Quan hệ vuông góc trong không gian

Nội dung tài liệu là phần vuông góc, bắt đầu từ phần vector, với đầy đủ lí thuyết và các ví dụ cụ thể, được tác giả giải chi tiết. Phần I là phần vecto, phần II là phần chứng minh các quan hệ vuông góc và bài tập tổng hợp

+ Với mọi điểm M ta có MA MB


+


+MC



=3MG

• Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k khi MA


=k MB




khi đó với mọi điểm

O bất kỳ ta luôn có:

1

OA kOB OM

⊻ Các quy tắc trong hình không gian

Các quy tắc trong hình phẳng thì cũng đúng trong hình không gian Ngoài ra ta cần

nắm thêm các tính chất sau:

Hoặc tồn tại 3 số , ,m n p sao cho ma
+nb
+ pc
=0

• Bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng khi tồn tại các số ,m n sao cho


AB=m AC


+n AD




đồng phẳng

Tức là a=mb nc+ 

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẰNG VÉC TƠ:

+ Chọn một hệ véc tơ cơ sở gồm 3 véc tơ: , ,a b c

không đồng phẳng;

+ Biểu diễn các véc tơ thông qua , ,a b c

+ Dựa vào các tính chất véc tơ để tìm điều kiện, hoặc tính toán các kết quả

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD M, và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

A

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCDA B C D' ' ' '; các điểm ,M N lần lượt thuộc các đường thẳng

CA và DC' sao cho MC



=mMA ND


,


=mNC



'

m k m m k m m k m

Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCA B C' ' ' Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB' và A C' '

Điểm K thuộc B C' ' sao cho KC



'= −2KB



'

Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A I J K cùng thuộc một mặt phẳng

Chú ý: Có thể chứng minh các điểm , , ,A I J K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng

minh AI và JK cắt nhau tại M

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Một mặt phẳng ( )P bất kỳ

không qua S, cắt các cạnh SA SB SC SD, , , lần lượt tại các điểm A B C D1, 1, 1, 1 Chứng minh

Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCDA B C D' ' ' ' Gọi M và N lần lượt là các điểm

thuộc AD' và DB sao cho MA


=k MD ND



';


=k NB k


( ≠0,k≠1)

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A BC' )

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A C' , chứng tỏ rằng MN vuông

A'

B'

C' D'

M

N

chéo nhau; ' ,A C BD chéo nhau mà M∈AD N', ∈DB

Do đó đường thẳng MN song song với đường thẳng A C' khi và chỉ khi MN



=m A C



' 

, tức là:

Điều này khẳng định MN vuông góc với AD' và DB

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm , , ,M N P Q lần lượt thuộc AB BC CD DA, , , sao

Nếu có k các điểm , , ,M N P Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo

giao tuyến PQ nên PQ/ /AC

Q

x y y

A'

D C

B

A

Vì M thuộc đường thẳng AA' nên



AM=k AA


'=kc

N là điểm thuộc đường thẳng BC nên BN


=la

P là điểm thuộc đường thẳng C D' ' nên C P



' =mb

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với CB

b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho

A

I

Vậy góc giứa hai đường thẳng MN và BC bằng góc giữa hai đường thẳng AD và BC

Theo câu a thì AD vuông góc với BC, nên góc giữa MN và BC bằng 0

Ví dụ 9: Cho M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB A D, 1 1 của hình hộp

1 1 1 1

a) Xác định giao điểm P và Q của mp(CMN) với các đường thẳng B C1 1 và DB1

b) Hãy biểu thị các véc tơ AP AQ,






qua các véc tơ , ,a b c

trong đó b
=AB c
,
=AD a
,
=AA
1

Lời giải:

a)Đặt AA
1=a AB
,
=b AD
,
=c

P là giao điểm của mp(CMN) với đường thẳng B C1 1 khi

và chỉ khi , , ,C M N P thuộc một mặt phẳng và P thuộc đường thẳng B C1 1

Ta có các điểm , , ,M N C P thuộc một mặt phẳng nên tồn tại các số , ,x y z sao cho

A1

D C

B

A

12

2

y x z y

22

1

y x z

Ví dụ 10: Cho lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ' Lấy các điểm A B C1, 1, 1 lần lượt thuộc các

cạnh bên AA BB CC', ', ' sao cho 1 1 1 3

AA = BB =CC = Trên các đoạn thẳng CA1 và A B' 1lần lượt lấy các điểm ,I J sao cho IJ / / 'B C1 Tính tỉ số

C B

A

J

I

MN cắt PQ nên các điểm , , , M N P Q cùng thuộc một mặt phẳng điều này tương đương

với các số ,x y sao cho MP xMN yMQ


=



+

B

C

D M

N

Lời giải:

Cách 1: Đặt DA


=a DB,


=b DC,


=c

thì , ,a b c

   không đồng phẳng các điểm A B C D1, 1, 1, 1cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi các số ,m n để



D B1 1=mD A



1 1+nD C



1 1

Dấu hiệu nhận biết đường cao khối chóp:

- Dấu hiệu 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao

- Dấu hiệu 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là

đường vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên và đáy

- Dấu hiệu 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao

chính là giao tuyến của 2 mặt kề nhau đó

- Dấu hiệu 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo

với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp

đáy

- Dấu hiệu 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân

đường cao chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy

Sử dụng các giả thiết mở:

- Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc α thì

chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác trong góc BAC

- Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB SC, cùng tạo với đáy một góc α thì chân

đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC

Việc nhận biết đường cao một khối chóp chính là chìa khóa quan trọng nhất để giải

quyết các bài toán trong quan hệ vuông góc:

Các dấu hiệu 1,2,3 là những tính chất quen thuộc trong hình không gian

Đối với các dấu hiệu 4, 5: Ta có thể chứng minh nó như sau:

Dấu hiệu 4: Xét khối chóp SA A A A1 2 3 n có SA SA1, 2, ,SA n tạo với đáy các góc bằng nhau

hoặc SA1 =SA2 = = SA n

• Ta hạ SH ⊥(A A A1 2 n)⇒∆vSHA1= ∆vSHA2 = = ∆ vSHA n ⇒HA1=HA2 = = HA n

Điều đó chứng tỏ H là tâm vòng tròn ngoại tiếp đa giác A A A1 2 n

Dấu hiệu 5: Xét khối chóp SA A A A1 2 3 n có (SA A1 2),(SA A2 3), ,(SA n−1A n) (, SA A n 1)

• Ta hạ SH ⊥(A A A1 2 n), sau đó từ H dựng HM HM1, 2, ,HM n lần lượt vuông góc với

Khi đó các tam giác ∆vSHM1 = ∆vSHM2 = = ∆ vSHM n ⇒HM1=HM2 = = HM n

Điều đó chứng tỏ H là tâm vòng tròn nội tiếp đáy A A A1 2 n

Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

1) Để chứng minh hai đường thẳng ,a b vuông góc với nhau ta có thể dùng các cách:

- Chứng minh góc tạo bởi 2 đường thẳng ,a b bằng 0

90

- Chứng minh a⊥( )P trong đó ( )P chứa đường thẳng b

- Dùng phương pháp véc tơ để chứng minh m n
.=0

trong đó các véc tơ ,m n



có giá cùng phương với đường thẳng ,a b

- Dựa vào các dấu hiệu nhận biết đường cao khối chóp

3) Để chứng minh hai mặt phẳng ( ),( )P Q vuông góc với nhau ta có thể chọn các

a) Đặt OA=OB=OC=a, ta có tam giác BOA đều nên AB=a Tam giác OBC vuông

cân tại O nên BC =a 2

Áp dụng định lý hàm số cô-sin trong tam giác AOC ta có:

M

C

B A

O

AC = AB +BC Do đó tam giác ABC vuông tại B

b) Gọi M là trung điểm của AC Ta có OM ⊥AC (1)

Từ (1) và (2) suy ra OM ⊥(ABC) do đó (OAC) (⊥ ABC)

Trong ví dụ này chắc các em học sinh sẽ đặt ra câu hỏi tại sao ta biết gọi điểm M là

trung điểm của AC

Thực ra ta đã dựa vào dấu hiệu 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh

bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại

tiếp đáy

Vì vậy khi đã chứng minh được tam giác ABC vuông tại M ta có thể chứng minh

(OAC)⊥(ABC) theo cách:

• Hạ OM ⊥(ABC) thể thì ∆OMA= ∆OMB= ∆OMC⇒MA=MB=MC Nói các khác M

là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do tam giác ABC vuông tại B nên M là trung điểm của AC từ đo suy ra

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B

Vậy BC⊥SB mà BC⊥AB nên BC⊥(SAB)

Ta thấy rằng SH ⊥AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB)⊥(ABCD) Như vậy ta cần

chứng minh SH ⊥(ABCD)⇔ SH ⊥HC Nhưng công việc này hoàn toàn đơn giản vì ta

A

D

C B

S

C

B A

S

a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI ⊥BC'

b) Gọi M là trung điểm của BB' Chứng minh AM ⊥BC'

c) Lấy N thuộc ' 'A B sao cho '

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, ⊥(ABCD) và SA=a

Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của AB và SC Chứng minh IS =IC=ID và suy ra

Dựa vào dấu hiệu 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo

với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy

Ta dễ dàng chứng minh được hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng ( SCD) chính

là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SCD

Mặt khác tam giác SCD vuông tại D nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SCD là trung

điểm K của SC suy ra IK⊥(SDC)

N H

I

J A'

B'

C'

Ví dụ 6) Trong mặt phẳng ( ) α cho hình vuông ABCD Các tia Bx và Dy vuông góc

với mặt phẳng ( ) α và cùng chiều Các điểm M và N lần lượt thay đổi trên Bx , Dy sao

cho hai mặt phẳng (MAC) và (NAC) vuông góc với nhau Chứng minh rằng:

K

I S

O

Ví dụ 7) Cho hình chóp đều SABC, đáy có cạnh bằng a Các điểm ,M N lần lượt là

trung điểm của SA SC, Biết rằng BM vuông góc với AN Tính chiều cao của hình chóp

Lời giải:

Gọi SO là đường cao của hình chóp Gọi X đối xứng với C qua ,A Y đối xứng với A

qua B Khi đó SX / /AN SY, / /BM Mặt khác BM ⊥ AN nên
0

FGA= Hay ∆FGA vuông cân ở G Từ đó thu được kết quả như trên

Ví dụ 8) Cho tam giác nhọn ABC và đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với mp

(ABC) Các điểm M và N lần lượt thay đổi trên ∆ sao cho (MBC) vuông góc với

(NBC) Tìm vị trí của ,M N sao cho

a) Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất

b) Diện tích toàn phần tứ diện MNBC nhỏ nhất

Lời giải:

O Y

X

N M S

C B

A

G F

E

Dấu bằng khi và chỉ khi AM = AN =AH

Vậy MN nhỏ nhất khi M và N đối xứng với nhau qua A và AM = AN =AH

b) Kí hiệu diện tích toàn phần tứ diện MNBC là S tp

A M

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AM =AN =AH Vậy diện tích toàn phần của tứ

diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất khi M và N đối xứng với nhau qua A và

AM = AN =AH

Vấn đề 2: Xác định thiết diện khi cắt bởi một mặt phẳng cho trước

Để giải quyết tốt dạng toán này học sinh cần lưu ý:

1• Khi cắt hình chóp, lăng trụ bởi mặt phẳng ( )P qua một điểm M vuông góc với

đường thẳng a

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với a tại điểm N

+ Tìm trong hình chóp , lăng trụ một đường thẳng ∆ khác MN sao cho ∆ ⊥a.Thông

thường việc tìm ∆ khá đơn giản, ta chỉ cần dựa vào các dấu hiệu nhận biết đường cao,

hoặc dựa vào quan hệ vuông góc cơ bản để phát hiện ∆

+ Mặt phẳng ( )P cần tìm chứa đường thẳng MN và đường thẳng ∆ hoặc đường thẳng

+ Nếu hình S' là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( )P Đồng thời góc tạo bởi

hai mặt phẳng chứa , 'S S là ϕ thì 'S =Scosϕ

+ Để tính diện tích thiết diện ta cần nhớ:

Ví dụ 1 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, có SA=a 2 và SA

vuông góc với (ABCD), mp( ) α qua A và vuông góc với SC

a) Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mp( ) α

b) Chứng minh thiết diện là tứ giác nội tiếp và có hai đường chéo vuông góc Tính diện

tích của thiết diện

Giải:

a) Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mp( ) α

Trên mp(SAC) kẻ AN ⊥SC tại

Vậy thiết diện của hình chóp tạo bởi mp( ) α là tứ giác AMNP

Chú ý: Trong bài toán này ta đã phát hiện ra BD⊥(SAC)⇒ BD⊥ AC Từ đó suy ra

mặt phẳng ( )P chứa một đường thẳng song song với BD

b) Chứng minh thiết diện là tứ giác nội tiếp và có hai đường chéo vuông góc Tính diện

tích của thiết diện

Theo giả thiết, ta có:

P N

A S

SO=a mặt phẳng ( )P đi qua B và vuông góc với SD Hãy xác định thiết diện và

tính diện tích của thiết diện của ( )P với hình chóp

SJ = SB −BJ Trong đó

AC⊥ SBD ⇒ AC⊥SD từ đó suy ra ( )P chứa đường thẳng song song với AC

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SO⊥(ABCD)

Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh của đáy và vuông góc với cạnh bên

đối diện có diện tích bằng nửa diện tích đáy Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Giải: Xét mp( )P qua A vuông góc với SC, giả sử ( )P cắt SB SC SD, , lần lượt tại

H K

S

C

a) ( ) α là mặt phẳng chứa SD vuông góc với (SAC) Chứng minh BC vuông góc với

(SAC) và xác định thiết diện của hình chóp bởi ( ) α Tính diện tích thiết diện ấy

b) ( ) β qua trung điểm M của SA và N∈AD AN, =x, vuông góc với (SAD) Xác định

và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp( ) β theo a và x

Giải:

a) Chứng minh BC⊥(SAC) và xác định thiết diện của hình chóp bởi ( ) α

Gọi E là trung điểm của AB⇒EA=EB=EC =a⇒BC⊥ AC∈(SAC)

Mặt khác SA⊥(ABCD)⇒BC⊥SA∈(SAC)

Nên BC⊥(SAC)

Theo giả thiết

( ) ( α ⊥ SAC) ( )⇒ α / /BC∈(ABCD) ( ) (⇒ α ∩ ABCD)=Dx/ /BC⇒E=( ) α ∩AB

Do đó thiết diện giữa hình chóp và mặt phẳng ( ) α là ∆SDE

Suy ra thiết diện của hình chóp với mp( ) β là hình thang MNPQ

Mặt khác NP/ /MQ/ /AB⊥(SAD)⇒NP⊥MN , nên MNPQ là hình thang vuông

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC có đáy là ∆ABC đều cạnh a I là trung điểm của BC SA,

vuông góc với (ABC)

a) Chứng minh ( ) (SAI ⊥ SBC)

b) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AC AB, BE CF, lần lượt là đường cao của

SBC

∆ Chứng minh (MBE) (⊥ SAC) và (NFC) (⊥ SBC)

c) Gọi ,H O lần lượt là trực tâm của ∆SBC và ∆ABC Chứng minh OH ⊥(SBC)

d) Cho ( ) α qua A và song song với BC và ( ) ( α ⊥ SBC) Tính diện tích của thiết diện

SABC bởi ( ) α khi SA=2a

O

E M

Q

B

C D

A S

e) Chứng minh AK AS không đổi Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất

f) Khi SA=a 3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), (SAC) và (SBC)

K

J

B'

M F

E C'

C

B A

S

4

a a

19192

a a a

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCDA B C D' ' ' ' cạnh a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ;

đặt AI =x, 0( < <x a)

Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B DI' )

Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất

Giải:

C

B A

a) Gọi CH là đường cao của tam giác vuông ACB Do BB'⊥(ABC) nên CH ⊥AB'

Trong mp(ABB A' ') kẻ đường thẳng Hx vuông góc với AB' thì mp(CHx) là mp( )P

K

Vậy thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp( )P là tam giác CHK

Vì CH ⊥ AB, mp ABC( )⊥mp ABB A( ' ') nên CH ⊥(ABB A' '), từ đó tam giác CHK vuông

C'

C

Chú ý: Ở bài toán trên nếu không giả thiết ABB A' ' là hình vuông mà cho cạnh bên lăng

trụ bằng c thì giao điểm của Hx với tia AA' có thể nằm trongAA' hay ngoài đoạn AA'

Thiết diện có thể là tam giác vuông hoặc hình thang vuông Các em tự vẽ hình và giải

bài tập trong trường hợp này

Một bài toán tương tự:

Ví dụ 8) Cho hình lăng trụ đứng ABCA B C' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB=c BC=a AA =h trong đó 2 2 2

h >a +c Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua điểm A và

vuông góc với CA'.Xác định và tính diện tích thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt

phẳng ( )P

• Dựng thiết diện:

Qua A kẻ đường thẳng AM vuông góc với A C' cắt CC' tại M thì ( M∈CC′)

(Ta có tanMAC
cot
A CA a2 b2 1 MC AC tanMAC
AC CC M CC

C'

B' A'

Ta suy ra mặt phẳng ( )P phải chứa một đường thẳng song song với BH

Từ đó suy ra cách dựng thiết diện như sau:

Qua H dựng HH′/ /CC′ cắt AM tại E Từ E kẻ đường thẳng song song với BH cắt

BB′ tại F thì thiết diện cần tìm là tam giác AMF

Ngoài ra ta cũng có thể tìm điểm F theo một cách khác như sau:

Giả sử ta đã dựng được thiết diện là tam giác AMF khi đó do

Mặt khác ta có BC⊥(ABB A′ ′)⇒BC ⊥AF⇒ AF⊥(A BC′ )⇒ AF ⊥A B′

Như vậy bằng cách kẻ đường thẳng qua A vuông góc với A B′ cắt BB′ tại F ta thu

được thiết diện là (AMF)

•Để tính diện tích thiết diện ta có thể làm theo các cách sau:

Kéo dài FM cắt BC tại D Dựa vào tính chất hai mặt phẳng ( AFM) và (ABC) chứa hai

đường thẳng song song BH và EF nên giao tuyến của nó là AD cũng song song với

BH

Suy ra DA⊥(ACC A′ ′)⇒DA⊥AM kết hợp DA⊥ AC ta thấy góc tạo bởi 2 mặt phẳng

(AMF), (ABC) là
MAC