CÔNG THỨC TOÁN lớp 12 FULL

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM I... THẦY LẬP KÊNH NÀY NHẰM HỖ TRỢ THI THPT QG, CÁC EM ĐĂNG KÝ ỦNG HỘ THẦY NHA!. https://www.youtube.com/channel/UC3CWQmShn7s9zUYOAioDH8Q?sub_confirmation=1.

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

I Đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương:

1) (u v ) u v 2) (u v ) u v

3) ( )u v u v uv   4) u u v uv2

  

 

 

II Các công thức đạo hàm:

Hàm cơ bản Hàm hợp

1) ( )C = 0 1) Không có

2) ( )x = 1 2) Không có

3) (x)=x 1

3) (u)u1.u 4) (kx)= k 4) (ku)= k.u

2

x

x

  5) ( )

2



  u

u

u



   

 



 

 

7) (sin )x  cosx 7) (sin )u u.cosu

8) (cos )x   sinx 8) (cos )u u( sin ) u

9) (tan ) 12

cos

x

x

  9) (tan ) 2

cos

u u

u



 

sin

cotx

x

   10)(cot ) 2

sin

u u

u



   11) ( )e x  e x 11) ( )e u u e u

12) (a x) a xlna 12) (a u)u a ulna

13) (ln x) 1

x

  13) (lnu) u

u



 

14) (log ) 1

ln

a x

  14) (log )

ln

a

u u



 

15) (log ) 1

ln10

x

x

  15) (log )

ln10

u u

u



 

16) y 3 x x 13    23 

3 2

x

17) y n x m x m n  y  m.x m n1

n

18) y n u m u m n ym.u m n1.u

n

a b

c d

b)

2

y

dx e





2

2

y

dx e



c) 2

(sin x) 2sin cosx xsin 2x

(cos x)  2sin cosx x sin 2x

(ln x)2 ln (ln )x x  x

x

Lưu ý: a) y(bieán bieán).( )  y( )u v 

b) y bieán

bieán 



 

   

 

u y

v c) 

soá y bieán 



 

   

 

k y v

d) y bieán



 (bieán)

y soá

III Lũy thừa:

1) a0 1 2) n  1

n a

a 3)



 



 

 

1 n a n

4)



   

   

   

1

n n

a a 6) a m n n a m

7) a m n a a 8) m n m n  m. n  m. 1

n

a

IV Lôgarit:

1) a b b( 0,0 a 1)loga b 2) log ( ) loga xy  a xloga y

3) loga x loga x loga y

4) aloga b b 5) loga a  6) log 1 log

a

a b b



 7) loga b loga b 8) log 1 log

b   9) log

n m a

m a n

10) log n m log

m

n

 11) loga b loga b



 12) loga b

 



 13) log log

logc

a

c

b b

a



log

a

b

b

a

 15) log loga c c bloga b

Chú ý: 1) log 1 0a  2) loga a1 3) ln1 0 4) lne1 5) log1 0 6) log10 1

CÁC PHƯƠNG GIẢI TOÁN

A Tìm tập xác định

1) Hàm số lũy thừa: y x  (y u ) a) Nếu  nguyên dương TXĐ: D¡ b) Nếu  nguyên âm hoặc 0 ĐK: x0 (hoặc u0)

TXĐ: D¡ \ x0 , với x0 là nghiệm của ĐK c) Nếu  không nguyên

ĐK: x0 (hoặc u0) TXĐ: D( ; )a b

Chú ý: 1) Nếu là BPT bậc nhất ax b 0

0

b

a b

a









THẦY LẬP KÊNH NÀY NHẰM HỖ TRỢ THI THPT QG, CÁC EM ĐĂNG KÝ ỦNG

HỘ THẦY NHA!

https://www.youtube.com/channel/UC3CWQmShn7s9zUYOAioDH8Q?sub_confirmation=1

* Nếu x a TXĐ: D( ;a )

* Nếu x b TXĐ: D ( ; )b

2) Nếu BPT là bậc hai ax2bx c 0

Dùng MTBT: Mode // 1/1/1

* Nếu x a b x ,  TXĐ: D ( ; ) ( ;a  b )

* Nếu a x b  TXĐ: D( ; )a b

* Nếu MTBT hiện: All Real Numbers

TXĐ: D¡

2) Hàm số lôgarit: yloga x (hoặc yloga u)

ĐK: x0 (hoặc u0)

Suy ra: TXĐ (như hàm số lũy thừa ở mục c.2)

* Đặc biệt: y loga ax b

cx d







a) Cách 1: (ax b cx d )(  )mx2nx p 0

(thực hiện như mục c.2)

b) Cách 2: * ax b   0 x x1

* cx d   0 x x2 (giả sử x1 x2)

b.1) Nếu a và c trái dấu TXĐ: D( ; )x x1 2

b.2) Nếu a và c cùng dấu

TXĐ: D ( ; ) ( ;x1  x2 )

B Giải phương trình

I) Phương trình mũ: a x b (*)

1) Nếu b0: (*) Vô nghiệm

2) Nếu b0: x log

a

Mở rộng: f x( ) ( ) log

a

3) Đưa về cùng cơ số: a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

4) Đặt ẩn phụ: ma2xna x p 0





log log

a a

 





 ( ,k l0) (Nếu k0 hoặc l0 thì loại)

Chú ý: a) ma2xna x p 0 (1)

Đặt t a x 0, (1)  mt2  nt p 0

+ Đề (1) có 2 n phân biệt 0 

0 ( 0) 0

0

n S m p P m



   



   





  



+ Để (1) có n0 duy nhất 

0 ( 0) 0

0

n S m p P m

   





   





  



b) PT có dạng ma xnb xpc x 0 (2)

(chia 2 vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

Ví dụ: Cơ số a lớn nhất, ta có: (2)

0

0

  

x x

la ka h

II) Phương trình lôgarit:

log    b

a x b x a và x0

Mở rộng: log ( )  ( ) b

a f x b f x a và f x( )0 1) Đưa về cùng cơ số:

loga f x( )loga g x( ) f x( )g x( ) và ( ) 0

( ) 0







f x

g x

2) Đặt ẩn phụ: 2

loga  loga  0

2

log log







a a

2

 







b b

x a

x a và x0

Chú ý: PT mlog2a x n loga x p 0có nghiệm

0 ( 0)





   



a

C Giải bất phương trình

I) Bất phương trình mũ: x 

a b (*) 1) Nếu b0: (*) có tập nghiệm T ¡ 2) Nếu b0:

a) Với a1: (*)  xloga b

b) Với 0 a 1: (*) xloga b

Chú ý: x

a b (*) 1) Nếu b0: (*) có tập nghiệm T   2) Nếu b0:

a) Với a1: (*)  xloga b

b) Với 0 a 1: (*) xloga b

3) Đưa về cùng cơ số: f x( ) g x( )

a) Nếu a1: (**)  f x( )g x ( ) b) Nếu 0 a 1: (**) f x( )g x ( ) 4) Đặt ẩn phụ: 2

0

x x

ma na p (sử dụng MTBT: Mode//1/1/? )

Chỗ nào có nghiệm âm loại

II) Bất phương trình lôgarit: log a xb (*) a) Nếu a1: (*)  b

xa và x0 b) Nếu 0 a 1: (*) b

xa và x0 1) Đưa về cùng cơ số: loga f x( )loga g x( ) (**) a) Nếu a1: (**)  f x( )g x( ) và ( ) 0

( ) 0

f x

g x





b) Nếu 0 a 1: (**) f x( )g x( )và ( ) 0

( ) 0

f x

g x







2) Đặt ẩn phụ: 2

loga loga 0

m x n x p

(sử dụng MTBT: Mode//1/1/? )

Lưu ý: Chỗ nào nghiệm âm không loại

HÌNH HỌC

1) Thể tích khối lăng trụ: V S h  đáy

2) Thể tích khối chĩp: 1

3 đáy

Chú ý: 1) Tam giác đều: a) ( ) 32

4

cạnh

b) Đường cao tam giác đều bằng ( ) 3

2

cạnh

2

S tích cạnh góc vuông

3) Tam giác vuơng cân: 1 ( )2

2

* Cạnh huyền = (cạnh gĩc vuơng) 2

4) Hình chữ nhật: S dài rộng 

5) Hình vuơng: S(cạnh)2

* Đường chéo hình vuơng d = (cạnh) 2

2

2

đáy lớn đáy nhỏ h

(với h là chiều cao của hình thang)

3) Tỉ số thể tích của khối chĩp:

a) S A B C

S ABC

.

     

b) S MBC

S ABC

.

V  SA SB SC  SA

4) Diện tích xq của hình nĩn:

* S xq rl ( r bán kính; l đường sinh)

tp xq đáy

5) Thể tích của khối nĩn:



1 2

3

V r h ( hchiều cao của khối nĩn)

6) Diện tích xq của hình trụ:

* S xq 2rl (r bán kính; l đường sinh)

* S tp S xq2S đáy 2rl2r2

7) Thể tích của khối trụ:



V r h ( hchiều cao của khối nĩn)

8) Diện tích của mặt cầu: 2

4

S r

9) Thể tích của khối cầu: 4 3

3

V  r

PHƯƠNG PHÁP TÌM THỂ TÍCH

1) Thể tích khối lập phương: V (cạnh)3

2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c

(với a,b,c là 3 kích thước hình hộp)

3) Thể tích khối tứ diện:

3

12

cạnh

4) Thể tích khối chĩp tam giác đều

a) Cĩ chiều cao h: 1 (. ) 32 .

cạnh

b) Cĩ cạnh bên b:

2 2

2

c) Gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng 

2

1 (. ) 3 (. ) 3.tan

cạnh cạnh

d) Gĩc giữa mặt bên và đáy bằng 

2

1 (. ) 3 (. ) 3.tan

cạnh cạnh

5) Thể tích khối chĩp tứ giác đều

a) Cĩ chiều cao h: 1 ( ) 2

3

b) Cĩ cạnh bên b:

2

2 2

cạnh

V cạnh b

c) Gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng 



cạnh

d) Gĩc giữa mặt bên và đáy bằng 



cạnh

6) Thể tích khối chĩp tam giác cĩ đáy là tam giác đều và cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

a) Gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng 

2

1 (. ) 3.( ).tan

cạnh

b) Gĩc giữa mặt bên và đáy bằng 



1 (. ) 3 (2 . ) 3.tan

cạnh cạnh V

6) Thể tích khối chĩp tứ giác cĩ đáy là hình vuơng và cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

a) Gĩc giữa cạnh bên SB(SD) và đáy bằng 

2

3

C'

B' A'

C

B A

S

M

C

B A

S

b) Gĩc giữa cạnh bên SC và đáy bằng  SCA ·

2

3

c) Gĩc giữa (SBC), ((SCD)) và đáy bằng 

2

3

7) Thể tích khối chĩp tam giác cĩ đáy là tam giác

vuơng và cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

V  .S .SA .( AB.BC ).SA

a) Gĩc giữa cạnh bên SB và đáy bằng  SBA·

1

3 ABC

V  .S .AB.tan b) Gĩc giữa cạnh bên SC và đáy bằng  SCA ·

1

3 ABC

V  .S .AC.tan c) Gĩc giữa mặt bên ( SBC )và đáy bằng  SBA·

1

3 ABC

V  .S .AB.tan

8) Thể tích khối lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác

đều

a) Gĩc giữa cạnh A B và đáy bằng  ·A BA 



( ) 3 (2 ).tan

4

cạnh

b) Gĩc gữa mặt ( A BC ) và đáy bằng  ·A MA



V

9) Thể tích khối lăng trụ đứng cĩ đáy là tam giác

vuơng

1 2

ABC

V S .AA( AB.BC ).AA

a) Gĩc giữa cạnh A B và đáy bằng  ·A BA 

ABC

V S .AB.tan b) Gĩc gữa mặt ( A BC ) và đáy bằng  ·A BA 

ABC

V S .AB.tan

PHƯƠNG PHÁP TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU

NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP

1) Hình chĩp tam giác đều

* Tính SO + Nếu gĩc giữa cạnh bên SA và đáy là  thì SOOA.tan  2 (. ) 3.tan

cạnh

+ Nếu gĩc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy là  thì SOON.tan1 (. ) 3.tan

cạnh

2) Hình chĩp tứ giác đều

* Tính SO + Nếu gĩc giữa cạnh bên SA và đáy là  thì

SOOA.tan ( ) 2 tan

2

cạnh

+ Nếu gĩc giữa mặt bên ( SAB ) và đáy là  thì

SOOM tan tan

2

cạnh

3) Hình chĩp tam giác cĩ đáy là tam giác vuơng

và cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

4) Hình chĩp tứ giác cĩ đáy là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật) và cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

H

D

C B

A

S

S

C

B A

M

C'

B' A'

C

B A

C'

B' A'

C

B A

I

O M

C

B

S

A

N

2

2

SA r SO

a

O

S

D

C B

A

M

I

2

2

SA r SO

I

A

S

2

SB

r

5) Hình chĩp tam giác cĩ đáy là tam giác đều và

cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy

* SA vuơng gĩc với đáy

*

2 2

3

SA cạnh

r IA      

6) Hình chĩp tam giác cĩ đáy là tam giác đều và

cĩ một mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt

phẳng vuơng gĩc với đáy

cạnh cạnh

r    

7) Hình chĩp tứ giác cĩ đáy là hình vuơng và cĩ

một mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt

phẳng vuơng gĩc với đáy

cạnh cạnh

r    

8) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương

là:

2

ĐƠN ĐIỆU

1) Hàm bậc ba: y ax 3bx2cx d

a) Nếu y 0 vơ nghiệm (hoặc cĩ nghiệm kép)

* Với a0 thì h/s đồng biến trên TXĐ (trên ¡ )

* Với a0thì h/s nghịch biến trên TXĐ (trên ¡ )

b) Nếu y 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1x2

* Với a0thì hàm số nghịch biến trên ( ; )x x1 2 ;

đồng biến trên ( ; ) x1 và ( ;x2 )

* Với a0thì hàm số đồng biến trên ( ; )x x1 2 ;

nghịch biến trên ( ; ) x1 và ( ;x2 )

* Dùng MTBT: d ( ( ))f x

dx x x CALC x trên

từng khoảng của đáp án + Nếu KQ là số dương  Hàm số đồng biến + Nếu KQ là số âm  Hàm số đồng biến

Chú ý: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch

biến) trên ¡

* Tính đạo hàm y * Tính  (hoặc )

* Hàm số đồng biến trên ¡   0 và a0 Hàm số nghịch biến trên ¡   0 và a0

(Dùng MTBT: Mode//1/1/?)

Đặc biệt: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc

nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b

a) Dùng d f x m( ( , ))

dx x x CALC c với a c b 

và CALC m ở từng đáp án (dùng loại trừ)

b) Mode 7: Nhập hàm số f x( ) ? (thay m ở từng đáp án) Start a , End b, Step 0,1; 0,2; 0,3; … Dị bảng ở cột f x( ) * Nếu tăng thì hàm số đồng biến

* Nếu giảm thì hàm số nghịch biến  m (nhận)

2) Hàm trùng phương: y ax 4bx2c

a) Hàm số khơng đồng biến (hoặc nghịch biến)

trên TXĐ (hoặc trên ¡ )

b) Nếu a và b trái dấu thì ycĩ 3 n0 phân biệt

c) Nếu a và b cùng dấu thì ycĩ 1 n0 x0

(Lập BBT xét dấu y)

3) Hàm nhất biến: y ax b

cx d





ad bc y

cx d



 

a) Hàm số khơng đồng biến (hoặc nghịch biến)

trên trên ¡ b) Nếu ad bc 0 thì hàm số đồng biến trên TXĐ (hoặc trên từng khoảng xác định của nĩ) c) Nếu ad bc 0 thì hàm số đồng biến trên TXĐ (hoặc trên từng khoảng xác định của nĩ)

Chú ý: Hàm số cĩ tâm đối xứng I d a;

c c



CỰC TRỊ

1) Hàm bậc ba: y ax 3bx2cx d a) Nếu y 0 vơ nghiệm (hoặc cĩ nghiệm kép)

thì hàm số khơng cĩ điểm cực trị  Số điểm cực trị là 0

b) Nếu y 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt thì hàm số cĩ

2 điểm cực trị  Số điểm cực trị là 2

Phương pháp 1) Tìm điểm cực trị x x 0

2

 SC

r

K

d

M G

I

C

B A

S

I

D

C B

A S

( ( ))

dx x x CALC x0 bằng 0

2) Tìm điểm cực đại x x 0

( ( ))

dx x x CALC x0 0,001 bằng (số > 0)

3) Tìm điểm cực tiểu x x 0

( ( ))

dx x x CALC x0 0,001 bằng (số < 0)

Chú ý: Tìm m để (bậc 3 và trùng phương)

1) Hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x x 0

* Tính y y , * Cho y x( ) 00   m ?

* Thay x0 và m vào y

+ Nếu y 0  x0 là điểm cực đại

+ Nếu y 0  x0 là điểm cực tiểu

+ Nếu y 0  x0 là điểm cực trị

2) Hàm trùng phương: y ax 4bx2c

a) Nếu a và b trái dấu thì hàm số có 3 cực trị

 Số điểm cực trị là 3

b) Nếu a và b cùng dấu thì hàm số có 1 điểm cực

trị  Số điểm cực trị là 1

Chú ý: a) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành 1 tam

giác vuông (hoặc vuông cân)b38a0

b) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành 1 tam giác

đều b324a0

3) Hàm nhất biến: y ax b

cx d





Hàm số không có cực trị

GTLN – GTNN

1) Tìm GTLN và GTNN trên khoảng ( ; )a b ,

( ;b ), ( ; ) a , ( ; )

* Bước 1: Chỉ ra TXĐ

* Bước 2: Tính y, cho y 0 nghiệm x i

* Bước 3: Lập BBT (xét dấu y)

* Bước 4: Kết luận

a) Nếu có duy nhất 1 giá trị cực đại thì giá trị đó là

GTLN của hàm số

b) Nếu có duy nhất 1 giá trị cực tiểu thì giá trị đó

là GTNN của hàm số

2) Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [ ; ] a b

* Bước 1: Chỉ ra TXĐ (nếu chưa cho đoạn)

* Bước 2: Tính y, cho y 0 nghiệm x i

* Bước 3: Tính ( ), ( ), ( ) y a y b y x với i x i[ ; ]a b

* Bước 4: Kết luận

a) Số nào lớn nhất ở bước 3 thì số đó là GTLN

b) Số nào nhỏ nhất ở bước 3 thì số đó là GTNN

Dùng MTBT: Xóa g x : Shift / Mode /( ) / 5 / 1

* Mode / 7: Nhập f x( )= ? Start a ; End b; Step 0,1; 0,2; 0,4; 0,5; 1; … (hoặc Step

19

b a

)

TIỆM CẬN

1) Cách tìm tiệm cận đứng:

* Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu

* Bước 2: Thay nghiệm của mẫu vào tử

+ Nếu tử bằng 0 thì loại nghiệm đó + Nếu tử khác 0 thì nghiệm đó là TCĐ

2) Cách tìm tiệm cận ngang:

Dùng MTBT: Nhập hàm số f x( ) rồi CALC 10 12 trở lên nếu ra 1 số cụ thể thì số đó là TCN, tiếp tục CALC 1012cũng ra 1 số cụ thể khác số ở trên thì

số đó là TCN thứ hai

Chú ý: 1) Đối với hàm nhất biến y ax b

cx d





(có thể khuyết a , b , d )

a) Tiệm cận cận đứng là: x d

c

  b) Tiệm cận ngang là y a

c

c) Số tiệm cận của hàm số này là 2

2) Đối với hàm số dạng y 2ax b





a) Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu nhưng thay vào tử phải khác 0

b) Tiệm cận ngang là y0

3) Đối với hàm số dạng

2 2

y



a) Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu nhưng thay vào tử phải khác 0

b) Tiệm cận ngang là y a

m



4) Đối với hàm số có chứa căn thức bậc hai thì tìm tiệm cận ngang ta dùng MTBT (như trên)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI HÀM SỐ

1) Tìm tọa độ giao điểm (hoặc số giao điểm, số điểm chung của hai đồ thị hàm số)

Chẳng hạn: Cho hai hàm số y f x ( ) và y g x ( )

* Bước 1: Giải phương trình f x( )g x( ) (1)

* Bước 2: + (1) có 1 n0 duy I  Số giao điểm là 1 + (1) có 2 n0 phân biệt  Số giao điểm là 2, …

Lưu ý: Nếu tìm tọa độ giao điểm thì thay n0 của

PT (1) vào y Tọa độ giao điểm là ( ; )x y0 0

2) Tìm m để đường thẳng y h m ( ) cắt đồ thị hàm số y f x ( )

a) Đối với đồ thị hàm số bậc ba

Đường thẳng y h m ( ) cắt đồ thị hàm số tại 3

điểm phân biệt  y CT h m( )y CÑ

hoặc f x( CT) (f x CÑ) 0

b) Đối với đồ thị hàm số trùng phương

Đường thẳng y h m ( ) cắt đồ thị hàm số tại 4

điểm phân biệt  y CT h m( )y CÑ

3) Tìm m để phương trình f x m( , ) 0 có 3

(hoặc 4) nghiệm phân biệt

* Bước 1: Biến đổi f x m( , ) 0  f x( )h m( )

* Bước 2: Tìm giá trị y CT, y CÑ của hàm số f x( )

* Bước 3: Để PT f x m( , ) 0 có 3 nghiệm phân

biệt  y CT h m( )y CÑ

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Đồ thị hàm số bậc ba: y ax 3bx2cx d

a) Có tâm đối xứng

b) Không có đường tiệm cận  Số tiệm cận là 0

c) Đồ thị h/s cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi

hàm số có 3 nghiệm phân biệt

Các dạng đồ thị

1) a0,y0VN a0,y0VN

2) a0,y0 n0 kép a0,y0 n0 kép

3) a0,y0 2 n0 pb a0,y0 2 n0 pb

2) Đồ thị hàm trùng phương: y ax 4bx2c

a) Có trục đối xứng là trục Oy

b) Không có đường tiệm cận  Số tiệm cận là 0

c) Đồ thị h/s cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt khi hàm số có 4 nghiệm phân biệt

Các dạng đồ thị

1) a0,b0,y0 a0,b0,y0

có 1 nghiệm có 1 nghiệm

2) a0,b0,y0 a0,b0,y0

có 3 n0 phân biệt có 3 n0 phân biệt

3) Hàm nhất biến: y ax b

cx d





a) Không có cực trị b) Có tâm đối xứng I d a;

c c



c) Số tiệm cận là 2 d) Tiệm cận đứng x d

c

 

e) Tiệm cận ngang là y a

c

Các dạng đồ thị

1) y 0,ad bc 0

2) y 0,ad bc 0

x

y

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x y

O

x

y

O

x y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x y

O