùy Linh

Chương 1

Thiết lập phương trình sóng đàn hồi

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, baogồm Định luật Hooke suy rộng về mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng, cácphương trình cân bằng, v.v Nội dung của chương này chủ yếu được hình thành

từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4]

Dưới tác dụng của ngoại lực một vật rắn nào đó bị biến dạng Nếu vật cóthể khôi phục được hình dạng và kích thước ban đầu thì trạng thái biến dạngnói trên được gọi là trạng thái đàn hồi Ngược lại, trạng thái biến dạng được gọi

là dẻo, hay là dư Xét ví dụ: Giả sử ta kéo nhẹ một lò xo khỏi vị trí cân bằngrồi buông thì chiếc lò xo vẫn có hình dạng và kích thước ban đầu, ta có trạngthái đàn hồi Nếu ta kéo mạnh hoặc quá mạnh thì sau khi buông, chiếc lò xokhông thể lấy lại được hình dạng và kích thước ban đầu nữa, thậm chí bị pháhuỷ (hỏng) hoàn toàn, ta có trạng thái dẻo (dư), hoặc phá huỷ

Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất là một khái niệm quan trọng Ta hình dungqua điểm x của môi trường vẽ một mặt đủ nhỏ ∆S. Lực đàn hồi giữa các phầncủa môi trường ở phía này của ∆S tác động lên các phần tử của môi trường ởphía bên kia

Hợp lực của các lực nói trên bằng nhau về độ lớn nhưng có chiều ngược nhau(lực trực đối) Để nói về chiều của các lực đó, ta vẽ pháp tuyến n đến mặt∆S.

Giả sử rằng, các lực tác dụng lên ∆S theo hướng của pháp tuyến n về tĩnh học

tương đương với hợp lực T và moment của cặp lực M. Xét các đại lượng

Ta giả thiết rằng các giới hạn trên đây không thay đổi đối với mọi mặt ∆S

đi qua điểm x có cùng pháp tuyến n. Ký hiệu

τ(n)= lim

∆S→0 T/(∆S), µ(n) = lim

∆S→0 M/(∆S).

Các đại lượng τ(n), µ(n) phụ thuộc vào điểm x và thời điểm t. Đại lượng τ(n)

được gọi là ứng suất lực, còn đại lượng µ(n) đựợc gọi là ứng suất moment tạiđiểm x theo hướng của pháp tuyến n.

Trong không gian ba chiều Oxyz, nếu tại điểm x = (x, y, z) xét các mặt đủnhỏ đi qua x vuông góc với các trục toạ độ với pháp tuyến có hướng là hướngcủa các trục toạ độ, thì có các véctơ ứng suất:

τx= (τxx, τxy, τxz),

τy = (τ yx , τ yy , τ yz ),

τz = (τzx, τzy, τzz),

trong đó τxx, τxy, τxz tương ứng là toạ độ của vectơ τx trên các trục toạ độ

Ox, Oy, Oz. Tương tự đối với các véc tơ τy và τz. Ứng suất có tính chất

τxy= τyx, τxz = τzx,

Trong nhiều tài liệu dùng ký hiệu

σx= τxx, σy = τyy, σz = τzz.

• Chuyển vị Ký hiệurM là bán kính véctơ của điểm M và P (rM, t) là ứng suất,

áp suất (trong chất lưu) tại điểmM của không gian Euclid Rn ở thời điểmt.Đơn

vị của ứng suất là N/m2, hay P a (Paxcan) Xét điểm M (x, y, z) ∈ R3 thuộc đốitượng nghiên cứu ở thời điểm t. Dưới sự tác dụng của các lực, ở trạng thái cân

bằng điểm M sẽ dịch chuyển (rất nhỏ) đến điểm M0(x0, y0, z0). Véc tơ uM = MM0

được gọi là véc tơ chuyển vị của điểm M : uM = u(x, y, z; t). Ta có hệ thức:

rM0 = rM + uM

• Biến dạng Trong giới hạn đàn hồi có ba loại biến dạng cơ bản:

1) Biến dạng nén ( Compressional strain) = Thể tích thay đổi/ Thể tích banđầu

2) Biến dạng trượt đơn giản (Simple shear strain ) = Số gia của độ dài/ Độ dàiban đầu

3) Biến dạng trượt thuần tuý (Pure shear strain)= Bị nén + Bị kéo (diện tích(area) không thay đổi, góc thay đổi)

Giả sử dưới tác dụng của lực véc tơ chuyển vị của điểm (x, y, z) là

u = (u1, u2, u3).

• Độ biến dạng theo các phương Cauchy- Navier

ε ij = 12

1) Thể tích nguyên tố ban đầu (Original Volume): V = δxδyδz,

2) Thể tích nguyên tố biến dạng (Deformed Volume):

giữa ứng suất kéo (nén) cho độ biến dạng Đơn vị của modun Young là N/m2.

• Modun đàn hồi trượt G miêu tả xu hướng một vật thể của một vật thể bịcắt(trượt, hình dạng biến dạng với thể tích không đổi) khi bị tác động bởi cáclực ngược hướng, nó được định nghĩa bằng ứng suất cắt (trượt) chia cho biếndạng kéo Đơn vị của modun trượt G là N/m2.

• Modun đàn hồi λ (hằng số Lame) Khi chịu sự tác động của một ứng suấtkéo hoặc nén, một vật sẽ phản ứng bằng cách biến dạng theo tác dụng của lực.Trong một giới hạn biến dạng nhỏ, độ biến dạng này tỷ lệ thuận với ứng suấttác động Hệ số tỷ lệ này được gọi là modun đàn hồi và được xác định theo côngthức

λ = ứng suất (stress)biến dạng (strain).

• Các hằng số Lame: λ, µ, thứ nguyên N/m2,

λ = νE(1 + ν)(1 − 2ν), µ =

E 2(λ + µ).

• Modun đàn hồi ( Modun Young): E, thứ nguyên N/m2,

E = 2µ(3λ + 2µ)

λ + µ .

• Hệ số Poison (Poisson’s ratio): ν, không thứ nguyên:

ν = λ2(λ + µ), 0 < ν < 1/2.

• Hệ số cứng hay modun đàn hồi trượt, thứ nguyên N/m2:

G = E2(1 + ν).

Trong môi trường đồng nhất đẳng hướng ứng suất và biến dạng liên hệ nhautheo công thức

τij = λδijεkk+ 2µεij, (1.3)trong đó δ ij là ký hiệu Kronecker, (i, j = x, y, z); λ, µ được gọi là các hằng sốLame

Trong hệ trục tọa độ Oxyz và với véctơ chuyển vị u = (u, v, w), công thức(1.3) có dạng

Mật độ năng lượng biến dạng của vật đàn hồi được xác định bởi công thức

E = 12

X

i,j=x,y,z

τijεij (1.14)

= 12

Xét thể tích nguyên tố δV đủ nhỏ Hợp lực tác dụng lên δV là véc tơ F = (Fx, Fy, Fz) = (F1, F2, F3), trong đó

- Cauchy - Hệ phương trình Lame

ρδV ∂

2 ui

∂t 2 = F i , i = x, y, z = 1, 2, 3. (1.17)Thay (1.16) vào (1.17) ta được hệ phương trình cân bằng ứng suất - chuyển vịcủa lý thuyết đàn hồi động

u1, u2, u3, τxx, τxy, τxz, τyy, τyz, τzz. Hệ (1.18) được gọi là hệ phương trình cân bằngNavier - Cauchy

Đưa (1.16) vào (1.17), chú ý (1.1) và đưa các hệ thức (1.4)-(1.12) vào (1.18),

ta được

ρ ¨ ui= (λ + µ)∂(∇.u)

∂x i

+ µ∇.∇(ui) + fi, i = 1(x), 2(y), 3(z), (1.20)hay là ta có phương trình sóng đàn hồi đối với chuyển vị ở dạng véc tơ

ρ¨ u = (λ + µ)∇(∇.u) + µ∇.∇u + f (1.21)

Hệ phương trình cân bằng ở dạng chuyển vị (1.21) được gọi là hệ phươngtrình Lame

1.4.3 Tọa độ trụ

Trong tọa độ trụ r, θ, z ta có các phương trình sau đây

• Hệ thức giữa biến dạng và chuyển vị

εrr = ∂ur

∂r , εθθ =

1 r

Trong tọa độ cầu r, θ, φ ta có các phương trình sau đây

• Hệ thức giữa biến dạng và chuyển vị

εrr = ∂ur

∂r , εθθ =

1 r



2τφθcot θ + 3τφr+ fφ = ρ∂

2 uφ

∂t2 . (1.32)

1.5 Điều kiện đầu, điều kiện biên và các bài toán

liên quan của các phương trình sóng đàn hồi Định lý về duy nhất nghiệm

Với phương trình đàn hồi ở dạng chuyển vị thì các điều kiện đầu sẽ là

ui(x, y, z; 0) = ϕi(x, y, z), ∂ui

∂t (x, y, z; 0) = ψi(x, y, z), i = 1, 2, 3. (1.33)Điều kiện thứ nhất trong (1.33) biểu thị chuyển vị ban đầu của các điểm, cònđiều kiện thứ hai biểu thị vận tốc ban đầu các chất điểm của môi trường

Giả sử phương trình cân bằng đàn hồi được cho trong miền Ω ⊂R3 với biên

• Điều kiện biên loại hai Trên ∂Ω cho biết giá trị của các ứng suất

Để minh họa xét các ví dụ đơn giản sau đây

Ví dụ 1.1 Một khối bao gồm 2 nửa không gian, ngăn cách bởi một mặt phẳngtại z = 0

• Điều kiện biên loại ba (hỗn hợp) Giả sử∂Ω = Γ1∪ Γ2, Γ1∩ Γ1 = ∅ và trên

Γ1 cho biết giá trị của các chuyển vị, còn trên Γ2 thì cho điều kiện về ứng suất

• Các phương trình được cho trong toàn bộ không gian Rn

• Chỉ có các điều kiện ban đầu

• Các phương trình được cho trong miền Ω ⊂Rn.

• Các điều kiện ban đầu

• Các điều kiện biên tương ứng trên biên ∂Ω của miền Ω.

Một vấn đề đặt ra là nghiệm của các bài toán của lý thuyết đàn hồi giải theochuyển vị hay ứng suất có duy nhất không? Người ta đã chứng minh được Định

lý về duy nhất nghiệm bằng nhiều phương pháp khác nhau

Định lý 1.1 Nếu thừa nhận về trạng thái tự nhiên của vật và định luật về độclập tác dụng của các lực thì nghiệm của các bài toán biên cơ bản thứ nhất và thứhai của lý thuyết đàn hồi là duy nhất

Chương 2

Sóng điều hòa-Các sóng đàn hồi

điều hòa cơ bản

Chương này trình bày cách giải của hệ phương trình cân bằng của sóng đànhồi đã thiết lập được trong Chương 1 bằng cách đưa ra các hàm thế vị để biếnđổi hệ phương trình sóng đàn hồi về các phương trình sóng cấp hai độc lâp.Trên cơ sở đó đã trình bày khái niệm về sóng điều hòa và các loại sóng P, sóng S

và một số loại sóng khác Xét một số bài toán về sóng khối phẳng và sóng khốicầu Nội dung chủ yếu của chương này được hình thành từ các tài liệu [2],[3],[4], [5] và [6]

Để đơn giản, xét phương trình sóng một chiều không gian

u(x, t) = F (x − ct) + G(x + ct), (2.2)trong đó F (x) và G(x) là những hàm tùy ý hai lần khả vi liên tục

Định nghĩa 2.1 Nếu nghiệm của phương trình sóng có dạng

u(x, t) = A(x, t) cos(ωt − kx + φ) hoặc= A(x, t) sin(ωt − kx + φ), (2.3)

thì nó được gọi là sóng điều hòa, trong đó

• A là biên độ,

• ω = kc là tần số góc,

• k = ω/c là số sóng,

• φ = const được gọi là pha ban đầu ở gốc tọa độ,

• Đại lượng ωt − kx + φđược gọi là pha của sóng ở thời điểm t tại điểm x.

Nếu A(x, t) = A(x), nghĩa là nếu biên độ của sóng không phụ thuộc vào thờigian, thì sóng được gọi là sóng dừng

Một số đại lượng khác đặc trưng cho sóng điều hòa

• f = ω/(2π) là tần số: số dao động toàn phần trong một giây,

• T = 1/f là chu kỳ: thời gian thực hiện một dao động toàn phần,

• λ = 2π/k là bước sóng: khoảng cách ngắn nhất giữa hai dao động đồng pha.Nói chung, sóng điều hòa có thể được biểu diễn ở dạng

δ hàm Dirac là hàm suy rộng quan trọng do nhà vật lý người Anh đưa ravào khoảng 1926 Có thể hiểu δ hàm Dirac một cách hình thức như sau: δ hàm

δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) đối với mọi hàm liên tục ϕ(x).

Tính chất thứ 3 thông thường được lấy làm định nghĩa hàm suy rộng Diracnhư là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm cơ bản, đượcxác định theo công thức [6]

< δ, ϕ >:= ϕ(0). (2.4)Các tính chất 1 và 2 nói lên rằng, giá của hàm Dirac tập trung tại gốc toạ

độx = 0, tức là δ- hàm có giá compact Chú ý rằng, tính chất 3 tương đương với

Cùng với delta hàm, hàm Heaviside θ(x) là những hàm suy rộng cơ bản HàmHeaviside được định nghĩa như sau

θ(x) =



1, x > 0,

0, x < 0. (2.6)Trong định nghĩa các hàm suy rộng, delta hàm là đạo hàm của hàm Heaviside

θ0(x) = dθ(x)

dx = δ(x). (2.7)Đạo hàm theo nghĩa suy rộng được xác định theo công thức

u = ∇Φ + ∇ × Ψ, (2.10)trong đó Φ là thế vô hướng (scalar potential), còn Ψ là véc tơ thế Đối với véc

tơ Ψ có thêm điều kiện [4]:

ρ(∇ ¨ Φ + ∇ × ¨ Ψ) = (λ + µ)∇(∇.[∇Φ + ∇ × Ψ]) + µ∇.∇[∇Φ + ∇ × Ψ]. (2.12)Chú ý rằng

∇.∇ × Ψ = 0, (2.13)

từ (2.12) ta được

ρ(∇ ¨ Φ + ∇ × ¨ Ψ) = (λ + µ)∇[∇2Φ] + µ∇2[∇Φ + ∇ × Ψ]. (2.14)

Nhân bên trái của (2.12) với ∇.(tích vô hướng) và chú ý tới (2.13) ta có

¨

Φ − c2p∇2Φ = 0, (2.17)trong đó

cp =

r

λ + 2µ

là vận tốc của sóng sơ cấp (premary wave)

Để tìm véc tơ thế vị Ψ,ta nhân hai vế của (2.14)với ∇×(nhân véc tơ) và chú

ý tính chất

∇ × ∇Φ = 0, (2.19)

ta được phương trình sóng

ρ ¨ Ψ − µ∇2Ψ = 0, (2.20)hay là

¨

Ψ − c2s∇2Ψ = 0, (2.21)trong đó

c s =

r

µ

là vận tốc của sóng thứ cấp (second wave)

• Phương pháp thứ hai [3] Trong hệ tọa độ Cartesian, ta có các hệ thức

∂t 2 − (λ + 2µ)∇∇2Φ + µ∇ × ∇ × ∇ × − →

Ψ = 0. (2.25)

∂t 2 + µ∇ × ∇ × − →

Ψ

i

= 0. (2.26)Các hàm Φ, − →

Ψ sẽ được tìm, sao cho các phương trình sau đây được thỏa mãn

Φ = 14π

¨

Ψ − ∇2Ψ =

−

→ ψ

2.3 Sóng P, sóng S, sóng SV, sóng SH và sóng PSV

• Thay

u = sei(kx−ωt), (2.49)tức là

u1 = s1ei(kx−ωt), u2 = s2ei(kx−ωt), u3 = s3ei(kx−ωt),

trong đó k, s là những véc tơ hàng chưa biết vào phương trình sóng (2.9)ta được

ρω2s − (λ + µ)(s.k)k − µk2s = 0, (k2 = k12+ k22+ k32). (2.50)Các véc tơ k, s tương ứng được gọi là véc tơ số sóng và véc tơ biên độ Mối quan

hệ hình học giữa hai véc tơ này gắn với các loại sóng Nhân vô hướng hai vế củaphương trình trên đây với s ta được

ρω2|s|2− (λ + µ)(s.k)2− µk2|s|2 = 0. (2.51)

• Xét trường hợp s.k = 0. Khi đó từ (2.51) suy ra

ω/k =pµ/ρ = cs. (2.52)Trong trường hợp này công thức (2.49) cho ta sóng S được lan truyền với vậntốc cs.

• Xét trường hợp s||k. Khi đó từ (2.51) suy ra

ω/k =p(λ + 2µ)/ρ = cp. (2.53)Trong trường hợp này công thức (2.49) cho ta sóng P được lan truyền với vậntốc cp. Rõ ràng là cp > cs.

• Sóng P (primary or compressional wave- sóng sơ cấp) là sóng dọc (tương tựsóng âm) được lan truyền với vận tốc giữa 1 đến 14 km/s Sóng dọc là sóng đànhồi do biến dạng của thể tích, trong đó các hạt vật chất dao động theo phươngtrùng với phương truyền sóng

•Sóng S (Shear or secondary-Sóng thứ cấp) là sóng ngang (tương tự sóng nước)được lan truyền với vận tốc giữa 1 đến 8 km/s Sóng ngang là sóng trong đó cáchạt vật chất dao động theo phương vuông góc với phương truyền sóng

• Trong địa chấn thăm dò, sóng P có ý nghĩa hơn cả Về nguyên tắc thì sóng

S cũng có ích, nhưng tạo sóng S có năng lượng cao như sóng P là rất khó Cácsóng khác, như sóng Love, sóng Rayleigh v.v vì không mang thông tin của các

lớp đất đá ở dưới sâu nên ít có ý nghĩa đối với công tác thăm dò địa chấn Sự có

có mặt của các sóng này gây trở ngại cho quá trình thu sóng có ích, nên chúngđược coi là nhiễu

¨

ψy = c2s∇2ψy, (2.54)trong mỗi tầng với vận tốc cs.

• Ngược lại, các sóng phẳng PSV có thể được cho bởi các phương trình

¨

ψx = c2s∇2ψx, ψ¨z = c2s∇2ψz, (2.55)trong đó y là toạ độ của trục vuông góc với trang sách này

• Khái niệm Vận tốc pha là vận tốc dịch chuyển của điểm có pha dao độngkhông đổi trong không gian theo hướng cho trước, thường được xem trùng vớihướng của véc tơ sóng

Khái niệm vận tốc pha chỉ được sử dụng khi mô tả sóng điều hòa, hay còn gọi

là sóng đơn sắc (sóng có một tần số duy nhất, tức là sóng có dạngcos φ, sin φ, eiφ)

trong đó k được gọi là số sóng Công thức trên đây chính là công thức của vậntốc pha sau đây

vp = ω

k, ω = vpk, (2.56)được trực tiếp suy ra từ công thức pha của sóng phẳng trong không gian mộtchiều φ = kx − ωt, hoặc φ = k.x − ωt trong không gian lớn hơn một chiều

• Vận tốc pha của sóng De Broglie Sóng De Broglie là sóng được sinh ra

do các hạt chuyển động với vận tốc cao Khi đó vận tốc pha được tính theo côngthức

trong đó G là modun trượt, còn ρ là mật độ của môi trường

- Vận tốc của sóng dọc trong một thanh mỏng