Đề thi HSG lớp 12 cấp tỉnh

Trong phòng họp có 100 người.. Mỗi người quen với ít nhất là 67 người khác.. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.. Vẽ mặt phẳng qua B vuông góc với SA tại

SỞ GD&ĐT LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

CẤP TỈNH NĂM 2011 Môn: Toán

Ngày thi: 21/11/2010

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

- Họ và tên học sinh:

- Số báo danh:

1 Giám thị số 1:

2 Giám thị số 2:

(Đề bài gồm 05 câu) Câu 1 ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 12 1 2 3 12 1 6 3  −  =  + ÷       + ÷ =  +   x y x y y x Câu 2 ( 4,0 điểm). Tìm các hàm :f R→R thỏa mãn: (0) 2010, 2 2011 ( ) ( ) 2 ( ).cos , f f f x y f x y f x y x y π  =  =   ÷     + + − = ∀ ∈  R Câu 3 ( 4,0 điểm). Trong phòng họp có 100 người Mỗi người quen với ít nhất là 67 người khác Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau Câu 4 ( 3,0 điểm). Cho n là số nguyên và n≥3 Chứng minh: n+1> +( 1)n n n Câu 5 ( 5,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 6 và chiều cao SH= 15 Vẽ mặt phẳng qua B vuông góc với SA tại K, mặt phẳng này cắt SH tại O Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc SA và BC sao cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng 2 5. a) Tính độ dài đoạn IK với I là trung điểm của BC b) Tính giá trị nhỏ nhất của PQ Hết

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 01/01

SỞ GD&ĐT LAI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

CẤP TỈNH NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: Toán

1

(4.0 Đ)

Điều kiện ,x y≥0;y+3x≠0 0.5

Dễ thấy ,x y ≠0 Hệ phương trình đã cho tương đương với

12 2 1

3

12 6 1

3







0.5

1 3

1 (1)

(2) 3



⇔ 



(I) 0.5

Nhân theo vế của các phương trình trong hệ (I) ta được:

9 1 12

3

− =

+

6 27 0

9 ( )

=



⇔ y + xy− x = ⇔  = −y x

Thế y =3x vào phương trình (1) ta được : 1 3 1

3

⇒ = +x 4 2 3

0.5

Với x= + 4 2 3 ⇒ = +y 12 6 3. Vậy nghiệm của hệ: (4 2 3;12 6 3 + + ) 0.5

2

(4.0 Đ) * Cho x=π2, y t= −π2, ta có:

f t + f π − =t f  π c t−π = f  π t

      (1)

0.75

* Cho ;

x t= −π y=π , ta có : ( )f t + f t( −π) 0= (2)

0.75

* Cho x=0; y t= −π, ta có

( ) ( ) 2 (0)cos( ) 2 (0)cos

f t −π + f π − =t f t−π = − f t (3) 0.75

2 ( ) ( ) ( ) 2 sin

2

f t + f t−π + f π − =t f  π t

 ÷

  (4) Thay (3) vào (4) ta lại có: ( ) (0)cos sin

2

f t = f t+  ÷f   π t 0.5

Suy ra hàm số cần tìm là : ( ) 2010cosf x = x+2011sinx 0.5

3

(4.0 Đ)

Xét A là người bất kỳ trong phòng Bởi vì A quen ít nhất là 67 người

khác, nên nếu mời tất cả những ai không quen A ra ngoài thì số người

phải ra nhiều nhất là 32

1.0

Khi đó trong phòng còn A và 67 người quen A, tức là trong phòng còn

Gọi B là người khác A trong 68 người còn ở lại trong phòng, ta mời tất

cả những ai không quen B ra ngoài Khi đó trong phòng còn lại ít nhất

68 – 32 = 36 người

0.75

Lại gọi C là người khác A và B trong 36 người còn ở lại trong phòng, ta

mời tất cả những người không quen C ra ngoài Khi đó trong phòng còn

lại ít nhất 36 – 32 = 4 người

0.75

Nghĩa là ngoài A, B, C còn lại ít nhất một người, giả sử là D Khi đó A,

4

(3.0 Đ)

Ta có n n+1> +(n 1)n ⇔(n+1 ln) n n> ln(n+1) 0.5

ln( 11) ln

+

+

Xét hàm số

ln

x y

x

Ta có ' ln 2 1 0, 3

ln

x

x

−

Suy ra hàm số

ln

x y

x

Do đó với n≥3, ta có ln( 11) ln

+ > ⇒ +

5

Ý a

(2.0 Đ)

Trong tam giác SAB vẽ đường cao BK thì CK SA⊥ nên

Ta có IK SH O∩ = , O chính là giao điểm của (BKC) và SH

ABC

∆ đều có AB 6 nên AI=3 3,AH 2 3, IH= = = 3 0.25

Ta có tanSAH· SH 15 5

AH 2 3 2

·

·

2

2

cos SAH

9

1 tan SAH

·

sin SAH 1

9 9

sinSAH

3

Mặt khác, ∆AKI vuông tại K nên sinSAH· IK

AI

5

IK AI 15

3

Ý b

(3.0 Đ) Tứ giác AKOH nội tiếp, ta có OIAI = IHIK ⇒OI= AI.IHIK =3 155

0.25

Suy ra OK IK OI 2 15

5

Đặt x = IQ, y = KP

Trong tam giác vuông OIQ tại I, ta có 2 2 2 27

OQ OI IQ x

5

Trong tam giác vuông POK tại K, ta có 2 2 2 12

5

Giả sử đường tròn tâm O, bán kính 2

5 tiếp xúc với PQ tại T.

Qua I dựng đường thẳng d song song với KP

Gọi P’ là hình chiếu vuông góc của P trên d

0.25

Xét tam giác vuông OTQ có: QT= OQ2 −OT2

2 27 2 2

5 5

= + − = + 0.25 Xét tam giác vuông OTP có PT= OP2 −OT2

2 12 2 2

5 5

= + − = + 0.25 Mặt khác, xét tam giác vuông PP’Q Ta có

PQ= PP' +P'Q = x +y +15 ⇒PQ PT QT= + = x2 +y2 +15 0.25

2

2

x 5 y 2 x y 15

6 2x

x y 2x 5y 6 y

x 5

−

Vậy:

6 2x x 18x 81

Xét hàm số ( ) 4 2 2

x 18x 81

f x

x 5

=

+ Đặt t x , t 0= 2 ( ≥ ) f t( ) t2 18t 81

t 5

=

+

0.25

( ) 2( )2

t 10t 9

f ' t

t 5

=

+

f ' t 0

t 9

= −



= ⇔  = −

Với t = 0,f 0( ) 81

5

= t [0; ) thì Minf t( ) 81

5

Vậy: PQmin 9 5

5

= , đạt được khi t = 0, lúc ấy x 0 và y = 6

5

= Hay GTNN của PQ đạt được khi Q I≡ và P cách K một khoảng không

đổi bằng 6

5.

0.25

* Lưu ý:

- Thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Làm tròn đến 0.5 điểm.