Quan hệ song song trong không gian

• Định lý Nếu một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì đờng thẳng nằm trên mặt phẳng đó h.14.. suy từ tính chất 2 • Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua một đờng

Chơng I

Đờng thẳng và Mặt phẳng

trong không gian Quan hệ song song

Đ1 đại cơng về đờng thẳng và mặt phẳng

1 Mở đầu về hình học không gian

Trong chơng trình hình học lớp 10 và chơng I của hình học lớp 11, ta chỉ xét các hình trong mặt phẳng nh : tam giác, đờng tròn, vectơ,…Chúng đợc gọi là những hình phẳng Xung quanh chúng

ta, còn có các hình không nằm trong mặt phẳng nh : cái bút chì, quyển sách, quả bóng, ngôi nhà,

…

Nghiên cứu tính chất của các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng là nội dung của môn học gọi là Hình không gian

Ngoài điểm, đờng thẳng, hình không gian có khái niệm mới là mặt phẳng

• Mặt phẳng là hình nh thế nào?

Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tờng lớp học, mặt bàn, tấm gơng, mặt hồ nớc khi lặng gió,… cho

ta hình ảnh về một phần mặt phẳng

Cũng nh “điểm”, “đờng thẳng” ngời ta không định nghĩa “mặt phẳng”

* Vậy làm thế nào để hiểu và sử dụng mặt phẳng ?

−Trớc tiên, mỗi mặt phẳng đợc quy ớc biểu diễn bằng một hình bình hành và dùng

chữ in hoa đặt trong dấu ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy (h.11)

Thí dụ : mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q) hoặc viết tắt mp(P), mp(Q) hoặc (P),

(Q).

Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (P) thì viết

A∈(P) hoặc A∈mp(P)

Nếu điểm A không thuộc mặt phẳng (P)

thì viết A∉(P) hoặc A∉mp(P).

Nếu đờng thẳng d thuộc mặt phẳng (P) thì

viết d∈(P) hoặc d∈mp(P)

Nếu đờng thẳng d không thuộc mặt phẳng

(P) thì viết d∉(P) hoặc d∉mp(P)

− Ta hiểu và sử dụng mặt phẳng thông qua các tính chất thừa nhận của hình học

không gian

2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 1

Có một và chỉ một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trớc (h12)

Tính chất 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng (h.13)

Tính chất 3

Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng (h.14)

Tính chất 4

P

•A

Hình 11

d



Đờng thẳng chung của hai mặp phẳng phân biệt đợc gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng ấy

Tính chất 5

Trên mỗi mặt phẳng các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng

• Định lý

Nếu một đờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì

đờng thẳng nằm trên mặt phẳng đó (h.14)

3 Điều kiện xác định mặt phẳng

Mặt phẳng đợc xác định bằng một trong ba cách sau đây:

• Mặt phẳng xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc nó (h.16a)

(suy từ tính chất 2)

• Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua một đờng thẳng một điểm không

không nằm trên đờng thẳng ấy (h.16b)

(suy từ tính chất 2 và 1)

• Mặt phẳng xác định khi biết nó đi qua hai đờng thẳng cắt nhau (h.16c)

(suy từ tính chất 2 và 1)

4 Hình chóp và tứ diện

Định nghĩa 1

Cho đa giác A1A2…An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) chứa đa giác Nối S

với các đỉnh A1, A2, , … An tạo ra n tam giác : SA1A2, SA2A3, SA n− 1A n

• Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và đợc ký hiệu là

S A1A2…An

+ Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp

•

•

A

B d

Hình 12



Hình 14

P

A •

B •

• C

•D



Hình 15

a

Q



Giao tuyến

P

•A

Hình 13



P

Hình 16.c

P

•A

Hình 16b d

P

•A

Hình 16.a

a b 



+ Hình đa giác A1A2…An gọi là mặt đáy của hình chóp.

+ Các cạnh của mặt đấy gọi là cạnh đáy của hình chóp.

+ Các đoạn thẳng SA1, SA2, , … SA n gọi là các cạnh bên của hình chóp

+ Các hình tam giác SA1A2, SA2A3, SA n− 1A n gọi là các mặt bên của hình chóp

* Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, ngũ giác, thì hình chóp tơng ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

( Hình chóp chỉ có một đỉnh và một mặt đáy)

Định nghĩa 2

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

• Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện

+ Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của hình tứ diện

+ Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, DB gọi là các cạnh của hình tứ diện

+ Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi hai cạnh đối diện

+ Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD gọi là các mặt của hình tứ diện.

+ Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện của mặt đó.

(Hình tứ diện có thể xem là hình chóp tam giác Khi đó mỗi đỉnh của hình tứ diện đều có thể xem

là một đỉnh của hình chóp tơng ứng)

5 Các thí dụ và bài toán cơ bản

Thí dụ 1

Cho hai đờng thẳng a và b cắt nhau tại điểm I, đờng thẳng c cắt đờng

thẳng a tại điểm A (A≠I), cắt đờng thẳng b tại điểm B (B≠I) Chứng tỏ ba

đờng thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng.

Lời giải

Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đờng thẳng cắt nhau a và b (h.17)

Nh vậy







∈

∈

) (

)

(

P

b

P

a

⇒







∈

∈

) (

)

(

P B

P

A

Đờng thẳng c đi qua hai điểm A và B của

mặt phẳng (P), theo định lý trên suy ra c∈(P)

Vậy a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng (P) (đpcm)

Lời bình

Từ Thí dụ trên ta suy ra :

1) Nếu ba đờng thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm (h.18)

Thật vậy : Giả sử I=a∩b, A=c∩a; B=c∩b Gọi (P)=(a, b) Nếu A≠I kết hợp

P

•

Hình 17

•

•

A a

b

•

Hình 18

I

c



với c≠a suy ra B≠I Theo Theo thí dụ trên c∈(P) ⇒ cả a, b, c đều thuộc (P) Mâu

thuẫn Vậy a, b, c phải đồng qui (đpcm).

2) Cho ba mặt phẳng phân biệt (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau : a=(P)∩(Q),

b=(P)∩(R), c=(Q)∩(R) Nếu có

hai trong ba giao tuyến ấy cắt

nhau thì cả ba giao tuyến ấy

đồng quy (h.19)

Thật vậy, theo giả thiết:

(P)=(a, b), (Q)=(a, c), R=(b, c)

Do (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng

phân biệt ⇒a, b, c không cùng

nằm trong một mặt phẳng Nếu

a cắt b tại điểm I thì theo Thí dụ trên ⇒a, b, c phải đồng qui tại I (đpcm).

Thí dụ 2

Cho hai tam giác ABC và A’ B’ C’ không đồng phẳng sao cho đờng thẳng AB cắt A’B’ tại γ, đờng thẳng BC cắt B’C’ tại α, đờng thẳng CA cắt C’A’ tại β Chứng minh rằng nếu AA’ cắt BB’ tại O thì CC’ cũng đi qua O.

Lời giải

Gọi (P)=(AB, BB’),

(Q)=(BC, B’C’),

(R)=(AC, A’C’) (h.20)

Đó là ba mặt phẳng

phân biệt Rõ ràng

(P)∩(Q)=BB’,

(P)∩(R)=AA’,

(R)∩(Q)=CC’

Theo lời bình sau

Thí dụ 2 ở trên thì

AA’, BB’, CC’ đồng

quy hay CC’ đi qua

O (đpcm).

Bài toán1 Xác định giao điểm giữa đờng thẳng và mặt phẳng

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

• Để tìm giao điểm của đờng thẳng (∆) với mặt phẳng (P), ta tìm giao điểm của (∆) với một đờng thẳng (d) thuộc (P) Khi đó (∆)∩(d) cũng chính là giao

điểm giữa (∆)∩(P).

a

b c

P

Q

R

I

Hình 19

A

C

α

B’

C’’

β

Hình 20

γ

O A’’

B



• Để tìm giao điểm của hai mặt phẳng, một cách có thể là chỉ ra hai điểm chung giữa chúng.

Thí dụ 3

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AD và BC không song

song Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và K(K≠S, K≠B) là điểm trên

đoạn thẳng SB.

1) Tìm giao điểm đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAD)

2) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SBD).

3) Tìm giao điểm đờng thẳng SC với mặt phẳng (ALD).

Lời giải

1) −Dựng E=AD∩BC (Do AD và BC không song song điểm E tồn tại).(h.21)

Bởi AD∈(SAD) ⇒ Điểm E là giao của đờng thẳng BC với mặt phẳng (SAD).

2) −Dựng O=AC∩BD Ta có







∈

⇒

∈

∈

⇒

∈

) (

)

(

SBD O

BD

O

SAC O

AC

O

⇒O là điểm chung của

hai mặt phẳng (SAC) và

(SBD) (1)

− Lại có S là điểm chung

của hai mặt phẳng (SAC)

và (SBD) (2)

Từ (1), (2) suy ra của hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD)

là đờng thẳng SO

3) − Trong mặt phẳng (SBD),

nối KD, lấy I=KD∩SO.

− Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đờng thẳng AL.

− Lấy L=SC∩AL Rõ ràng







∈

⇒

∈

∈

∈

) ( )

(

AI L

SC L

⇒L là giao điểm của đờng thẳng SC với mặt phẳng (AKD).

Lời bình

Bài toán tìm giao điểm của đờng thẳng với mặt phẳng là bài toán dựng hình

Nhng lời giải không phải trình bày chứng minh

Bài toán 2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Chứng minh ba đờng thẳng dồng quy.

A

B

C D

S

L I

K

O

E







Hình 21

•Các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đờng thẳng Bởi thế, một cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng là chứng minh mỗi điểm trong chúng đều

là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt

• Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy, bạn có thể làm theo hai cách sau: Cách 1: Chứng minh chúng là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt

Cách 2: Chứng minh một đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng còn lại.

Thí dụ 4 Cho mặt phẳng (P) ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm

trên (P) Chứng minh rằng nếu các đờng thẳng AB, BC, CA đếu cắt mặt phẳng

(P) thì ba giao điểm ấy thẳng hàng

Lời giải

Gọi α, β, γ theo thứ tự lần lợt là giao điểm của các đờng thẳng BC, CA, AB với mặt

phẳng (P) (h 22)

Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm không thẳng hàng A, B, C.

Ta có điểm α thuộc

đờng thẳng BC

⇒α∈(Q).

Lại có α∈(P), nên

α là điểm chung

của hai mặt phẳng

(P) và (Q) ⇒ (P) và

(Q) cắt nhau

Gọi (∆)=(P)∩(Q) ta

có α∈(∆) (1)

Tơng tực β∈(∆),

γ∈(∆) cũng là các

điểm thuộc (∆) (2)

Từ (1), (2) suy ra cả ba điểm α, β, γ thẳng hàng (đpcm)

Thí dụ 5

Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD) Gọi B’, C’, D’ theo thứ tự là ba điểm thuộc SB, SC, SD sao cho

3

1 ' =

SB

SB

,

3

2 ' =

SC

SC

,

2

1 ' =

SD SD

1) Xác định α, β theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) lần lợt với các

đờng thẳng BC, CD.

2) Xác định A’theo thứ tự là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đờng thẳng SA.

3) Xác định giao điểm I của đờng thẳng B’C’ với mặt phẳng (SAC).

4) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD Chứng minh S, I, O thẳng hàng.

5) Chứng minh các đờng thẳng αβ, AD và B’C’ đồng quy.

Lời giải

S

A D γ

B C α

A’

B’ D’

I

O C’

P

Hình 22

Q

A

B

C

1) (h.23) −Trong mặt phẳng (SAC), kéo dài B’C’ và BC cho chúng cắt nhau tại α

Do

3

1

' =

SB

SB

,

3

2 ' =

SC

SC

⇒

SC

SC SB

SB' ≠ ' nênα tồn tại Do B’C’∈(B’C’D’) ⇒α là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đờng thẳng BC

−Tơng tự β=C’D’∩CD là giao điểm của mặt phẳng (B’C’D’) với đờng thẳng CD.

2) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đờng thẳng (∆) đi qua hai điểm α và β Kéo dài

AC cắt (∆) tại J.

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đờng thẳng JC’ cắt SA tại A’ Điểm A’chính là giao của

đờng thẳng SA với mặt phẳng (B’C’D’) mà ta phải tìm.

3) Lấy I=B’C’∩A’C’ ta có I chính là giao của đờng thẳng B’C’ với mặt phẳng

(SAC) mà ta phải tìm.

4) Thấy rằng S, I, O là những điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên

chúng thẳng hàng (đpcm)

5) Ta có αβ=(ABCD)∩(B’C’D’), AD’=(SAD)∩(B’C’D’),

AD=(B’C’D’)∩(ABCD) Đờng thẳng (∆) cắt đờng thẳng BC, mà BC//AD nên (∆) cắt đờng thẳng AD Bởi thế theo lời bình sau Thí dụ 1 thì αβ, AD và B’C’ đồng

quy (đpcm)

Thí dụ 6

Cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ADB, ABC Chứng minh các đờng thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy.

Lời giải

Gọi I là trung điểm CD Nối IB, IA⇒IB, IA theo thứ tự là các trung tuyến của tam

giác BCD và ACD (h.24)

Bởi thế A’ là trọng tâm ∆BCD ⇔A’∈IB và IA IB' =31 (1) Tơng tự B’ là trọng tâm ∆ACD ⇔B’∈IA và

3

1 '

=

IA

IB

(2)

Từ (1), (2) suy ra A’B’//BA

• Bởi vậy, gọi G=AA’∩BB’ ta có

3

1 ' ' ' '

' = = = =

IB

IA BA

B A GA

GA

GB

GB

(3)

• Tơng tự, gọi G1= AA’∩DD’ ta

A

B

A’

B’

G

D

•



có cũng có

3

1 ' '

1

1 1

A G

A G D G

D G

(4)

Từ (3), (4) suy ra G1≡G hay DD’

cũng đi qua G

Tơng tự ta cũng có CC’ cũng đi

qua G hay các đờng thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ đồng quy (đpcm)

Chú ý : Điểm G nói trên đợc gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.Đờng thẳng nối

mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện gọi là đờng trọng tuyến của tứ diện Thí

dụ trên cho thấy: các đờng trọng trong một tứ diện tuyến đồng quy tại một điểm

Bài toán 3 Dựng thiết diện−Phơng pháp giao tuyến gốc

Trong Hình 23 ở trên, tứ giác A’B’C’D’ đợc gọi là thiết diện của hình chóp SABCD

tạo bởi mặt phẳng (B’C’D’)

Trong Hình 24 ở trên, tam giác ABI đợc gọi là thiết diện của tứ diện ABCD tạo bởi

mặt phẳng (ABI).

• Tập hợp các giao điểm của các cạnh của một hình không gian (H) với mặt phẳng

(P) lập thành các đỉnh của một đa giác Đa giác tạo thành nh thế gọi là thiết diện

(hay còn gọi là mặt cắt) của hình không gian (H) tạo bởi mặt phẳng (P)

• Bài toán dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhng không phải trình bày chứng minh

Thí dụ 7 Cho tứ diện ABCD và các điểm M∈AB, N∈Acsao cho không có điểm

nào trùng với các đỉnh của tứ diện và MN không song song với BC Gọi K là một

điểm thuộc miền trong của tam giácBCD Dựng thiết diện của tứ diện tạo bởi mặt

phẳng (MNK).

Lời giải

A

C

T

M

N

E

F K

•



•

− Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đờng thẳng

MN cắt BC tại T (do MN không song

song với BC nên luôn có điểm T) (h.25)

− Trong mặt phẳng (BCD) kẻ đờng thẳng

TK cắt CD tại E, cắt BD tại F.

− Nối M− N− E− F− M

Thiết diện là tứ giác MNEF.

Lời bình

• Bài toán dựng thiết diện thực chất là

bài toán xác định giao tuyến của của mặt

cắt với các mặt của hình (H), trong đó

mấu chốt là xác định giao điểm của các

cạnh với mặt phẳng (P).

Để xác định giao tuyến của hai mặt

phẳng cần phải biết hai điểm Trong Thí

dụ trên, bài toán đã cho giao tuyến của

mặt phẳng (MNK) với mặt (ABC) của tứ

mới biết một điểm Để xác giao tuyến với các mặt ấy, trong mỗi mặt ta cần phải tìm một điểm thứ hai khác nữa Điểm T−điểm thứ hai của giao tuyến với (BCD)

đ-ợc tìm thấy nhờ sự khai thông T=MN∩BC Rõ ràng T là một “nút điểm” để giải

bài toán và đờng thẳng MN là sứ giả khai thông bí mật ấy Bởi thế nên đờng thẳng

MN đợc gọi là giao tuyến gốc.

• Phát triển từ giao tuyến gốc, chúng ta tìm đợc các giao tuyến còn lại của thiết diện Cách dựng thiết diện nh vậy gọi là “phơng pháp giao tuyến gốc”

• Trong Thí dụ trên, giao tuyến gốc đã cho lộ thiên Trong nhiều bài bài toán khác không có sự “may mắn” ấy.Trong trờng hợp đó, ta phải làm xuất hiện giao tuyến

gốc Các bạn theo dõi tiếp thí dụ dới đây

Thí dụ 8

Cho hành chóp SABCD Gọi N là một điểm thuộc cạnh BC (I≠B, I≠C) và K,

L theo thứ tự là các điểm thuộc miền trong của các mặt bên SAB, SCD Dựng

thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (NKL).

Lời giải

− Trong mặt phẳng (SAB) kẻ đờng thẳng SK cắt AB tại K’.

− Trong mặt phẳng (SCD) kẻ đờng thẳng SL cắt CD tại L’.

− Trong mặt phẳng (SKL) kẻ các đờng thẳng KL, K’L’ và lấy T1=KL∩K’L’

− Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đờng thẳng T1N cắt CD tại M, cắt AB tại T2

− Trong mặt phẳng (SAB) kẻ

đờng thẳng T2K cắt SB tại X,

cắt SA tại Y.

− Trong mặt phẳng (SCD) kẻ

đờng thẳng ML cắt SD tại Z.

− Nối M−N−X−Y−Z−M

Thiết diện là ngũ giác MNXYZ.

Lời bình 1

− ý nghĩa của kẻ các đờng thẳng

SK, SL là tạo ra một mặt phẳng

phụ (α) bất kì miễn rằng nó chứa

hai trong ba điểm đã cho (điểm K và L) và (α) có cắt mặt phẳng chứa điểm còn lại (điểm I) Bạn nhớ điều này để vận dụng khi gặp các hình khác.

− Trong mặt phẳng (α), ta dễ dàng tìm đợc “nút điểm” T1, từ đó khai thông các giao tuyến còn lại

− Bằng mặt phẳng phụ (α), ta đã cắt hình chóp SABC thành hai hình Mỗi hình

mới tạo ra đều đã “lộ thiên” giao tuyến gốc (đờng thẳng KL) Đó là điều cắt nghĩa

bản chất của việc dựng mặt phẳng phụ



T1

Hình 26

A

B

C D S

L’

L K

K’

T2

M N

X

Y

Z

•

•

•





α

Để suôn sẻ, lời giải trên cố lãng quên rằng “nút điểm” T1 có thể không tồn tại Nếu

sự thật này xảy ra, cách dựng trên bị đỗ vỡ, ta có tìm đợc thiết diện không?

Xét ba mặt phẳng (ABCD), (KMN) và (α) Ta có (α)∩(KMN)=SK,

(α)∩(ABCD)=S’K’ Gọi Nt là giao tuyến của (α) và (ABCD) Nếu Nt cắt S’K’ tại

U, theo lời bình sau Thí dụ 1 trang 20, ta suy ra SK, S’K’ và Nt đồng quy tại U⇒

SK cắt (ABCD) tại U Điều này mâu thuẫn với “nút điểm” T1 không tồn tại Vậy

Nt//S’K’ Bởi thế, trong lời giải của bài toán, thay vì kẻ đờng thẳng T1N, ta kẻ đờng

thẳng Nt//S’K’ cắt CD tại M, cắt AB tại T2 Các bớc tiếp theo của lời giải vẫn nh trên

Bài tập Bài 1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

1) Hai mặt phẳng có một điểm chung duy nhất

2) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đờng thẳng

3) Ba đờng thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng

4) Có đúng hai mặt phẳng cắt nhau theo một đờng thẳng cho trớc

Bài 2 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

1) Hai mặt phẳng cùng chứa hai cạnh của một tam giác thì trùng nhau

2) Mặt phẳng là hình bình hành

3) Hai đờng thẳng nằm trong hai mặt phẳng phân biệt chỉ có thể cắt nhau tại một

điểm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ấy

4) Có hai mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt

Bài 3 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F là trung điểm các cạnh AC, AD và G là trọng

tâm tam giác BCD

1) Xác định giao điểm của đờng thẳng EF với mặt phẳng (ABG).

2) Xác định giao điểm của đờng thẳng AG với mặt phẳng (BEF).

3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABG) và (BEF).

Bài 4 Cho hình chóp SABCD Gọi O là giao điểm của AC và BD I là một điểm

trên SO.

1) Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (ABI)

2) Xác định giao điểm của mặt phẳng đờng thẳng CD với mặt phẳng (ABI).

Bài 5 Cho mặt phẳng (P), điểm I∈(P) Gọi a, b là hai đờng thẳng thuộc mặt

phẳng (P) và cắt nhau tại điểm O, C là đờng thẳng cắt mặt phẳng (P) tại điểm I

(I≠O) Gọi M là một điểm trên đờng thẳng c Chứng minh khi M thay đổi, giao

tuyến của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b) nằm trong một mặt phẳng cố định

Bài 6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P

theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AD và SC Xác định Thiết diện của hình

chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).

Bài 7 Cho hai hình thang ABCD và BBEF có chung đáy lớn AB và không cùng

nằm trong một mặt phẳng

1) Xác định giao tuyến của từng cặp mặt phẳng sau đây:

(AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)

2) Lấy một điểm M trên đoạn DF Xác định giao điểm của đờng thẳng AM với mặt

phẳng (BCE)

3) Chứng minh hai đờng thẳng AC và BF là hai đờng thẳng không cắt nhau.