Cơ sở quang tử học

ánh sáng truyền trong môi trường quang học optical medium đặc trưng bởi đại lượng 1  n gọi là chiết suất refractive index.. Các tia ánh sáng truyền giữa hai điểm A và B theo một quang t

Cơ sở

Quang tử học

(dành cho sinh viên và học viên cao học)

Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội

Chương 1 quang học của tia sáng

1.1 Các tiên đề của quang học tia sáng

Tiên đề 1.

Tia sáng truyền lan ở dạng tia (ray) Tia sáng được phát xạ từ các nguồn ánh sáng (light source) và có thể quan sát được khi chúng gặp đầu thu (detecter)

Tiên đề 2

ánh sáng truyền trong môi trường quang học (optical medium) đặc trưng bởi đại lượng

1



n

gọi là chiết suất (refractive index)

Chiết suất là tỉ số giữa vận tốc ánh sáng trong chân không (c 0) và

vận tốc ánh sáng trong môi trường (c) Do đó, thời gian ánh sáng cần

để truyền trong quảng đường có độ dài d bằng d/cnd/c0 Tức là, thời gian truyền tỉ lệ thuận với đại lượng

nd

gọi là quang trình (optical path)

Tiên đề 3

Trong môi trường không đồng nhất (inhomogenous medium), chiết suất là hàm của toạ độ không gian r  (x,y,z)

, tức là n (r)

Độ dài quang trình giữa hai điểm A và B (xem hình 1.1)sẽ là

ds r n AB

B A



 (  )

trong đó, dslà số gia (differential element) độ dài theo quang trình

Thời gian ánh sáng cần để đi từ A đến B tỉ lệ thuận với độ dài quang trình

Tiên đề 4

Nguyên lý Fermat (Fermat’s principle) Các tia ánh sáng truyền giữa hai điểm A và B theo một quang trình xác định nào đó trong một thời gian cần thiết, sao cho thời gian đó có tương quan cực trị so với quang trình bên cạch ý nghĩa của cực trị thể hiện ở chỗ tốc

độ thay đổi bằng không, tức là

ds r n B

A





 ( )

(1.2) Cực trị có thể là cực tiểu và cực đại hoặc là một điểm uốn Tuy nhiên, thông thường cực trị là cực tiểu Trong trường hợp này, chúng

ta có thể phát biểu:

“Tia sáng truyền theo quang trình nào mất ít thời gian nhất, tức

là theo quang trình ngắn nhất”

Trong nhiều trường hợp, thời gian cực tiểu đó không chỉ tính trong một quang trình xác định, mà có thể được tính theo nhiều

quang trình khác nhau Các quang trình này nối tiếp nhau liên tục

Hệ quả:

- Trong môi trường đồng nhất tia sáng đi theo đường thẳng

- Tia sáng khúc xạ qua mặt ngăn cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau

- Tia sáng phản xạ trên mặt gương

Hình 1.1 Quang trình tổng quát của tia sáng

1.2 Các linh kiện quang học đơn giản

Từ các tiên đề trên, chúng ta nghiên cứu một số linh kiện quang

đơn giản được sử dụng để lái các tia ánh sáng

1.2.1 Gương phẳng (Planar mirror)

Gương phẳng là một mặt phẳng có hệ số phản xạ cao đối với ánh sáng (hình 1.2)

Tia ánh chiếu vào mặt gương phẳng sẽ bị phản xạ lại Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tia tới, tạo bởi tia tới và véc tơ pháp tuyến của gương tại điểm tới; góc phản xạ bằng góc tới, tức là 1 2

1.2.2 Mặt biên phẳng (Planar Boundaries)

Nếu gương phản xạ có hệ số phản xạ thấp (lúc này mặt gương phẳng gọi là mặt ngăn cách giữa hai môi trường, tương ứng có chiết suất n1 và n2) thì một phần ánh sáng sẽ truyền vào môi trường sau gương nếu n1 n2 Đây gọi là hiện tượng khúc xạ ánh sáng Tia đi vào môi trường sau gương gọi là tia khúc xạ Hướng truyền của tia

khúc xạ tuân theo định luật Snell:

1 sin 1 2sin 2

Từ hệ thức này có thể phân ra hai trường hợp đặc biệt:

* Phản xạ ngoài (n 1 n2) Khi tia sáng tới từ môi trường có chiết suất thấp hơn thì 2 1và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc ra xa biên

* Phản xạ trong (n 1 n2) Khi tia sáng tới từ môi trường có chiết suất cao hơn thì 2  1và tia khúc xạ sẽ gẫy khúc vào gần biên

P1

P2

Hình 1.2 Phản xạ tia sáng từ gương phẳng

θ 1 θ 2

* Phản xạ toàn phần (n 1 n2) Khi tia sáng tới từ môi trường

có chiết suất cao hơn thì 2  1 và nếu 1 tăng sao cho 2 90o tia

sẽ phản xạ hoàn toàn trên biên (hình 1.3) Góc tới hạn sẽ là



















1

2 1 sin

n

n

1.2.3 Gương cầu (Spherical Mirror)

Các tia tạo một góc nhỏ (sinθ≈θ) với trục của gương cầu gọi là tia gần trục (paraxial ray) Tiêu cự (focal length) của gương cầu bán kính R là f ≈ -R/2 (hình 1.4)

Phương trình ảnh của tia gần trục

f z z

1 1 1

2 1



trong đó, z1, z2 tương ứng là vị trí của nguồn sáng và ảnh so với tâm gương cầu (P) Vị trí cụ thể của ảnh hay dấu của z2phụ thuộc vào cấu

Hình 1.3 Phản xạ trong, ngoài và toàn phần

n 1

n2 > n1

n 1

n 2 <n 1

θ c

Hình 1.4 Hội tụ ánh sáng bằng gương Parabol

trúc mặt gương (dấu của tiêu cự f ), âm khi mặt gương lồi và dương khi mặt gương lõm

Gương cầu như trong hình 1.4, thường được sử dụng để tạo chùm tia tựa song song từ một nguồn sáng đẳng hướng (ví dụ đèn pin)

1.2.4 Gương ellip (Elliptical Mirror)

Một gương hình ellip (hình 1.5) phản xạ tất cả các tia sáng từ tiêu

điểm thứ nhất P1 đến tiêu điểm thứ hai P2 Quang trình của tất cả các tia đi từ P1 đến P2 bằng nhau, tuân theo nguyên lý của Hero

1.2.5 Lăng kính (Prism)

Một lăng kính có góc ở đỉnh α và chiết suất n sẽ lái tia ra tạo với tia tới một góc













d sin1 n2 sin2 1/2sin sin cos (1.4)

Hệ thức trên có thể dẫn ra bằng định luật Snell, áp dụng cho hai mặt phản xạ của lăng kính

Hình 1.6 Các tia khúc xạ qua lăng kính

θ d

θ

α

n

Hình 1.5 Phản xạ từ mặt gương Ellip

Khi góc đỉnh  quá nhỏ (ta gọi là lăng kính mỏng) và góc tới

cũng rất nhỏ (gần đúng cận trục), hệ thức (1.6) có thể rút gọn gần

đúng như sau:

( 1)

d n

1.2.6 Biên cầu (Spherical Boundaries)

Giả sử có một biên cầu bán kính R giữa môi trường chiết suất n1

và n2 (hình 1.7) R dương khi biên lồi và R âm khi biên lõm Sau khi

sử dụng định luật Snell và gần đúng cận trục, tức là, giả thiết

tg  , chúng ta rút ra một số tính chất sau đây:

* Một tia sáng tạo với trục z một góc θ1 gặp biên cầu tại một

điểm cách trục z một khoảng y Tia này sẽ bị khúc xạ và đổi hướng

sao cho tia khúc xạ tạo với trục z một góc

y R n

n n n

n

2

1 2 1 2

1 2









* Tất cả các tia xuất phát từ điểm gốc P1=(y1, z1) trên mặt

phẳng z=z1 sẽ gặp nhau ở điểm P2=(y2, z2) trên mặt phẳng z2 và thoả mãn các hệ thức sau:

R

n n z

n z

2

2 1



và

Hình 1.7 Khúc xạ qua biên cầu lồi (R>0)

1 1

2

z

z

Hai mặt phẳng tại zz1 và zz2 gọi là hai mặt phẳng liên hợp Mỗi một điểm trên mặt phẳng thứ nhất sẽ liên kết với một điểm trên mặt phẳng thứ hai (ảnh) với hệ số phóng đại z2/z1 Dấu trừ trong hệ

số phóng đại có nghĩa là ảnh bị lật ngược Để cho thuận tiện, điểm P1

được xác định trong hệ tọa độ theo chiều phải sang trái, còn điểm P2 xác định trong hệ tọa độ theo chiều trái sang phải (tức là, nếu P2 nằm bên trái cuả biên thì z2 mang dấu âm)

Những tính chất này cũng tương tự đối với gương cầu Điều quan trọng là, các tính chất của ảnh mô tả ở trên chỉ đúng trong trường hợp cận trục Chúng chỉ xẩy ra với các tia cận trục Các tia tạo với trục z một góc lớn không tuân thủ gần đúng cận trục; những sai khác của

ảnh gọi là sai quang

1.2.7 Thấu kính (Lens)

Thấu kính cầu được giới hạn bởi hai mặt cầu có bán kính cong R1

và R2 có độ dày  và chiết suất n (hình 1.8)

Thấu kính thủy tinh trong không khí được xem như kết hợp giữa hai mặt biên cầu, không khí-thủy tinh và thủy tinh-không khí Thấu kính mỏng được định nghĩa khi độ dày tại trục chính Δ rất nhỏ, sao cho, y1 của tia tới bằng y2 của tia ló và bằng y Khi đó

* Hệ thức giữa góc tới và góc ló

f

y







Hình 1.8 Thấu kính tạo bởi hai biên cầu lồi

trong đó, f gọi là tiêu cự thấu kính

* Tiêu cự của thấu kính

















2 1

1 1 1 1

R R n

f

(1.12)

* Tất cả các tia xuất phát từ điểm P1(y1,z1) (cách trục của thấu

kính một khoảng y1 và cách mặt phẳng chính của thấu kính một

khoảng z1) gặp nhau tại P2(y2, z2) và thoả mãn các hệ thức sau

f z

z

1 1 1

2 1



1

2

z

z

y  

Cần chú ý rằng các hệ thức trên chỉ đúng với các tia cận trục, khi

mà giả thiết y1≈ y2=y Với các tia xa trục, hệ thức gần đúng không

còn áp dụng được nữa Đối với các tia xa trục các hệ thức trên có sai

số Hình 1.9 là ví dụ về sai số toạ độ z2

1.3 Môi trường chiết suất thay đổi liên tục

Đây là môi trường có chiết suất thay đổi liên tục theo không gian, tức là n (r)

Theo tiếng Anh, thuật ngữ Graded-Index Medium được viết tắt là GRIN medium, mô tả môi trường có chiết suất thay đổi Do

đó, từ đây chúng ta gọi môi trường này là môi trường GRIN Đây là loại vật liệu được chế tạo bằng cách cấy thêm các phụ gia với nồng

Hình 1.9 Các tia xa trục không gặp nhau tại tiêu điểm

độ được khống chế theo không gian Trong vật liệu GRIN ánh sáng không truyền theo đường thẳng mà truyền theo quỹ đạo cong (curve trajector)

1.3.1 Phương trình tia (the ray equation)

Quỹ đạo của tia sáng trong môi trường không đồng nhất có chiết

suất n(r) tuân thủ nguyên lý Fermat

n(r)ds 0

B A



Nếu quỹ đạo được xác định bởi ba hàm x(s), y(s), z(s), trong đó, s

là độ dài của quỹ đạo (hình 1.10), thì sau khi sử dụng phép tách biến

ta có hệ phương trình đạo hàm riêng sau

x

n ds

dx n

ds

d



















,

y

n ds

dy n ds

d



















,

z

n ds

dz n ds

d



















(1.13) Hay

n ds

r d n ds

d















1.3.2 Phương trình cho tia gần trục

Đối với các tia gần trục thì ds≈dz (hình 1.11), do đó, hệ phương

trình (1.13) được rút gọn như sau:

A

B

ds

s

x

y

z

Hình 1.10 Quỹ đạo tia trong môi trường GRIN

mô tả bởi x(s), y(s) và z(s)

n dz

dx n dz

d



















,

y

n dz

dy n dz

d



















Khi chiết suất n x y z( , , )cho trước, hai phương trình đạo hàm riêng

có thể giải được cho hai quỹ đạo x z( ) và y z( )

Trương trường hợp giới hạn, khi môi trường đồng nhất, tức là, chiết suất n không phụ thuộc vào x và z, từ (1.15), chúng ta sẽ có

d x dz  và 2 2

/ 0

d y dz  , tức là x và y là hàm tuyến tính của z,

suy ra, quỹ đạo là đường thẳng

1.3.3 Tấm GRIN

Một tấm GRIN có chiết suất n=n(y) và đồng nhất trên trục x và z, nhưng thay đổi liên tục trên trục y như trên hình 1.12

Ví dụ, một tấm GRIN có chiết suất thay đổi theo công tua parabol như sau:

2  2 2 2

0 1

n y n   y 

trong đó, α là hệ số mô tả tốc độ thay đổi của chiết suất và độ dày d<π/2α được xem như một thấu kính trụ có tiêu cự

Hình 1.11 Quỹ đạo của tia gần trục trong GRIN

Hình 1.12 Khúc xạ trong tấm GRIN

d n

f





 sin

1

0

1.3.4 Sợi quang GRIN

Sợi quang GRIN là một ống thuỷ tinh hình trụ có chiết suất thay

đổi theo hàm Parabol của bán kính hướng tâm

 

0 1

n n    

trong đó, n0 là chiết suất tại trục, α là hằng số mô tả tốc độ giảm của chiết suất, ρ là bán kính hướng tâm

Phương trình tia của sợi quang GRIN như sau:

x dz

x

2

2





dz

y

2

2





với giả thiết 2 2 2x2y21, tức là chiết suất giảm chậm từ

trục

Từ (1.17), thấy rằng x và y là hàm điều hòa theo z với chu kỳ

2 /  Vị trí ban đầu x y0, 0 và góc tại z là x0 dx dz/ và

y dy dz

  sẽ xác định biên độ và pha của các hàm điều hòa Do có

Hình 1.13 Tia kinh tuyến (a) và tia xoắn ốc (b)

trong sợi quang GRIN

sự đối xứng theo chu kỳ, nên nói chung không có mất mát khi chọn

x  Như vậy, lời giải của (1.17) sẽ là

 

 

,0

,0

0

sin

sin

x

y













Nếu x,0  0, tức là tia ban đầu nằm trong mặt phẳng kinh tuyến (mặt phẳng đi qua trục, mặt y-z), thì tia tiếp tục nằm trong mặt phẳng

đó, tạo nên quỹ đạo hình sin giống như quỹ đạo truyền trong tấm GRIN (hình 1.13a)

Trong trường hợp khác, x,0 y0, y,0  0, hệ phương trình (1.18) trở thành

 

 

0 0

sin

y z y cos z







và tia truyền theo quỹ đạo xoắn ốc nằm trên mặt của ống trụ có bán kính y0(hình 1.13b) Cả hai trường hợp này, quỹ đạo vẫn nằm trong sợi quang, do đó, sợi quang được ứng dụng như linh kiện dẫn ánh sáng Sợi quang này sẽ được ứng dụng trong thông tin quang

1.4 Quang học ma trận

1.4.1 Ma trận truyền (transfer matrix)

Một hệ quang là một tập hợp các linh kiện quang học (môi trường truyền, gương, thấu kính, bản chia, …) xếp kế tiếp nhau giữa hai mặt phẳng ngang tại toạ độ z=z1 và z=z2 Hai mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng vào và mặt phẳng ra Hệ này sẽ tác động lên tia sáng đi qua nó Một tia sáng được đặc trưng bởi hai tham số: góc lệch so với

trục của hệ θ và khoảng cách tới trục của hệ y (xem hình 1.14)

Với phép gần đúng cận trục, khi góc lệch của tia sáng so với trục

đủ nhỏ sao cho sinθ≈θ, hệ thức giữa tham số đầu vào và tham số đầu

ra được viết như sau:

1 1

2  Ay B

1 1

2   

trong đó, A, B, C, D là các số thực, xác định bởi cấu trúc của hệ quang

Phương trình (1.20) và (1.21) có thể viết dưới dạng ma trận sau























































1 1

1 2

D C

B A y

M

y

(1.22)

Ma trận M với các thành phần A, B, C, D đặc trưng cho hệ quang, nhờ đó, có thể xác định được (y2, θ2) với bất kỳ (y1, θ1) nào, gọi là ma trận truyền tia sáng

1.4.2 Ma trận truyền của một số hệ cơ bản

* Truyền lan trong chân không (Free-space propagation)

Tia sáng truyền thẳng trong chân không, do đó, một tia truyền

trong một khoảng d sẽ tuân theo phương trình:

y2  y11d

và góc lệch không đổi:

 

Từ hai phương trình trên, chúng ta có thể dưới dạng ma trận sau:

Hình 1.14 Một tia sáng đi vào hệ quang tại vị trí y 1 và hướng theo góc θ 1 và ra khỏi hệ tại vị trí y 2 và hướng theo góc θ 2

2 1

1

0 1

    



    

 

   

hay ma trận truyền có dạng





























1 0

1 d D

C

B A

* Khúc xạ trên biên phẳng

Tại một biên phẳng ngăn cách hai môi trường có chiết suất n1 và

n2, góc của tia sáng sẽ thay đổi theo định luật Snell Trong gần đúng cận trục, nsin n , còn vị trí của tia không đổi, y1  y2, do đó, ma trận truyền có dạng sau:



















2

1 0

0 1

n

n

* Khúc xạ trên biên cầu

Sử dụng phương trình (1.8) với gần đúng y1 y2, chúng ta có ma trận truyền sau:























2

1 2

1 2

0 1

n

n R n

n n

trong đó, n1 và n2 là chiết suất hai môi trường, R là bán kính cong của mặt biên, R>0 khi mặt biên lồi, và R<0 khi mặt biên lõm

* Truyền qua thấu kính mỏng

Sử dụng hệ thức giữa góc ló và góc tới thấu kính (1.11) với gần

đúng y1 y2, chúng ta có ma trận truyền sau:



















 1 1

0 1

f

trong đó, f là tiêu cự thấu kính, f > 0 khi thấu kính lồi và f < 0 khi

thấu kính lõm

* Phản xạ trên mặt gương phẳng

Khi phản xạ trên gương phẳng, vị trí của tia không đổi, góc tia cũng không đổi, do đó, ma trận truyền đơn giản như sau:













 1 0

0 1

* Phản xạ trên gương cầu

Xem gương cầu như một thấu kính mỏng có tiêu cự f  2 /R, trong đó, R là bán kính cong, do đó, ma trận truyền có dạng sau:



















1

2 0 1

R

trong đó, R <0 khi gương lõm và R > 0 khi gương lồi

1.4.3 Ma trận của các hệ quang xếp tuần tự (Cascaded Component)

Một hệ quang bao gồm nhiều hệ quang thành phần (ví dụ gồm khoảng môi trường đồng nhất với một gương, gồm hai thấu kính và môi trường xen giữa, …) có ma trận truyền riêng M1, M2, …, MN Tia sáng truyền qua hệ này giống như truyền qua một hệ độc lập có

ma trận sau:

Tia sáng vào từ hệ M1 và ra từ hệ MN Như vậy, hệ M1 sẽ có tác

động vào tia đầu tiên, sau đó theo thứ tự đến M2 , và MN có tác

động cuối cùng

1.5 Hệ quang tuần hoàn

Hệ quang tuần hoàn là hệ gồm nhiều hệ giống nhau xếp tuần tự (hình 1.15) Tia sáng truyền qua hệ tuần hoàn tuân thủ ma trận sau: