Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định.. Tìm a để dãy số có giới hạn hữu hạn... M là một điểm bên trong góc sao cho khoảng cách từ M đến Ox là 3 và Oy là
Trang 1Sở GD-ĐT Đăk Nông
Trường THPT Trần Phú
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Môn Toán Đề 1
Câu 1: (5đ) Giải hệ phương trình sau:
3
3
+ = +
+ = +
+ = +
Câu 2:(5đ) Cho hàm số f : *Ν → Ν* thỏa mãn các tính sau:
i) f(x.y) = f(x)f(y), Với mọi (x,y) = 1.
ii) f(x + y) = f(x) + f(y), Với mọi x,y.
Tính f(2), f(3) và f(2010).
Câu 3: (5đ) Cho tam giác ABC vuông góc không phải cân, trên AB lấy M
và trên AC lấy N sao cho BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của
MN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4(5đ): Cho dãy số có x1=a x, n+1=x x n n( −1) Tìm a để dãy số có giới
hạn hữu hạn.
Trang 2Câu 1(5đ): Giải hệ phương trình sau:
+ + + =
+ + + =
Câu 2(5đ): Xác định hàm số y= f x( ) =x3+ ax2+ +bx c Biết rằng khi chia f(x) cho x-1, x-2 và x-3 đều dư 6.
Câu 3(5đ): Cho góc Oxy vuông tại O M là một điểm bên trong góc sao cho
khoảng cách từ M đến Ox là 3 và Oy là 4 Tìm A trên Ox và B trên Oy sao cho AB qua M và OA + OB nhỏ nhất.
Câu 4(5đ): Tìm x, y , z thỏa mãn hệ phương 2 2 21
x y z
+ + = + + = sao cho x
đạt giá trị lớn nhất.
Trang 3ĐÁP ÁN
ĐỀ 1
Điểm
+ > ⇒ < ⇒ ≥ ⇒ ≤ (vô lý)
+ < ⇒ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ (vô lý)
+ x = 2 ⇒y = z = 2
Vậy x = y = z = 2
1đ
1đ 1đ 1đ 1đ
2 Ta có: f(6) = f(2.3) = f(2).f(3)
f(6) = f(3 + 3) = f(3) + f(3) = 2f(3)
Suy ra f(2) = 2
f(4) = f(2) + f(2) = 2f(2) = 4
f(6) = f(4) + f(2) = 6 suy ra f(3) = 3
f(2010) = f(2) + f(2)+ ….+f(2) (có 1005 số hạng)
suy ra f(2010) = 2010
1đ 1đ
1đ 1đ 1đ
3 Hình vẽ 1đ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có A(0;0), B(0;b),
C(c;0), M(0;m) Ta có BM = CN suy ra N(c+m-b;0) Gọi
P là trung điểm của MN, ta có P( ;
2
c m b m
n
Suy ra phương trình đường thẳng MN có dạng
c m b x+ − − + − −m y− = .
Suy ra đường trung trực của MN qua I( ;
c b b c− − )
1đ
1đ 1đ 1đ
Trang 4M
N
4 Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn là c thì ta có c = c(c-1)
suy ra c = 0 hoặc c = 2 Do đó
TH1: Nếu a = 0 hoặc a = 2 thì dãy số là dãy số hằng nên
có giới hạn hữu hạn
TH2: Nếu 0 < a < 2 thì 0<x n+1<xn <2 suy ra dãy số giãm
và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn
TH3: Nếu a> 2 thì x2 > x1 >2 chứng minh quy nạp ta có xn
+1 > xn > 2 suy ra (xn+1 -2) >2(xn -2) > …>2n (x1 – 2) Tức là
xn có giới hạn vô cực (loại)
TH4: Nếu -1 ≤ a < 0 thì 0 < x2 ≤ 2 (TH2) nhận.
TH5: Nếu a < -1 suy ra x2 > 2 (TH3) loại
Vậy -1 ≤ a ≤ 2
0.5đ
05đ 1đ
1đ 0.5đ 0.5đ 1đ
Trang 5ĐÁP ÁN
ĐỀ 2
Điểm
1 22 2 23 0 23 22 2 0
Đặt f(t) = t3 +xt2 + yt + z, ta có f(2) = f(3) = f(5) = 0
Đặt g(t) = f(t) – (t-2)(t-3)(t-5) = (x + 10)t2 + (y – 31)t + z
+ 30 , ta có g(2) = g(3) = g(5) = 0 suy ra 2, 3, 5 là ba
nghiệm phân biệt của g(x) = 0, suy ra g(x) đồng nhất với
0 Tức là
1đ
1đ 1đ 1đ 1đ
2 Do f(x) chia cho x-1, x-2 và x-3 đều dư 6 nên ta có
f(1) = f(2) = f(3) = 6
Đặt g(x) = f(x) -6 – (x-1)(x-2)(x-3) =(a + 6)x2 +(b – 11)x
+ c Ta có
g(1) = g(2) = g(3) = 0, suy ra g(x) = 0 có ba nghiệm phân
biệt 1, 2, 3 suy ra g(x) đồng nhất với 0 suy ra
a = -6, b = 11 và c = 0
Vậy hàm số f(x) = x3 - 6x2 + 11x
1đ 1đ 1đ
1đ 1đ
3 Hình vẽ 1đ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có M(3;4), B(0;b),
A(a;0) Ta có Phương trình dường thẳng AB là x y 1
a b+ =
Do AB qua M nên 3 4 1
a b+ =
Ta có OA + OB = a + b = (a + b)(3 4)
a b+ ≥ ( 3 2) + 2 theo bất đẳng thức bunhiacoski
1đ
1đ
1đ
Trang 6Vậy A và B thuộc Ox và Oy sao cho a và b thỏa (1)
x
O
y
A
B M
1đ
2 2 2 3 2 4 (2)
x y z
+ + = + + = Từ (1) suy ra z = 1 – x – y thay vào
(2) ta có 5y 2 + 6(x-1)y + 4x 2 – 6x – 1 = 0.
Phương trình có nghiệm 0 6 190 6 190
1đ 1đ 1đ 2đ
